Страница 1 из 41234»
Модератор форума: lyumer, Екатерина_Пашкова 
Форум учителей об образовании в России и мире » Форум педагогов по предметам, разделам » Форум учителей математики, физики и астрономии » Сложение - сложно? (:-))
Сложение - сложно?
miflinДата: Воскресенье, 07.04.2013, 19:35 | Сообщение # 1

Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
Украина
Зугрэс

Сообщений:
2554
Награды: 83
Статус: Offline

Сложить пополам лист бумаги, сложить два числа,
сложить с себя полномочия, сложить пазлы...
Столько разных сложить... Велик и могуч!

Никто не путается в этих "сложить" - я про учеников - пока дело
не доходит до математики, а именно - до векторов.
А в чём причина? А в том, что сложение скалярных величин и векторов -
совершенно разные операции, а обозначаются одним и тем же знаком -
"+" (плюс, сложить).

Когда мне изредка приходится общаться на эту тему со школьниками,
я пытаюсь вдолбить в их спинной мозг разницу между "+" и "+".
Ибо, не уловив этой разницы, они, оказавшись, например, в двумерной
системе координат (не одномерной, главное) могут начать работать
с модулями векторов, т.к. визуально присутствие "+" (а не "+" smile )
провоцирует на это!

И только проектирование (вдолбить! вдолбить! вдолбить!) векторного уравнения
на оси позволяет превратить "+" векторного сложения в алгебраический "+".

Ученики должны это твердо усвоить! Извините за банальности!

В качестве примера использую египетский треугольник.
a+b=c - для векторов (свой "+").
a2+b2=c2 - для модулей (свой "+").

А знаков "умножить" - аж три. И здесь тоже нужно предпринять меры, чтобы дело не
дошло до деления вектора на вектор (за исключением одномерного случая).
Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Понедельник, 08.04.2013, 01:34 | Сообщение # 2

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
Цитата (miflin)
Вот на тему "двусмысленности" знака "+" я и поразлагольствую.

Цитата (miflin)
Никто не путается в этих "сложить" - я про учеников - пока дело
не доходит до математики, а именно - до векторов.
А в чём причина? А в том, что сложение скалярных величин и векторов -
совершенно разные операции, а обозначаются одним и тем же знаком -
"+" (плюс, сложить).

Пока тема на ушла далеко от истоков, хочется сказать несколько слов.
Когда мы отдохнули, выспались, получили или отдали все, что хотели, и наше восприятие внешнего мира в целом уже адекватно ему, нас не особенно удивит то, что "складывая" слова, мы получаем стихи, "складывая" звуки, получаем музыку, "складывая" кирпичи - здание. Я не буду вдаваться в очевидные различия в процессах, но в любом случае это творческие процессы. Мы что-то "складываем", но всякий раз по своим правилам и со своим результатом.
О чем я?
Предлагаю задуматься вот над чем: действительно ли упомянутые miflin операции как формальные действия над элементами некоторых множеств различны? В операциях ли дело? Или вся суть в том, что работаем мы над элементами различных множеств: своеобразные "слова", "звуки", "кирпичи" - числа и векторы?
Совсем просто и без фокусов: первопричина в том, что сами операции сложения различны, или в том, что операции однотипны, но применяются к различным объектам?
И совсем интересный (на мой взгляд) вопрос: а что такое операция сложения?


Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Понедельник, 08.04.2013, 01:36
Спасибо
miflinДата: Понедельник, 08.04.2013, 07:33 | Сообщение # 3

Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
Украина
Зугрэс

Сообщений:
2554
Награды: 83
Статус: Offline
Операция сложения стихов "коммутативностью обладает не". smile
Помню, в детстве вращал рукой грампластинку в обратном направлении -
тоже возникло подозрение в некоммутативности сложения звуков! smile
Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Понедельник, 08.04.2013, 07:37 | Сообщение # 4

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
miflin, стихов тоже?
Не поверю!!!
А роза упала на лапу Азора.
Вы шутите!
Спасибо
miflinДата: Понедельник, 08.04.2013, 07:58 | Сообщение # 5

Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
Украина
Зугрэс

Сообщений:
2554
Награды: 83
Статус: Offline
Александр, конечно же "Аргентина манит негра", но вот манит ли негр Аргентину? smile
Спасибо
EricRedДата: Понедельник, 08.04.2013, 22:23 | Сообщение # 6

Эрик Рыжий
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
Норвегия
Movatn

Сообщений:
161
Награды: 0
Статус: Offline
Цитата (Александр_Игрицкий)
И совсем интересный (на мой взгляд) вопрос: а что такое операция сложения?

