Правомерны ли действия администрации?

продолжение должно было быть на обороте, т.к. внизу бланка было напечатано, что продолжение пиши на обороте, но ученица стала писать на дополнительном бланке

пустой

обратная сторона бланка была пустой мы поставили Z и внизу написали см на дополнительном бланке

Как учили нас.
Если на обратной стороне ничего не напечатано, то бланк считается односторонним и писать на обороте запрещено.
Если на обратной стороне распечатана разлиновка, то на нем можно писать.Вы всё сделали правильно, написав что продолжение на другом листе. Но вот с буквой Z я что-то подзабыл как правильно, вроде нужно ставить везде где пустое место более чем в 1 строку. В любом случае это проверяет человек и он точно найдет весь текст.
А так Вы можете обратиться в Роспотребнадзор и их ответ поможет Вам снять с Вас выговор.С премией правда сложнее будет, заставить выплатить премию мне кажется не реально,

Просто если на обратной стороне бланка не было ничего распечатано (должны быть распечатаны линии и вроде границы), то у Вас односторонние бланки и ученица сделал всё правильно. Кроме того в официальных требованиях по заполнению бланков сочинения написано следующее "В случае использования двустороннего бланка записи при недостатке места для ответов на лицевой стороне бланка записи участник МОЖЕТ продолжить записи на оборотной стороне бланка" Люблю слово может, его как хочешь так и понимай. То есть может писать на обороте, а может и на новом. Главное не ставить букву Z если после этого идёт продолжение. А вообще можно запросить разъяснение от Рособрнадзора по данной ситуации. Я здесь никаких нарушений не вижу.

А почему наказали Вас, а не того человека, который должен был провести инструктаж перед экзаменом? Обычно этим человеком Является завуч, отвечающий за проведение экзаменов ( он несколько раз инструктирует учеников и учителей, которые работают в аудиториях). Если Вашей подписи нет под текстом инструктажа, смело идите в Трудинспекцию

Главный вопрос: ошибка была обнаружена во время проведения или после?

Из какого вы региона?

Республика Алтай

Обращайтесь в трудовую инспекцию и профсоюз. Вы совершенно правы! Но уточните несколько вопросов. Писали ли вы дополнительное соглашение на работу организатором во время Сочинения?
Если да, то тут возникнут некоторые трудности, если нет, то ничего не подписывайте и пусть школа сама разбирается. Ещё такой вопрос, Вы увидели что была допущена ошибка во время проведения или после?

ошибка обнаружилась когда девушка сдавала работу, она продолжила писать сочинение не на обороте, а на дополнительном бланке

Можно ещё уточнить. Оборотная сторона бланка была пустой или на ней тоже были распечатаны пометки?