|
Движение по окружности
|
|
|
EricRed | Дата: Воскресенье, 13.09.2015, 23:28 | Сообщение # 1 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Эпиграф.
Я учился в то время, когда переходили с 10-тилетки на 11-тилетку. Поэтому видал и старые, и новые учебники, и промежуточные. Движение по окружности мы проходили ещё по старому учебнику Пёрышкина. Дойдя до вывода формулы для центростремительного ускорения, наша физичка нам сказала:«Щас за 5 минут я его протараторю, кто сможет, пусть пытается понять, кому интересно, могу индивидуально объяснить, но спрашивать его я никогда с вас не буду». Этот вывод, наверно, повторяет рассуждения Ньютона из Начал. Я старательно морщил лоб, но ничерта не понял.
Современного учебника а-ля Пёрышкин за 10 класс у меня под рукой нет. Когда-то я его листал, вроде, там тоже какое-то псевдодифференциальное исчисление применяется, что и у Мякишева, например. Поэтому мои слова об учебниках будут несколько абстрактными. Поправьте, если в каком-то принципиально иной вывод есть.
Первое, что нужно сделать, — ввести понятие мгновенной скорости.
Товаришьчьичь Сотский в учебнике Мякишева называет мгновенной скоростью аж просто предел, к которому стремиться средняя скорость.
Учащийся спрашивает:
Я попытался применить полученные знания на практике. С помощью доступной мне цифровой техники я легко смог измерить положения частицы и построить её траекторию. Но мне не удалось узнать её мгновенную скорость. Я взял на фото самые соседние пиксели, но полученная так мгновенная скорость вдоль траектории скачет столь безумно, что я нахожу означенный предел тут несуществующим. Ни к какому пределу отношение перемещения ко времени не стремиться: наооборот, чем меньше я беру перемещение, тем безумнее скачет скорость. Мне пришлось сделать вывод, что вы меня научили не физике, а чему-то совсем иному, потому что применить эти знания к анализу результатов простейших экспериментов я не умею.
У Пёрышкина, вроде бы, было что-то более внятное, но тоже с «можно считать постоянной».
Учащийся спрашивает:
С помощью вашего учебника я с большим трудом, но понял свою ошибку. Я взял перемещение много меньше, чем достаточно малое. Но как находить это достаточно малое в каждой конкретной задаче вы меня не научили.
Мой ответ учащемуся.
Когда будешь искать физически бесконечно малое перемещение, посмотри на получившиеся у тебя значения мгновенной скорости при уменьшающемся интервале времени: они сначала дико скачут, потом немного стабилизируются, а потом для очень малых времён начинают снова скакать и всё безумнее. Так вот там, где мгновенную скорость ты получаешь стабильнее всего, там и возьми dt.
13.09.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 14.09.2015, 12:02 | Сообщение # 2 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата EricRed (  ) они сначала дико скачут, потом немного стабилизируются, а потом для очень малых времён начинают снова скакать и всё безумнее. Так вот там, где мгновенную скорость ты получаешь стабильнее всего, там и возьми dt.
Вы не могли бы всё это (про скачки) доступно объяснить человеку с высшим образованием?
14.09.2015
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Понедельник, 14.09.2015, 21:25 | Сообщение # 3 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Вы не могли бы всё это (про скачки) доступно объяснить человеку с высшим образованием?
Из-за погрешностей результаты измерения скачут вокруг эмпирической модели. Если измерение координат было слишком точное, то на близких точках скорость будет скакать совершенно безумно. Именно поэтому экспериментальные кривые сглаживают скользящим средним.Добавлено (14.09.2015, 21:25)
---------------------------------------------
Теперь нужно показать, что мгновенная скорость при движении по окружности перпендикулярна радиусу.
Учащийся спрашивает:
Даже на сколь угодно малом интервале времени перемещение направлено по хорде окружности, потому что, условие оставаться на окружности и есть условие движения по окружности. Мне не ясно, как тогда бесконечно малое перемещение dr сможет стать перпендикулярным радиусу. Точнее, как обычно, мне не ясно, чем и по отношению к чему нужно пренебречь, чтобы dr стало перпендикулярно радиусу.