Глубоко копаете. Аудитории такой вопрос может показаться слишком заумным. Но это только потому, что над простыми вещами мы перестали задумываться.

Вот вопрос по-конкретнее на ту же тему. О смысле основных свойств таких операций. Возьмём трость и сломаем её пополам. Потом каждую половину поломаем на три равные части. Теперь возьмём другую такую же трость и поломаем её на три равные части, а потом каждую часть пополам. Полученные кусочки первой трости и второй одинаковые. Внимание, вопрос. Куски получились одинаковыми потому, что умножение коммутативно, или же наоборот -- умножение коммутативно потому, что в таких случаях получаются одинаковые куски?

Добавлено (08.04.2013, 22:23)
---------------------------------------------
Ах, да. Нажал кабан на баклажан.

Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Понедельник, 08.04.2013, 23:39 | Сообщение # 7

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
1.
Цитата (EricRed)
Куски получились одинаковыми потому, что умножение коммутативно?

2.
Цитата (EricRed)
или же наоборот -- умножение коммутативно потому, что в таких случаях получаются одинаковые куски?

1. Две тросточки, описанные выше, вполне могли быть сломаны кем угодно и когда угодно. Ни сами тросточки, ни сломавший их могли никогда в жизни не только не слышать о коммутативности, но и об умножении могли не знать, и о числах тоже. На первый вопрос приходится ответить отрицательно.
2. Понятие числа, действий над числами и свойства этих действий обязаны своим происхождением обобщением результатов практических операций над любыми объектами. Большинство операций допускают многократное применение, при этом естественно встает вопрос о зависимости конечного результата от порядка этих операций. Некоторые операции, аналогичные описанным выше, не зависят от порядка их выполнения. Их принято называть коммутативными. Другие - зависят. Например, нужно вымыть руки, используя различные кусочки мыла. Запах чистых рук будет зависеть от порядка использования кусочков.
В случае с тросточками коммутативность действия умножения отражает именно практический результат.
Спасибо
chernysh8Дата: Вторник, 09.04.2013, 06:30 | Сообщение # 8

Ранг: Доцент (?)
Группа: Я - учитель
Российская Федерация
Сообщений:
1503
Награды: 21
Статус: Offline
Цитата (Александр_Игрицкий)
Совсем просто и без фокусов: первопричина в том, что сами операции сложения различны, или в том, что операции однотипны, но применяются к различным объектам?

Я склоняюсь к тому, что сами операции различны. Можно притянуть сюда интегрирование, которое, по сути, тоже сложение.
Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Вторник, 09.04.2013, 09:17 | Сообщение # 9

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
Цитата (chernysh8)
Я склоняюсь к тому, что сами операции различны

Вот и приходим к необходимости определения понятия "операция". Я к этому и вел.
Спасибо
EricRedДата: Вторник, 09.04.2013, 20:59 | Сообщение # 10

Эрик Рыжий
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
Норвегия
Movatn

Сообщений:
161
Награды: 0
Статус: Offline
Цитата (Александр_Игрицкий)
В случае с тросточками коммутативность действия умножения отражает именно практический результат.

Цитата (Александр_Игрицкий)
приходим к необходимости определения понятия "операция"

Тогда всё довольно прозрачно. Понятие операции отражает некоторые общие свойства вещей, с которыми мы сталкиваемся на практике. Невозможно, конечно, сформулировать, какие именно свойства тут имеются в виду. Не всё, что можно понять, можно сформулировать. Мы можем только привести примеры операций и не-операций, да научить слушателя отличать одно от другого так, чтобы у нас почти никогда не возникало непонимания. Перечисленные сложения -- примеры операций. Все они не зря называются одним словом. Человек чувствует их общность и отражает это в языке. Смысл сложения в том, чтобы мыслить совокупность как целое: если к чему-то присовокупить что-то, то получится нечто новое (количественно или качественно).

