Укрупнение единиц усвоения знаний как одна из форм активизации познавательной деятельности учащихся
Важнейшим этапом усовершенствования системы обучения является укрупнение дидактической единицы усвоения знаний посредством обогащения ее новыми структурными элементами. В результате этого упражнение приобретает логическую целостность и повышается успешность обучения.
Изучая на малом интервале времени, чаще всего в пределах одного урока, группы взаимосвязанных понятий, преобразований, теорем, определений связанных друг с другом формально и по содержанию, осуществляем – на языке кибернетики – передачу информации как бы законченными фразами или более длинными последовательностями символов, что должно повышать надежность передаваемой информации.
Предельно упрощая суть дела, можно сказать так: при обучении надо возможно больше составлять взаимосвязанных упражнений из небольшого числа носителей информации (букв, цифр, слов, линий, знаков), меняя лишь комбинацию или пространственное положение их, иногда вводя минимум новых элементов. Совместное решение взаимосвязанных упражнений приведет к возникновению обобщенной информации, крупной единицы усвоения.
Данный вывод подтверждается на практике при обучении в начальной и средней школе при рассматриваемой системе учащиеся меньше допускают ошибок, Быстрее продвигаются в учении, прочнее запоминают материал, развивается самостоятельность их мышления.
Приведем несколько примеров, в которых показано, как следует совмещать сходные или контрастные суждения, т.е. пользоваться свернутыми формами умозаключений:
- Сумма квадратов сторон параллелограмма (ребер параллелепипеда) равна сумме квадратов его диагоналей.
- Сумма (произведение) не изменяется от перестановки местами слагаемых (сомножителей)
- Если при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. То эти величины называются прямо (обратно) пропорциональными
- График показательной (логарифмической) функции располагается выше (ниже) оси абсцисс (ординат)
Разумеется, на уроке эти сдвоенные рассуждения прочитываются (анализируются) дважды. Читаются нередко разными учащимися, однако важно фиксировать соответствующую буквенную информацию, начиная с низшего кода (на уровне знаков!) в подобной экономной форме (на доске, в тетрадях, в учебниках); повторяющиеся слова записываются (стало быть, воспринимаются зрительно) лишь один раз.
Важнейшим этапом усовершенствования системы обучения является укрупнение дидактической единицы усвоения знаний посредством обогащения ее новыми структурными элементами. В результате этого упражнение приобретает логическую целостность и повышается успешность обучения.
Методика упражнений по математике
Обыкновенные и десятичные дроби.
Можно указать три варианта изучения действий над дробями:
- Сначала изучаются обыкновенные дроби, потом десятичные.
- Сначала изучаются десятичные дроби, потом обыкновенные
- Совместное изучение обыкновенных и десятичных дробей.
Между тем реальный выигрыш в качестве усвоения умений и в экономии времени можно получить лишь при совмещенном изучении этих вопросов внутри одной темы. Зачастую на одних и тех же уроках.
В случае совместного изучения обыкновенных и десятичных дробей формальные способы преобразования информации (записи) разные, но они связаны по смыслу, по содержанию. Взаимно подкрепляя друг друга совпадением ответов: + = = = = 0,95
0,2 + 0,75=0,95 т.к. =0,2 и =0,75
Значит, совместное изучение обыкновенных и десятичных дробей приносит «дополнительную осмысленность» выкладкам и суждениям за счет возникновения качественно новых обратных связей в мышлении: ответ одного решения контролируется решением того же примера в другой форме записи и наоборот. Исключительно важным достижением этой методики является значительное сокращение числа основных правил. Которые будут теперь (выводиться) доказываться только один раз, а не два раза, что имеет место при любом варианте раздельного изучения обыкновенных и десятичных дробей.
Так, например. Правило нахождения дроби от числа заучивается один раз; задача же решается в двух формах.
Чтобы найти дробь ( =0,75) от числа(40), надо это число умножить на эту дробь: 40* = =30 40*0,75=30
Аналогично сказанному распространение законов (переместительного, сочетательного, распределительного) на дробные числа, изучение уравнений, зависимости между компонентами и результатами действий на основные виды задач (на движение, на проценты и т.д.) будут изучаться при таком варианте сосредоточенно и основательно.
