Методическая разработка по информатике "Фракталы"; 10 - 11 классы


Данная разработка может быть использована для проведения уроков по основам программирования в 10-11 классах с углубленным и профильным изучением предмета «Информатика и ИКТ», а так же для проведения факультативных занятий по программированию и подготовке учащихся к олимпиадам и конкурсам по информатике. Изучение темы рассчитано на 2-3 занятия по  45 минут с теоретической и практической частью и закреплением изученного через домашнюю работу. В приложенном архиве сохранены приложения для построения фракталов.

Цели занятий:

  • познакомить учащихся с понятием фракталов, их применением,  алгоритмической  и программной реализацией;
  • формировать навыки и умения составления программ с использованием рекурсий;
  • создать условия для воспитания познавательных потребностей, интерес к предмету, познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в информационной деятельности.

Оборудование:
Интерактивная доска, компьютер, проектор,  компьютерная презентация, компьютерный класс для работы учащихся. 

Ход занятий (приведен примерный план 2 занятий):

Занятие 1
I. Организационный момент.
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода занятия. 

II. Актуализация знаний.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием фракталов, рассмотрим их применение и правила построения.

Изобретение компьютера сделало не только удобным процесс обработки информации, но и помогло посмотреть на некоторые области знаний с другой стороны, таким образом, до изобретения компьютеров, невозможно было увидеть изображения, которые строились с помощью вычислений одной и той же формулы несколько тысяч или миллионов раз. Именно благодаря компьютерам мы можем увидеть всю красоту математики выраженную в фракталах.

Изучение фракталов началось всего лишь около 100 лет назад (в конце XIX века) и если сравнивать область фракталов с математикой, геометрией, физикой и другими науками, то срок не так уж велик. Основной сложностью для изучения фракталов было то, что человек физически не мог построить данные геометрические объекты, т.к. они были слишком сложны для воспроизведения, поэтому изучение фракталов сводилось к абстракциям и предположениям, но в таком виде фракталы были сложны для восприятия и никто не мог увидеть их истинной красоты.

Поэтому широкое изучение фракталов началось лишь с появлением компьютеров, на которые можно было возложить сколь угодно сложные и монотонные работы по построению фракталов. Именно благодаря компьютерам  стало возможным увидеть богатство и красоту мира фракталов. 

Сейчас, в информационный век, когда информация порой имеет большое значение фракталы не отошли на второй план, как могло оказаться. Помимо чисто научного объекта для исследований и фрактальной живописи, фракталы используются в теории информации для сжатия графических (и видео) данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов – ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). 

Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты – элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. Экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад) и кто знает, в каких областях еще нам откроются эти великолепные объекты.

III. Объяснение нового материала.

Методические указания: учитель проводит занятие-лекцию, объясняя новый материал с использованием презентации, с демонстрацией примеров и фактов.

Фракталами называют бесконечно самоподобные фигуры, каждый фрагмент которых повторяется при уменьшении масштаба. Разветвления трубочек трахей, нейроны, сосудистая система человека, извилины берегов морей и озер, контуры деревьев – это все фракталы. Фракталы находят в местах таких малых, как клеточная мембрана, и таких огромных, как звездные галактики. Можно сказать, что фракталы – это уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира! 

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия, то есть однородности в различных шкалах измерения.

Термин «фрактал» был введен Б.Мандельбротом в 1975 г. Согласно Мандельброту, фракталом (от лат. «fractus» – дробный, ломанный, разбитый) называется структура, состоящая из частей, подобных целому. Свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии. Термин самоподобие означает наличие тонкой, повторяющийся структуры, как на самых малых масштабах объекта, так и в макромаштабе. 

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха». 

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал – С–кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс – динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничныймемуарЖулиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жулиа – целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жулиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Бенуа Мандельброт
Самый известным фракталом в мире является множество Мандельброта, но мало кто знает, что его открыл не Бенуа Мандельброт. С уверенностью можно сказать, что Мандельброт первым получил изображение данного множество на компьютере в 1975 году, но впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (PierreFatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные процессы вида: 

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании. Фату нашел, что орбита при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований – своё для каждого значения . В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную.

Классификация фракталов
Видно, что фрактал Мандельброта и кривая Коха разные типы фракталов. У них есть общее – рекурсивная процедура при генерации, но есть отличия. Поэтому для их изучения следует разделить их на определенные классы. Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы
Именно с них началась история фракталов. Это и есть те функции–монстры, которых так называли за недифференцируемость в каждой точке.

Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, т.к. сразу виднасамоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают т.н. жесткойсамоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание «основы» и «фрагмента», повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными. 

Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Леви и многие другие. 

Конструктивные фракталы строятся с помощью рекурсивных процедур, систем итерированных функций, L-систем, и др.
Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент.

Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом.