Я вот ещё в школе обратил внимание на один момент. А почему именно такие у нас арифметические действия? Ведь вычислительных операций много и все друг к другу можно свести. Можно взять цифры одного числа, стоящие на чётных местах и цифры другого числа, стоящие на нечётных местах, да собрать из них новое число. Это тоже будет операция, и через неё тоже можно выражать решение задач. Почему именно сложение у нас? А вот именно потому, что сложение не с бодуна, а из практики. Наша практика вынуждает именно таким арифметическим операциям быть наиболее эффективными. Сложение действительно отражает нечто существенное в природе.
Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Вторник, 09.04.2013, 23:58 | Сообщение # 11

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
Натуральное число, как одна из первых великих абстракций, есть основной результат практической или экспериментальной операции – операции перечисления. Оно является полным отчетом о ней. И дальнейшие операции над числами естественно должны быть адекватным отражением свойств операции перечисления над реальными объектами. Перечислять объекты можно кучками и в любом порядке. Это приводит к понятию действия сложения и его основных свойств – коммутативности и ассоциативности. Больше от него ничего особенного и не нужно. Если кто-нибудь поддержит разговор, то можно и продолжить.
Спасибо
EricRedДата: Среда, 10.04.2013, 04:55 | Сообщение # 12

Эрик Рыжий
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
Норвегия
Movatn

Сообщений:
161
Награды: 0
Статус: Offline
Цитата (Александр_Игрицкий)
Если кто-нибудь поддержит разговор, то можно и продолжить.

Вы задеваете очень глубокую тему. Я интересовался этими вещами однажды, но времени не нашёл раскопать, что было сделано до нас. Знаю только, что в современной литературе такого не найти по принципиальным причинам. Тут получилось так, что, экстремистским языком говоря, однажды у нас украли матанализ, а сним и много чего ещё. Числа как раз попали под раздачу. Теперь то, что Вы говорите об основах арифметики сейчас просто не поймёт ни один грамотный математик. Сказанное Вами выше -- это для современной математики полностью бессмысленный набор слов. Чтобы пояснить, почему Ваши слова бессмысленны, расскажу-ка эпическую сагу о становлении современной математики.

В 18-м столетии в физике и математике люди действовали тыком, без определённой идеологии (философии). Сейчас Ньютона, Гюйгенса, Эйлера мы бы классифицировали в основном как стихийных материалистов. В 19-м же веке появилась определённая общая идеология. Её называют метафизикой. Грубо говоря, согласно ей всё возникло один раз (не важно, само или создателем), а потом таким и осталось до сих пор. Вот Дарвин как раз революцию совершил именно тут, потому что согласно метафизике биологические виды не изменяются. К концу 19-го, началу 20-го века от метафизики начали отказываться. Возникли другие идеологии. В первую очередь две: гнилой буржуазный позитивизм и суровый пролетарский диамат. Идеологии нужно иметь в виду, чтобы были понятны поступки людей, ими движимых.

В 19-м веке математики использовали язык 18-го века. Неудобство было в том, что единого математического языка, понятного всем, не было. Французские математики не всегда могли понять работы итальянских. Бурбаки как раз разработали такой универсальный язык, в котором из одних и тех же базовых понятий можно было вывести всю математику. Они за основу взяли технику структур. То есть, ближе к нашим баранам, число -- это структура на множестве. Если мы возьмём столы или стулья и скажем, как с ними проводить арифметические действия, то они у нас будут числами. Число -- это то, что можно складывать и умножать. И так с любым понятием: например, векторы -- это то, что можно складывать между собой и умножать на число.

Ужас в том, что вместо того, чтобы действительно разработать единый язык для современной им математики, Бурбаки объявили бессмысленным всё, что не возможно выразить на разработанном ими языке. Они стали менять смысл базовых понятий математики. То, что Эйлер называл функцией -- это совсем не то же самое, что мы сейчас под этим понимаем. То, что Эйлер называл производной -- это совсем не то же самое, что мы понимаем под этим словом сейчас. И ужас в том, что старое понимание шире современного. У нас украли матанализ, подменив его урезанной версией, которую можно было выразить на костном языке матструктур.

Нужно иметь в виду, что тогда это всё было в русле программы Гильберта (идея логически замкнуть математику; получать все результаты только чисто логическим путём). Это мечта позитивизма (он есть разновидность идеализма). Но Гёдель доказал, что это просто невозможно проделать. Материалистам сделалось счастье. С языком-то то же самое: невозможно построить один-раз-и-навсегда-язык для всей математики. Но Бурбакизм расцвёл так, что словами это не описуемо. Подчеркну, что Бурбакизм -- это подмена чрезвычайно важной работы (унификации языка математики) доктриной, что бессмысленно всё, что я не понимаю.

