Могу ли я со специальностью "педагог-психолог" устроиться работать логопедом?

Зависит от работодателя, но вероятнее всего - только после обучения. Я тоже переучилась на логопеда. Нравится что выбор места работы огромный. Можно где угодно работать - в детском саду, школе, в поликлинике, в любом развивающем детском центре, в частных клиниках. И теперь работаю в речевом центре! Мне эта профессия очень нравится и деньги неплохие платят. Так что дерзайте!

Спросите у работодателя. Кто-то не возьмет, а кому очень нужны - может взять.

Вам нужно смотреть актуальный Единого квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и служащих, раздел "Квалификационные характеристики должностей работников образования" (https://rg.ru/2010/10/20/teacher-dok.html).

Там есть профессия "логопед" (чтобы найти его, нажмите CTRL + F для поиска и напишите "логопед"), там есть требования к образованию. Читаем: Учитель-дефектолог, учитель-логопед (логопед). Требования к квалификации. Высшее профессиональное образование в области дефектологии без предъявления требований к стажу работы.

То есть подойдет любое образование в области дефектологии. Нужно определиться, является ли специальность "Специальный педагог-психолог" в области дефектологии. Это, наверное, нужно уточнить в дипломе - посмотреть точное название специальности, ее код, посмотреть, является ли образование в области дефектологии. Возможно, тоже есть какой-то справочник, но мне о нем пока неизвестно. Я что-то специальности "специальный педагог-психолог" не нашла, нужно уточнить точную формулировку.