Страница 1 из 11
Модератор форума: lyumer, Екатерина_Пашкова 
Форум учителей об образовании в России и мире » Форум педагогов по предметам, разделам » Форум учителей математики, физики и астрономии » Помогите решить задачу по алгебре ДО КОНЦА
Помогите решить задачу по алгебре ДО КОНЦА
albarДата: Пятница, 29.01.2016, 19:12 | Сообщение # 1

Александр Шубин
Ранг: Дошколенок (?)
Группа: Пользователи
Российская Федерация
Киров

Сообщений:
19
Награды: 1
Статус: Offline
Алгебра. Макарычев Ю.Н. "Просвещение", 2005.
Задача 832 Докажите, что если к двузначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то полученная сумма будет кратна 11. Выполняется ли аналогичное свойство для трёхзначных чисел?
К первой половине задачи вопросов нет. Но вот вторая половина вызвала затруднение. Я записал трёхзначное число в виде abc , а записанное в обратном порядке соответственно cba . Что я смог, так это дойти до выражения 101 х (a+c) +20b. Но оно (выражение) позволяет найти условие, при котором сумма записанных таким образом, как в задаче, чисел будет кратна 11. А именно: а + с = 11, и b = 0. Это всё просто и не вызывает затруднений. Но... Я (по крайней мере - я) из этого выражения не могу сделать вывод: а ЕДИНСТВЕННОЕ ЛИ это условие? А может есть какие-то ещё варианты? Конечно, можно взять произвольные три числа, поставить их вместо переменных и вуа-ля - убедиться, что на 100% для трёхзначных чисел это свойство не выполняется. Но, как мне кажется, - этот метод подстановки не есть метод доказательный.
Дорогие учителя, - не пинайте сильно, что без вашей помощи не могу решить. Всё-таки мне 6-й десяток...
Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Пятница, 29.01.2016, 19:56 | Сообщение # 2

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
albar, добрый вечер!
Ответ на вопрос, будет ли такое же иметь место и для трехзначных чисел, отрицательный. Для этого достаточно привести любой контрпример.
Любой!
Например: 111.
Этим проблема решена.
Можно, конечно, поставить вопрос по-другому: есть ли такие трехзначные числа, для которых это будет иметь место?
Да, и такие есть.
Например, 121.
И вообще, это верно только для трехзначных чисел, делящихся на 11.
Спасибо
miflinДата: Пятница, 29.01.2016, 23:27 | Сообщение # 3

Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
Украина
Зугрэс

Сообщений:
2557
Награды: 84
Статус: Offline
Цитата albar ()
Выполняется ли аналогичное свойство для трёхзначных чисел?

Есть предположение, что выполняется для чисел с четным количеством разрядов:
четырех-, шести- и т.д. -значных.

Добавлено (29.01.2016, 23:27)
---------------------------------------------
Ага. Доказывается методом математической индукции.

Спасибо
Александр_ИгрицкийДата: Пятница, 29.01.2016, 23:36 | Сообщение # 4

Александр Игрицкий
Ранг: Академик (?)
Группа: Заблокированные
Российская Федерация
Москва

Должность: Freelancer
Сообщений:
11104
Награды: 128
Статус: Offline
miflin, все ответы фактически в признаке делимости на 11.
Никаких хитростей.
Спасибо
miflinДата: Пятница, 29.01.2016, 23:45 | Сообщение # 5

Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
Украина
Зугрэс

Сообщений:
2557
Награды: 84
Статус: Offline
Цитата Александр_Игрицкий ()
все ответы фактически в признаке делимости на 11.

Признаюсь честно, с признаком делимости на 11 познакомился минуту назад, в гугле. smile
До этого не приходилось интересоваться.
А чтобы доказать моё предположение, нужно было доказать, что число вида 10^(2n-1)+1 делится на 11,
что и сделал методом математической индукции. Теперь вижу, что к нему можно было и не прибегать. smile
Спасибо
albarДата: Среда, 03.02.2016, 13:33 | Сообщение # 6

Александр Шубин
Ранг: Дошколенок (?)
Группа: Пользователи
Российская Федерация
Киров

Сообщений:
19
Награды: 1
Статус: Offline
Одно НО... Правда, я сам в этом виноват (не упомянул, что задача из 7 класса).
Виленкин. Математика 6 класс (2007): не рассматривается признак делимости на 11. В упомянутом учебнике алгебры этого тоже нет. Следовательно, - ученик, решающий эту задачу, как и я (кстати, тоже, как и miflin, только что узнал из гугла) не владеет этим знанием. Сейчас, благодаря Вам, Александр, можно доказать (именно ДОКАЗАТЬ) не стопроцентное выполнение этого свойства для трёхзначных чисел. Спасибо, с этим разобрался. respect
И уж, чтобы окончательно расставить все точки над i (в силу моего чрезмерно дотошного характера), - последний вопрос.
"...Выполняется ли аналогичное свойство для трёхзначных чисел?"
Ставлю себя на место ученика, которому по программе не преподавали признак делимости на 11. В этом случае для вас, уважаемые учителя, был бы достаточен такой мой ответ: "Возьмём произвольное трёхзначное число. Например, 753. По условиям задачи к нему надо прибавить 357. Полученная сумма не делится на 11. Таким образом, аналогичное свойство для трёхзначных чисел не выполняется". Здесь, как видите, никакого доказательства не приводится - тупой подбор. Вас, как учителей, удовлетворил бы такой ответ (с учётом вводной первого предложения этого абзаца) ?


Сообщение отредактировал albar - Среда, 03.02.2016, 13:37
Спасибо
miflinДата: Среда, 03.02.2016, 14:09 | Сообщение # 7

Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
Украина
Зугрэс

Сообщений:
2557
Награды: 84
Статус: Offline
albar, замечу по поводу той задачи, что я рассматривал (доказать свойство для "четнозначных" чисел).
Там получаются коэффициенты, имеющие структуру: две единички по краям и четное количество нулей между ними.
Делимость таких чисел на 11 очевидна, если просто начать делить в столбик. Получается периодический процесс.
Спасибо
Форум учителей об образовании в России и мире » Форум педагогов по предметам, разделам » Форум учителей математики, физики и астрономии » Помогите решить задачу по алгебре ДО КОНЦА
Страница 1 из 11
Поиск:



Спорная ситуация с родителями или администрацией? Ищете выход из проблемы на уроке или с учеником?
Не знаете, как что-то сделать на компьютере?


Вы можете задать анонимный вопрос
х
Подробно изложите суть вашего вопроса.
Обратите внимание, что вопросы публикуются в открытом доступе не сайте, поэтому не указывайте персональные данные ваши или иных лиц. Однако стоит указать свой РЕГИОН, т.к. законодательство в разных регионах разное.
Отправить