Последнее же позволяет уделить больше времени решению задач, создает возможность естественного переноса центра тяжести с самого начала обучения на вычисления с десятичными дробями.
Вывод может быть один: методика совместного изучения обыкновенных и десятичных дробей заслуживает серьезного внимания учителей и детальной разработки, как обладающая преимуществами перед любым вариантом раздельного изучения их.
Нахождение части от числа и всего числа по его части
Задачи на нахождение части числа и числа по величине его части является обобщением задач на приведение к единице, изучаемых во втором классе. Как в тех, так и в других вполне оправданно и выгодно использование следующих приемов:
- Схематической записи условия задачи в две строчки, облегчающей первоначальный анализ условия задачи (этап соотнесения данных) Большинство ошибок учеников, обучаемых по общепринятой системе раздельного рассмотрения взаимно обратных вопросов, возникает именно из-за неумения найти связь между числами, неумений найти зависимость между числовыми данными, этим и объясняется распространенные ошибки подмены одного действия другим (вместо умножения делят или наоборот и т.д.)
- Одновременного изучения двух взаимно обратных задач, имеющих один и тот же сюжет и числовые данные, на основе противопоставления.
Рассмотрим задачу:
На сберкнижке было 100 руб. вклада взяли для покупки пальто. Сколько денег взяли?
Обычная методика объяснения этой задачи оперирует тремя числами: двумя данными (100 руб., ) и одним искомым (40 руб.)
Между тем важно акцентировать внимание учащихся на четырех числах, попарно соотносящихся друг с другом.
Именно такое развертывание логических операций облегчает усвоение алгоритма решения этих задач.
Сначала записываем слева друг под другом два числа:
составляет … ------
составляет … ------
Учитель. Какое число надо принять за условную единицу? Чему равен весь вклад?
Ученик. За условную единицу принимаем 100 руб. и поэтому это число пишем против 1, читаем: «Одно целое составляет 100 руб. »
Учитель. Сколько же рублей составляет части всего вклада?
Ученик. Нам это неизвестно, мы должны найти его.
Появляется запись:
1 составляет 100 руб.
составляет … ------
Учитель. Прежде чем найти числа, надо найти. Как же найти числа?
Ученик. Надо 100 разделить на 5
Важно в это месте провести анализ глубже, выяснить, почему надо делить именно на 5
Учитель. Почему мы делим число 100 на5, а не на какое-нибудь другое число? Сколько пятых частей содержится в одном целом? Сколько пятых долей в 100 руб.?
Ученик. В одном целом пять пятых части.
Запись на доске приобретает следующий вид:
1= составляют 100 руб.
составляют … ------
Учитель. Прочитайте условие без знаменателя
Ученик. Пять частей составляют 100 руб., 2 части составляют …. неизвестно сколько.
Учитель. Как же найти, чему равны числа? Что сначала надо найти?
Ученик. Сначала надо найти часть; 100 руб. разделить на5, получится 20 руб.; часть вклада составляет 20 руб.
Запись на доске приобретает вид:
1= составляют 100 руб.
составляют … ------
составляет … 20 руб.
Учитель, закрыв первую строчку, заставляет прочитать две последние строчки.
Учитель. Во сколько раз больше части? Как узнать, сколько составляют части, если составляет 20 руб.?
Ученик. Надо увеличить 20 руб. в два раза, получится40 рублей. Две пятых вклада равны 40 рублей.
После решения прямой задачи ее тут же перестраиваем в обратную задачу при тех же числовых данных и том же сюжете.
Учитель. В прямой задаче мы знали весь вклад (100 руб.) а надо было найти всего вклада (40 руб.). А теперь поступим наоборот: пусть известны 40 руб., а надо найти 100 руб.
На доске рядом со схемой прямой задачи появляется схема обратной задачи (третья строчка стирается, стирается также дробь )
Прямая задача.
составляет 100 руб.
составляет …. руб.
Обратная задача
составляет … руб.
