Должен ли классный руководитель присутствовать в школе в день, когда у него нет уроков?

Заставить Вас присутствовать нельзя. Но с некоторыми классами такое присутствие полезно...

Приказ Минобрнауки РФ от 11 мая 2016 г. № 536 пункт 2.3.
Другая часть педагогической работы, определяемая с учётом должностных обязанностей, предусмотренных квалификационными характеристиками по должностям, занимаемым работниками, ведущими преподавательскую работу, а также дополнительных видов работ, непосредственно связанных с образовательной деятельностью, выполняемых с их письменного согласия за дополнительную оплату, регулируется следующим образом:
трудовым договором (дополнительным соглашением к трудовому договору) - выполнение с письменного согласия дополнительных видов работ, непосредственно связанных с образовательной деятельностью, на условиях дополнительной оплаты (классное руководство; проверка письменных работ; заведование учебными кабинетами, лабораториями, мастерскими, учебно-опытными участками; руководство методическими объединениями; другие дополнительные виды работ с указанием в трудовом договоре их содержания, срока выполнения и размера оплаты).
2.4. В дни недели (периоды времени, в течение которых функционирует организация), свободные для работников, ведущих преподавательскую работу, от проведения занятий по расписанию и выполнения непосредственно в организации иных должностных обязанностей, предусмотренных квалификационными характеристиками по занимаемой должности, а также от выполнения дополнительных видов работ за дополнительную оплату, обязательное присутствие в организации не требуется.

Т.е. дополнительно оплачиваемая работа классным руководителем должна выполняться в соответствии с Вашими планами, планами ОУ , т.е. в то время когда Вы себе и запланируете, а не отсиживать каждый день до последнего урока. И вообще, условия работы должны быть прописаны в дополнительном соглашении, и в ОУ должно быть положение о классном руководстве, в котором и должно быть расписано какие функции должны выполняться в ОУ. И если за 1000-2000, директор будет заставлять отсиживать целый день, кто тогда согласится на такое классное руководство?

Но, при этом нужно помнить, что оплата производится за астрономические 20 часов, а не академические.

Классное руководство, как правило, это работа, которая выполняется не сверх установленных часов учителя - нагрузки, в рамках нагрузки, как внутреннее совмещение, то есть в пределах основного рабочего времени.
А вот основное рабочее время уже прописано на счет "присутственных" часов в школе: учитель должен находиться в школе во время своих занятий - это нормируемая часть педагогической работы, которая включает проводимые учебные занятия и перемены между ними. Оно регулируется расписанием занятий (п.2.2).
В дни недели, свободные от проведения занятий по расписанию, обязательное присутствие в организации не требуется. (п.2.4).
См. целиком Приказ Минобрнауки РФ от 11 мая 2016 г. № 536