|
Задача по планиметрии С4, помогите решить!
|
|
|
J_Chmutova | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 18:50 | Сообщение # 1 |
J_Chmutova
Ранг: Дошколенок (?)
Группа: Зарегистрированные
|
| Сообщений: |
3 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Дан треугольник со сторонами 16, 17 и 27. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. Ответ 3 или 408/133.
Вариант решения есть, но с ответом не сходится, у меня получается иррациональное число в ответе.
24.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
Миклухо | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 19:08 | Сообщение # 2 |
Миклухо
Ранг: Профессор (?)
Группа: Я - учитель
|
| Сообщений: |
3504 |
| Награды: |
101 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (J_Chmutova) Вариант решения есть, но с ответом не сходится, у меня получается иррациональное число в ответе.
Вникать пока некогда. Разве не три ответа у задачи?
24.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
J_Chmutova | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 23:01 | Сообщение # 3 |
J_Chmutova
Ранг: Дошколенок (?)
Группа: Зарегистрированные
|
| Сообщений: |
3 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Да, и я думаю что три. Но в ответах два. Вот первый случай: http://yadi.sk/d/UkPVN-cU3WCi4
Но с ответом не сходится. Это задача из ЕГЭ
24.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
Миклухо | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 23:13 | Сообщение # 4 |
Миклухо
Ранг: Профессор (?)
Группа: Я - учитель
|
| Сообщений: |
3504 |
| Награды: |
101 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (J_Chmutova) Но с ответом не сходится. Это задача из ЕГЭ
Вы сказали, что там есть два ответа. Может быть это третий ответ?
24.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 23:27 | Сообщение # 5 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Радиус окружностей, касающихся стороны а,
R(a)= a/(2+a/r) = а/(2+ра/S),
где стандартно: r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр, S - площадь треугольника.
Остальные по циклу.
Поскольку площадь (по Герону) иррациональна, то все радиусы иррациональны.
(Из очевидного соотношения a = R(a)ctg(B/2) + 2R(a) + R(a)ctg(C/2) и дальнейшего выражения
ctg(x/2) = sqrt((1+cosx)/(1-cosx)), а cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc и т.д)
24.03.2013
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Воскресенье, 24.03.2013, 23:40
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 23:40 | Сообщение # 6 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Я рассмотрел случай, когда окружности вписаны в углы a и b, прилегающие к стороне 27.
Основное уравнение:
Rctg(a/2)+Rctg(b/2)+2R=27
Промежуточные данные: cosa=29/36, cosb=127/153 - терпимо. 
Но уже далее пошла иррациональность: ctg(a/2)=sqrt(65/7), ctg(b/2)=sqrt(140/13).
В итоге - R=3,24172...
Если ничего не напутал.
Добавлено (24.03.2013, 23:40)
---------------------------------------------
Цитата (Александр_Игрицкий) Радиус окружностей, касающихся стороны а,
R(a)= a/(2+a/r) = а/(2+ра/S),
Не понял формулировку. Справа - константы, а слева окружности во множественном числе.
24.03.2013
Сообщение отредактировал miflin - Понедельник, 25.03.2013, 11:40
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 23:41 | Сообщение # 7 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
miflin, все так.
24.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
J_Chmutova | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 23:44 | Сообщение # 8 |
J_Chmutova
Ранг: Дошколенок (?)
Группа: Зарегистрированные
|
| Сообщений: |
3 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Да, площадь здесь иррациональна S=6*sqrt(455). Формулу, которую вы написали, я тоже использовала. В первых двух случаях получается иррациональное число. Думаю все же в ответах ошибка или в условии. Спасибо.
24.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Воскресенье, 24.03.2013, 23:49 | Сообщение # 9 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (J_Chmutova) Думаю все же в ответах ошибка или в условии.
100%
Фирма веников не вяжет!
Наша фирма....
24.03.2013
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Воскресенье, 24.03.2013, 23:51
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Понедельник, 25.03.2013, 00:05 | Сообщение # 10 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (Александр_Игрицкий) miflin, все так.
Да. Спрашивал об одном, а думал о другом.
25.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 25.03.2013, 00:30 | Сообщение # 11 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (miflin) Не понял формулировку. Справа - константы, а слева окружности во множественном числе.
Да, виноват. Нужно было окружности. Верно. Но Вы поняли.
25.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Понедельник, 25.03.2013, 01:29 | Сообщение # 12 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (Александр_Игрицкий) Да, виноват. Нужно было окружности. Верно. Но Вы поняли.
Да как раз всё было правильно. Просто я вначале принял это за некую общую формулировку
из геометрии (что за окружности? сколько их? как касаются?), в то время как вы подразумевали
окружности из обсуждаемой задачи. Поэтому было верно - окружностей. Двух одинаковых.
25.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 25.03.2013, 14:41 | Сообщение # 13 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Продолжение.
Доказать, что совпадение всех трех случаев во можно только в равностороннем треугольнике.
25.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Вторник, 26.03.2013, 20:26 | Сообщение # 14 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (Александр_Игрицкий) Доказать, что совпадение всех трех случаев во можно только в равностороннем треугольнике.
Хм... Если три одинаковых окружности соприкоснуть так, чтобы каждая касалась двух
остальных, нужно ли доказывать, что их центры являются вершинами равностороннего
треугольника со всеми вытекающими последствиями?
26.03.2013
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Вторник, 26.03.2013, 21:12 | Сообщение # 15 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата (miflin) Если три одинаковых окружности соприкоснуть так, чтобы каждая касалась двух
остальных, нужно ли доказывать, что их центры являются вершинами равностороннего
треугольника со всеми вытекающими последствиями?
Вы это серьезно или поспешили?
Добавлено (26.03.2013, 21:12)
---------------------------------------------
Пусть L(a) - обозначает как биссектрису внутреннего угла А треугольника АВС, проведенную к стороне а этого треугольника, так и ее длину;
L1(a) - обозначает как часть биссектрисы от вершины А до точки О - точки пересечения всех биссектрис треугольника АВС, так и длину этой части;
L2(a) - обозначает как часть биссектрисы от точки О до точки пересечения L(a) со стороной а, так и длину этой части.
Доказать:
L2(a)/L(a) + L2(b)/L(b) + L2(с)/L(с) = 1.
26.03.2013
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Вторник, 26.03.2013, 21:13
|
|
|
|
| |
|