составляет … 40 руб.
Ученики читают по схеме условие обратной задачи:
На сберкнижке было несколько рублей. Известно, что этого числа составляют 40 руб. Найти весь вклад.
Учитель. вклада известны. А сколько пятых частей составляет весь вклад?
Ученик. Весь вклад составляет части
Учитель. Как же определить весь вклад, т. е. как определить 5 частей, если известны 2 части ( части)?
Ученик. Сначала надо найти одну часть: 40 руб. разделить на 2, получится 20.
часть составляет 20 руб.
Учитель записывает схему. И она приобретает вид:
1= составляют …. руб.
составляют … 40 руб.
составляет … 20 руб.
Учитель. Кто скажет, как теперь определить весь вклад? Во сколько раз больше ? Во сколько раз 5 частей больше 1 части?
Ученик. больше в 5 раз. 20 руб. увеличить в 5 раз получится 100 руб. Весь склад составляет 100 руб.
Условия двух задач и их решения записываются в тетрадях:
Нахождение части
от всего числа
1= ------ 100 руб.
------- ? руб.
-------- 20 руб.
Решение
1.Чему равна часть вклада?
100:5=20 (руб.)
2.Чему равны части вклада?
20*2=40 руб.
Нахождение всего
числа по его части
1= ------ 100 руб.
------- 40 руб.
-------- 20 руб.
Решение
1. Чему равна часть вклада?
40:2=20 (руб.)
2. Чему равны части вклада?
(весь вклад)
20*5=100 руб.
После решения сравниваются условия и решения задач. Этот завершающий этап объяснения материала является наиболее важным звеном в методике противопоставления: именно здесь ученики постигают взаимопереходы и взаимосвязи понятий и операций, усваивают приемы дифференцирования (различия) обеих задач.
Учитель. Чем отличается условие одной задачи от другой?
Ученик. В первой задачи мы находим часть вклада, во второй – весь вклад.
Учитель. Что сходного, одинакового вы заметили в решениях этих задач?
Ученик. Обе задачи решены двумя действиями. Первое действие – деление, второе – умножение.
Учитель. Почему одинаковы первые вопросы?
Ученик. Там и тут мы находим, чему равна одна часть.
Учитель. Какие известные вам задачи напоминает данная задача?
Ученик. Задачи на приведение к единице.
Учитель. Правильно! Здесь мы тоже первым действием «приводим к единице»- находим одну часть.
Как показывает приведенный выше анализ решения подобных задач, опорными пунктами в цепи рассуждений являются числители дробей; поэтому иногда чтение дробей следует варьировать, прочитывая их без упоминания знаменателя: не пять пятых, а пять частей и т.д. Нужно также делать ударения на числители: пять пятых, две пятых, одна пятая.
Попутно отметим, что основную информацию для отнесения задачи к одной из двух разновидностей («часть от числа» или «число по части») несут предлоги от и по; учитель должен их выделить голосом, делать на них логическое ударение, написать крупными буквами.
Если первая задача появилась в последовательности:
Часть от числа – число по части, то вторую пару задач следует решать в обратном порядке: число по части - часть от числа.
В правой половине листа (доски) записывается задача:
1----- ? кг
----- 300кг
Условие задачи может быть либо сообщено учителем, либо составлено с учащимися коллективно.
Со склада взяли всего имеющегося там картофеля, это составляет 300 кг. Сколько всего картофеля было первоначально?
После решения этой задачи (300:2=150 кг), 150*7=1050 кг идет беседа учителя с учениками:
Учитель. Какого вида была решенная нами задача?
Ученик. Задача на нахождение всего числа по его части.
Учитель. Почему вы так думаете?
Ученик. Потому что в задаче дано, сколько килограммов составляет часть всего запаса ( ) А надо найти все число (1050 кг)
Учитель. Чтобы проверить решение данной задачи, надо составить обратную ей задачу. Каково название второй задачи?
Ученик. Задача на нахождение части от всего числа.
Учитель. Кто напишет схему второй задачи? Кто расскажет условие второй задачи?
