Статья "Методические рекомендации по изучению теоремы Виета"


Методические рекомендации по изучению теоремы Виета


Ефимова Галина Павловна

Заместитель директора по УВР, учитель математики

МБОУ "ЦО № 22 - Лицей искусств" город Тула, Тульская область

Афоризм Виета «Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.»

Большое значение при решении квадратных уравнений имеет теорема Виета, позволяющая решать многие квадратные уравнению устно.

На изучение теоремы отводится 2 часа, хотя она заслуживает большего внимания.

На первом уроке знакомим учащихся с самой теоремой. Для этого на примере конкретного уравнения, например - 7x + 10 = 0 находим корни по известной формуле. Получаем = 2, = 5.

Беседа с учащимися:

  1. Найдите сумму корней данного квадратного уравнения

+ = 2 + 5 = 7.

  1. Сравните сумму со вторым коэффициентом. Сделайте вывод.

  2. Вычислите произведение корней

· = 2 · 5 = 10.

  1. Сравните произведение со свободным членом. Сделайте вывод.

Итак, получаем, что

+ = 7 = - p

· = 10 = q

Случаен ли полученный результат?

Докажем, что для любого приведённого квадратного уравнения будет справедливо данное утверждение.

Итак, имеем приведенное квадратно уравнение + px + q = 0, тогда его корни = , = .

+ = + = = = - p


· = · ( ) = = = = q

В ывод: + = 7 = - p,

· = 10 = q.

Далее формулируем обратную теорему.

Применить теорему обратную теореме Виета для нахождения корней следующих уравнений:

  1. - 4x + 3 = 0;

  2. - 10x + 9 = 0;

  3. - 2x - 35 = 0;

  4. - 4x - 60 = 0;

  5. + 7x + 10 = 0;

  6. - x - 56 = 0;

  7. - x - 12 = 0.

А как быть, если квадратное равнение не приведенное, а полное?

Тогда a + bx + c = 0 приведём к виду + x + = 0. Для полного квадратного уравнения теорема Виета принимает вид

+ = - ,

· = .

На сколько важна данная теорема в математике говорит стихотворение:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого?

Умножишь ты корни, а дробь уж готова -

В числителе с, в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна:

Хоть с минусом дробь эта, что за беда,

В числителе b в знаменателе а.

Полезно предложить учащимся задания типа:

1. Составить квадратное уравнение по известным их корням


  1. 3 и 5;

  2. 4 и -7;

  3. -6 и -2;

  4. -1 и -3;



  1. и ;

  2. и - ;

  3. - и - ;

  4. и - .

Получившиеся уравнения 5, 6, 7, 8 - следует упростить и привести к виду a + bx + c = 0.

2. Не решая следующих уравнений, определите знаки корней

  1. - 6x + 5 = 0;

  2. + 4x - 5 = 0;

  3. + 20x + 19 = 0

  1. 2 + 5x + 2 = 0;

  2. 3 + 8x - 4 = 0;

  3. 4 - 10x + 5 = 0.


На втором уроке обязательно нужно ознакомить ребят с двумя следствиями из теоремы Виета, хотя наши современные учебники и программы это не предусматривают.

Рассмотрим эти следствия.

Пусть дано уравнение a + bx + c = 0. Используя теорему Виета, определите при каких условиях один из корней уравнения равен 1? Чему равен второй корень?

Итак, если = 1, то легко найти , т. к. · = , то · 1 = , значит = .

Тогда + = - , подставим и , получим 1 + = - и преобразуем: 1+ + = 0, = 0. Отсюда получаем, что a + b + c = 0.

I следствие формулируется так:

Если в квадратном уравнении a + b + c =0, = 1, а =

Аналогичным образом получаем II следствие:

Если в квадратном уравнении a - b + c =0, = - 1, а = -

На применение теоремы Виета можно предложить учащимся устно найти корни уравнений:

  1. + 17x - 18 = 0;

  2. 2 - x + 3 = 0;

  3. - 39x - 40 = 0;

  4. 14 - 17x + 3 = 0;

  5. 100 - 97x - 197 = 0;

  1. + 23x - 24 = 0;

  2. 5 - x - 6 = 0;

  3. - 37x - 38 = 0;

  4. 13 - 18x + 5 = 0;

  5. 100 - 83x - 183 = 0.

А письменно решить уравнение:

+ 6(5x + 1) - 7 = 0.

Ребята легко видят, что 5x + 1можно заменить переменной y. Тогда уравнение примет вид:

+ 6y - 7 = 0;

поэтому = 1, = -7, так как a + b + c =0 (1 + 6 - 7 = 0). Поэтому

5x + 1 = 1 и = 0 или 5x + 1 = -7 и = - .

Ответ: = 0, = - .

Когда учащиеся уже будут достаточно свободно владеть теоремой Виета и обратной теоремой, следствиями из теоремы Виета, им можно предложить задания более интересного содержания.

1. Уравнение + 3x + m = 0 имеет корни и . При каком значении m

  1. разность корней будет равна 6;

  2. сумма квадратов корней будет равна 34;

  3. разность квадратов корней будет равна 30?

2. Не решая уравнения - 2x - 15 = 0 вычислить:

  1. сумму квадратов его корней;

  2. разность квадратов его корней;

  3. сумму кубов его корней;

  4. разност кубов его корней;

  5. + .

Образец рассуждения может быть следующим:

для уравнения - 2x - 15 = 0 + = 2, · = -15, тогда + = - 2 = - 2·(-15) = 4 + 30 = 34.

3. Решить уравнение

  1. + px + 21 = 0, зная, что сумма квадратов его корней = 58;

  2. - 8x + q = 0, зная, что сумма квадратов его корней равна 34;

4. Не вычисляя и для уравнения 3 + 8x - 1 = 0, найти

  1. + ;

  2. + ;

  3. + ;

  4. + .

5. В уравнении - 4x + m = 0 сумма квадратов корней равна 16, Найдите m.

6. Для уравнения - 3x + 2 = 0, не решая его, составить новое уравнение, корни которого были бы кубами корней данного уравнения.

Данные упражнения и аналогичные им, конечно, не следует все выдать за два урока. Их модно предлагать и в качестве дополнительных вопросов более подготовленным учащимся, и на последующих уроках при изучении дробных рациональных уравнений. Главное не просто изучить теорему Виета, а отработать навыки её применения. Тогда при дальнейшем изучении алгебры не будут вызывать задания:

  1. ( + ) · (1 - );

  2. ( - ) · ( - 3x + 2);

  3. ( - ) · .

Их уже можно решать полуустно.










Полный текст материала Статья "Методические рекомендации по изучению теоремы Виета" смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.
Автор: Ефимова Галина Павловна  Публикатор
22.10.2018 2 326 14

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.



Принимайте участие!
Читайте новые статьи
Оставьте отзыв к материалу:
Всего: 2
avatar
Поддерживаю комментарйи0Не согласен с высказыванием
2 Комментарии • 07:03, 08.11.2018
Очень понравилась статья "Методические рекомендации по изучению торемы Виета". Спасибо!
avatar
Поддерживаю комментарйи0Не согласен с высказыванием
1 Комментарии • 06:58, 08.11.2018
Здравствуйте, очень понравились ваши рекомендации. Материал богатый, много практики. Обязательно буду опираться на ваши рекомендации при изучении темы "Теорема Виета". Спасибо!