Во второй половине 20-го века вдруг оказалось, что старые понятия матанализа можно ввести ничуть не менее строго, чем строится классический анализ. Появился нестандартный анализ. Правильно его называть просто матанализом потому, что это всего лишь то, что под анализом понимал Эйлер. А то, что мы сейчас учим в качестве матанализа -- это сильно урезанная версия с перенавраным смыслом основных понятий.

Сейчас математики уже стали говорить, что язык Бурбаки не адекватен стоящим задачам и нужно нечто большее. Напомню ещё раз, что дело не в языке -- он просто урезанная версия старой системы понятий. Дело в Бурбакизме как явлении.

Теперь, думаю, должно быть понятно, почему слова типа
Цитата (Александр_Игрицкий)
дальнейшие операции над числами естественно должны быть адекватным отражением свойств операции перечисления над реальными объектами

совершенно бессмысленны. Числа -- это то, к чему применимы арифметические операции. Числом сейчас называется не то же самое, что этим словом обозначалось с шумерских времён (а может и много ранее того). И современный смысл слова много более узок. Для этого убогого понимания такие речи бессмысленны.

Так что, прежде, чем определять операцию нужно определить число. Но это нам, я думаю, легко сделать. Натуральным числом назовём то, что под этим понимает подавляющее большинство людей в здравом уме и твёрдой памяти -- абстракцию некоторого количества.

Вот теперь о сложении. Нужно посмотреть на умножение: умножение происходит от сложения точно так же, как сложение происходит от счёта. Умножение -- это повторение сложения. А сложение -- это повторение счёта... Но вот это то место, дальше которого лично я пока не ходил...
Спасибо
miflinДата: Среда, 10.04.2013, 10:31 | Сообщение # 13

Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
Украина
Зугрэс

Сообщений:
2554
Награды: 83
Статус: Offline
Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Среда, 10.04.2013, 11:23 | Сообщение # 14

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
miflin!
Спасибо
EricRedДата: Пятница, 12.04.2013, 04:58 | Сообщение # 15

Эрик Рыжий
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
Норвегия
Movatn

Сообщений:
161
Награды: 0
Статус: Offline


По теме, постановка задачи мне видится так. Во-первых, нужно определиться с тем, что такое счёт. Каковы самые существенные черты этого процесса? Натуральное число обозначает результат счёта, как говорилось выше. Во-вторых, нужно определиться с тем, как связано сложение со счётом и умножение со сложением. Свойства операций получатся молниеносно. Дело в другом. У натурального числа есть два основных аспекта: количество и номер по порядку. Это различие нужно понять. В-третьих, нужно определиться с тем, кому и зачем всё это нужно. Вот так я представляю.

О связи числа и счёта. Не всё так просто: число не есть результат счёта. Счёт -- это реальный процесс. Иначе говоря, счёт -- это измерение, а результат измерения -- это не число. Числом мы выражаем (обозначаем) результат измерения. Так же и со счётом. Результат счёта -- это загнутые пальцы. Обозначая результат счёта числом, мы отвлекаемся от конкретного стандартного набора, с помощью которого мы считаем. На языке современной математики это будет мощность конечного множества.

Кстати говоря, Ю.И. Манин (математик наш) очень хорошо говорит, что множество -- это не набор стульев или столов, как его обычно преподносят в учебниках. Множество -- это такая же абстракция, как геометрическая точка у Евклида. Мы говорим, что в некоторых задачах Землю можно обозначать точкой, но мы же не говорим, что иногда Земля бывает точкой. Так и с множеством: мы только обозначаем набор столов или стульев множеством. Сам набор столов или стульев -- это не множество, а реальный объект, некоторые существенные свойства которого мы абстрагируем множеством. По-моему, если учесть этот момент, то видно, что определение натурального числа как мощности конечного множества не хорошее: это мощность конечного множества -- число, а не наоборот. Мощность конечного множества -- число только потому, что она случайно есть количество элементов. Не наоборот же?
Спасибо
Форум учителей об образовании в России и мире » Форум педагогов по предметам, разделам » Форум учителей математики, физики и астрономии » Сложение - сложно? (:-))
Страница 1 из 41234»
Поиск:



Спорная ситуация с родителями или администрацией? Ищете выход из проблемы на уроке или с учеником?
Не знаете, как что-то сделать на компьютере?


Вы можете задать анонимный вопрос
х
Подробно изложите суть вашего вопроса.
Обратите внимание, что вопросы публикуются в открытом доступе не сайте, поэтому не указывайте персональные данные ваши или иных лиц. Однако стоит указать свой РЕГИОН, т.к. законодательство в разных регионах разное.
Отправить