На доске (в тетрадях) слева от предыдущей записи появляется новая запись:
1----- 1050 кг
----- ? кг
1----- ? кг
----- 300кг
Ученик читает условие проверочной задачи:
На складе было 1050 кг картофеля. от этого количества взяли. Сколько килограммов картофеля взяли? Решение: 1) 1050:7=150 (кг) 2) 150*2=300 (кг)
В домашние и контрольные работы надо включать и задание по решению пар задач: если дана одна какая-либо задача, то ученик после решения должен преобразовать ее в обратную и решить последнюю.
Впоследствии, конечно, решаются и изолированные задачи обеих разновидностей.
При одновременном (на одном уроке) введении этих задач ученик приучается заранее, до того как приступит к решению задачи, определять ее вид.
В психологическом отношении преимущество одновременного изучения взаимно обратных (или сопряженных) задач заключается еще и в том. Что здесь на первый план выступает обучение приемам различения вида задачи на основе выяснения ее характеристических признаков.
А это и означает овладение учеником логическими средствами анализа структуры задачи, зависимостей между ее величинами.
В этой связи отметим следующий полезный прием. Прежде чем решать задачу по данной теме на доске записывают название обеих разновидностей задач:
Часть от всего числа
Все число по его части
Затем читается задача, подлежащая решению
Учитель спрашивает: «Какого вида прочитанная задача? Почему так думаешь»
После того, как разновидность задачи будет определена, ученики решают ее в соответствующей половине страницы (или доске)
Выяснение разновидностей задач должно идти по пути от первоначального различения к последующему обобщению.
Для этой цели весьма удобны задачи промежуточные, которые не относятся ни к тому и ни к другому виду (такие задачи в существующей практике обучения не используются совершенно).
Задача. Турист проехал 45 км пути на велосипеде, и это составило всего пути. пути он прошел пешком. Сколько километров он прошел пешком?
Схема задачи: ----- 45 км
------? Км
Задача решается двумя действиями: 1) 45:5=9 (км ехал на велосипеде)
2) 9*2=18 (км шел пешком)
Затем можно сформулировать и решить обратную ей задачу по схеме:
----- ? км
------18 Км
После того, как будут изучены оба вида задач (на нахождение части от числа и числа по его части), при тренировке в устном решении следует использовать следующую удобную форму записи условия:
1. от 630 --- ?
2. от ?-----40
3. от 320 ---80
4. от 560 ---- ?
5. от ? -------300
6. от 270 ---- 60
7. от 500 ---- 350
8. ? от 400 ----120
Отметим, что из этих упражнений лишь 1),2).4) соответствуют задачам, изучаемым в начальной школе.
Остальные упражнения преследуют цель дальнейшего углубления знаний учащихся по данной теме.
Задача вида 3) от 320 ---80 является третьей задачей совокупности задач. Какую часть составляет 80 от 320? (решение 320:80=4, значит 80 составляет от 320) Иногда полезно составить и решить по одному сюжету все три вида задач.
Например: от 210 ----?
от? ---- 30
от 210 ---- 30
Как показала практика, эти упражнения при правильной методике обучения посильны уже третьеклассникам (и тем более пятиклассникам)
При решении задачи вида 6) от 270 ---- 60 рассуждаем: «В числе 270 должно быть 9 частей; одна часть будет равна 270:9=30»
Рассматриваем далее другую связь: «Число 60 связано с числителем. Сколько частей было взято? Сколько раз по 30 содержится в 60? 60:30=2 (раза). Значит, искомый числитель-2. Проверяем: от 270 равно60»
Последний пример вида от 400 =120 является неопределенным, он может быть предложен в качестве упражнения повышенной трудности. Решается этот пример подбором: пусть были десятые доли:
от 400=120
400:10=40
120:40=3
Значит, от 400=120
Могут быть и другие решения этой задачи:
от 400 --- 120
от 400 ---120
Важнейшим этапом усовершенствования системы обучения является укрупнение дидактической единицы усвоения знаний посредством обогащения ее новыми структурными элементами. В результате этого упражнение приобретает логическую целостность и повышается успешность обучения.
