Можем ли мы отказаться от работы на ЕГЭ, ОГЭ, если не заключали договор

Желательно заявление написать в начале учебного года, тогда администрация будет знать о том, что Вы не будете участвовать в этом мероприятии заранее. Это по-деловому. У администрации тоже есть своя разнарядка.

Можете. Для этого напишите директору заявление: "В связи с тем, что со мной не заключен договор о работе на ЕГЭ с указанием размера компенсации за эту работу (в соответствии с "Законом об образовании в РФ" и ТК РФ) и об обеспечении командировочными денежными средствами, я отказываюсь работать бесплатно. В случае любого давления буду вынуждена обратиться в прокуратуру с жалобой на принуждение к труду (ст. 4 ТК РФ)".
За чей счет ездить - тоже должно быть указано в договоре.

Организация ГИА не входит в должностные обязанности учителя, она не предусмотрена трудовым договором, а согласно ст. 60 Трудового кодекса РФ работодатель не может требовать выполнения работы, не обусловленной трудовым договором.

Выполнение дополнительной работы (ст. 60.2 ТК РФ) может быть поручено работнику только с его письменного согласия. Срок, в течение которого работник будет выполнять указанную работу, ее содержание и объем должны устанавливаться работодателем также с письменного согласия работника.

Если такого согласия работника нет, то никто не может его назначить организатором ГИА: ни приказом, ни распоряжением.

Ну как Вам сказать, можете, но... этих но столько, что просто ужас.