Алгебраические фракталы
Вторая большая группа фракталов – алгебраические. Свое название они получили, за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы. 

Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов. 

Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.2). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:
Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,
где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Стохастические фракталы
Кривая Коха как бы не была похожа на границу берега не может выступать в качестве ее модели из–за того, что она всюду одинакова, самоподобна, а в действительности это не так. Все природные объекты создаются по капризу природы, и есть случайность в этом процессе. 

Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры называются стохастичными. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение». Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза.

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. 
Примеры стохастических фракталов:

  • траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
  • граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
  • эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики.
  • различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Существует еще одна интересная классификация. Фракталы в этом случае классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и он при любом масштабе обладают фрактальными свойствами.в действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. Поэтому на природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

Методические указания: учитель предлагает учащимся вспомнить, где они могли наблюдать фракталы в природе, в искусстве.

Фракталы в природе

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа

Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).
С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (LewisFryRichardson) — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardsoneffect).

Сферы применения фракталов
Фрактальные антенны.
Фрактальные антенны – относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. По сути, традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Главное отличие фрактальных геометрических форм – их дробная размерность, что внешне проявляется в рекурсивном повторении в возрастающем либо уменьшаемом масштабах исходных детерминированных или случайных шаблонов. Фрактальные технологии получили распространение при формировании средств фильтрации сигналов, синтезе трехмерных компьютерных моделей природных ландшафтов, сжатии изображений. Вполне естественно, что фрактальная «мода» не обошла стороной и теорию антенн. Тем более, что прообразом современных фрактальных технологий в антенной технике явились предложенные в середине 60-х годов прошлого века логопериодические и спиральные конструкции. Правда, в строгом математическом смысле такие конструкции на момент разработки не имели отношения к фрактальной геометрии, являясь, по сути, лишь фракталами первого рода. Сейчас исследователи, в основном методом проб и ошибок, пытаются использовать известные в геометрии фракталы в антенных решениях. В результате имитационного моделирования и экспериментов установлено, что фрактальные антенны позволяют получить практически тот же коэффициент усиления, что и обычные, но при меньших габаритах, что важно для мобильных приложений. Рассмотрим результаты, полученные в области создания фрактальных антенн самых различных типов. 

Первые публикации по электродинамике фрактальных структур относятся к 80-м годам прошлого века. В публикациях по истории фрактальных антенн обычно упоминается работа ученых Университета штата Пенсильвания Я.Кима и Д.Джаггарда (Y.KimandD.L.Jaggard). Первенство в теоретических исследованиях возможности применения фрактальных форм для формирования многополосных по частоте антенн приписывают ученому Технологического университета Каталонии К.Пуенте (C.Puente). Начало же практическому применению фрактальных антенн в 1995 году положил, как принято считать, американский инженер Натан Коэн (N.Cohen). Чтобы обойти запрет бостонских властей устанавливать на домах наружные антенны, он замаскировал антенну своей радиостанции под декоративную фигуру, выполненную на основе фрактальной ломаной, описанной шведским математиком Хельге фон Кохом (HelgevonKoch) в 1904 году.

Опубликованные Коэном результаты исследований характеристик новой антенной конструкции привлекли внимание специалистов. Благодаря усилиям многих исследователей сегодня теория фрактальных антенн превратилась в самостоятельный, довольно развитый аппарат синтеза и анализа ЭМА.

Физика и другие естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Методические указания: учитель предлагает учащимся вспомнить, в каких произведениях искусства есть фрагменты фрактальной структуры.

Литература
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста: 

  1. неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
  2. неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

  1. венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
  2. «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»)
  3. предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы»)
  4. Т.Стоппард «Розенкранц и Гильденстернмертвы» (сцена с представлением перед королём)

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

  1. Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
  2. Х.Кортасар «Жёлтый цветок»
  3. Ж.Перек «Кунсткамера»

Децентрализованные сети
Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Компьютерная графика
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

Теория фракталов нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C.Carpenter) в 1967 году начал работать в компании BoeingComputerServices, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю PixarAnimationStudios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор.

В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.
Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.
Сейчас существует большое количество программ, позволяющих строить фракталы различного вида и сложности.

IV. Домашнее задание
Найти пример применения фракталов в живой природе или науке и оформить.

VI. Итог урока. 
Подведение итога урока. 
На уроке мы узнали, что такое фракталы, их классификацию. На следующем уроке мы продолжим изучение данной темы, рассмотрим правила построения некоторых фракталов.


Полный текст материала Методическая разработка по информатике "Фракталы"; 10 - 11 классы смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.
Автор: Зайцева Лидия Викторовна  Публикатор
19.04.2018 0 1120 25

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.


Смотрите похожие материалы


Принимайте участие!
Читайте новые статьи
Оставьте отзыв к материалу:
Всего: 0