14.09.2015
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Понедельник, 14.09.2015, 22:02 | Сообщение # 4 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата EricRed ( ) Когда будешь искать физически бесконечно малое перемещение, посмотри на получившиеся у тебя значения мгновенной скорости при уменьшающемся интервале времени: они сначала дико скачут, потом немного стабилизируются, а потом для очень малых времён начинают снова скакать и всё безумнее. Так вот там, где мгновенную скорость ты получаешь стабильнее всего, там и возьми dt.
Что же делать бедному ученику?
Предельный переход от него почему-то засекретили...
Остаётся ждать появления мониторов с бесконечно малыми пикселями,
чтобы укротить безумную скачку?
14.09.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Понедельник, 14.09.2015, 22:18 | Сообщение # 5 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата EricRed ( ) Из-за погрешностей результаты измерения скачут вокруг эмпирической модели. Если измерение координат было слишком точное, то на близких точках скорость будет скакать совершенно безумно.
Скажу откровенно, совершенно не прослеживаю всю логическую цепочку. Утверждения есть, а откуда они берутся - загадка. Честно. Не пойму.
Согласен с Григорием. Вы старательно избегаете применять новую операцию анализа - предельный переход. Почему? И совсем не понимаю такое обожествление погрешностей.
14.09.2015
Сообщение отредактировал Александр_Игрицкий - Понедельник, 14.09.2015, 22:18
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Вторник, 15.09.2015, 22:10 | Сообщение # 6 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Я уже сталкивался с тем, что это на слух не понятно тем, кто руками это ни разу не делал. То есть — никому, ибо вообще делать что-то руками нас нигде ничерта не учат. Нужно всё это рисовать. Но я сейчас сижу с планшета и скоро выложить все картинки не обещаю. Когда соберусь, прям нарисую, что делал школьник и что получилось. Сейчас могу только описать словами, как вы это сами сможете нарисовать. Если нарисуете, обязательно карандашом, а не в уме представите, то станет сразу всё ясно.
Нужно взять миллиметровку или клетчатую бумагу, но большой лист, в несколько десятков клеток. Острым карандашом по линейке совершенно от балды провести прямую. Теперь представить, что сетка клеток — это шкала прибора. Поэтому результаты измерений этой прямой он будет выдавать точками в узлах сетки. Теперь нарисуйте эти точки: это, понятно, те дискретные узлы сетки, которые ближе всего к начерченной сплошной линии. Теперь вы видите, что результаты измерений скачут вокруг эмпирической модели. Причём, на половину деления шкалы прибора, как и должно быть, так как случайную погрешность мы не вводили (прибор у нас очень не точный, значит). Если острым карандашом соедините экспериментальные точки, то по этой ломаной вам станет ясно, насколько бешено скачет скорость на соседних точках. Не мудрено: если точки скачут на пол дискретности, то отношение будет скакать под 50%. Этот эффект возникает только от дискретности, то есть — только от существования погрешностей измерений. Никакого предела отношения тут не будет. Можете посчитать для разных интервалов: скачки скорости только нарастают с его уменьшением и максимальны на соседних точках.
15.09.2015
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Вторник, 15.09.2015, 22:34 | Сообщение # 7 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
EricRed, пусть так.
Дальше-то что???
15.09.2015
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Среда, 16.09.2015, 08:31 | Сообщение # 8 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата EricRed ( ) Если острым карандашом соедините экспериментальные точки, то по этой ломаной вам станет ясно, насколько бешено скачет скорость на соседних точках.
И можно уже говорить о "бешеном ускорении"? Или о "всбесившемся"?
И о нём можно говорить, как о реальном (это сарказм у меня такой)?
Какое отношение это имеет к работе с математической моделью?
Выводя формулу для центростремительного ускорения, мы что, должны
учитывать эти "скАчки на майдане"?
Вот хоть убей, не пойму, к чему это всё.
16.09.2015
Сообщение отредактировал miflin - Среда, 16.09.2015, 08:33
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Среда, 16.09.2015, 08:48 | Сообщение # 9 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата miflin ( ) Вот хоть убей, не пойму, к чему это всё.
И я не пойму!
16.09.2015
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Суббота, 30.01.2016, 19:46 | Сообщение # 10 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата miflin ( ) Вот хоть убей, не пойму, к чему это всё.
Цитата Александр_Игрицкий ( ) И я не пойму!
Это вспомнилось по ассоциации, когда наткнулся на цитату на другом форуме (автор неизвестен):
Цитата Один любознательный человек обнаружил, что в отрывном календаре длительность дня, которая обычно в таких календарях указана, меняется не каждый день: два дня подряд она может быть одинаковая, потом меняется, потом еще два-три дня не меняться может. И он заключил на основании этого, что орбита Земли – не эллипс, а многоугольник. 30.01.2016
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Понедельник, 07.03.2016, 00:41 | Сообщение # 11 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Александр_Игрицкий ( ) Дальше-то что???
Вы ж спросили, почему тут не получается применить предельный переход? Потому что никакого предела, о котором говорится в учебнике, тут не существует и впомине. В учебнике совершенно конкретно говорится, что такое координаты и даже, как они измеряются. Вот вам измерение координат не умозрительное, а рукотворное. Никакого предела отношения приращения координаты к приращению времени тут нет. В учебнике говорится о чём угодно, но не о физике.
Что будет, если повысить точность измерения? Ничего не изменится — картинка та же, изменится только масштаб. На самом же деле, начиная с некоторой точности, погрешности вдруг начнут расти и не будут уже равны даже полклетки. Такую точность называют пороговой.Добавлено (07.03.2016, 00:41)
---------------------------------------------
Цитата miflin ( ) Какое отношение это имеет к работе с математической моделью?
Вы издеваетесь? А вы хотите преподать матмодели без всякого приложения к физике, совсем не научив с помощью них описывать результаты измерений? Тогда не называйте учебник учебником физики: он о чём угодно, но не о физике.
В учебнике сказано, что такое координаты и время, даже, как их измеряют. Потом говорится, что предел отношения — это скорость. Никакого предела тут не существует. Авторы учебника ввели учащегося в заблуждение.
07.03.2016
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Понедельник, 07.03.2016, 10:05 | Сообщение # 12 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
EricRed, есть физика экспериментальная и есть физика теоретическая.
Вы заблудились в двух соснах. Тот абсурд, который Вы проповедуете, тянет, в лучшем случае, на юмор.
Но Вы крайне серьезны. К глубокому прискорбию.Добавлено (07.03.2016, 10:05)
---------------------------------------------
Цитата EricRed ( ) Никакого предела тут не существует. Авторы учебника ввели учащегося в заблуждение.
Короче, на применении производных в физике можно ставить жирный крест. Это некие фантомы.
На самом же деле всё определяется качеством миллиметровки и остротой заточки карандаша.
Чудны дела твои, господи... Это чтобы не выразиться покрепче
07.03.2016
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Вторник, 08.03.2016, 17:36 | Сообщение # 13 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата miflin ( ) EricRed, есть физика экспериментальная и есть физика теоретическая.
Вы заблудились в двух соснах. Тот абсурд, который Вы проповедуете, тянет, в лучшем случае, на юмор.
Эта лирика не имеет никакого отношения к делу. Вопрос поставлен конкретный: школьник захотел применить полученные знания — у него не получилось. Если умеете ему объяснить, как найти мгновенную скорость — излагайте. Если не умеете, вам придётся воспользоваться советом профессора Преображенского.Добавлено (08.03.2016, 17:36)
---------------------------------------------
Цитата EricRed ( ) Учащийся спрашивает:
Даже на сколь угодно малом интервале времени перемещение направлено по хорде окружности, потому что, условие оставаться на окружности и есть условие движения по окружности. Мне не ясно, как тогда бесконечно малое перемещение dr сможет стать перпендикулярным радиусу. Точнее, как обычно, мне не ясно, чем и по отношению к чему нужно пренебречь, чтобы dr стало перпендикулярно радиусу.
Здесь уже нам приходится сравнивать сами бесконечно малые те, что равны точно нулю в пределах погрешности.
Условие движения по окружности есть условие постоянства квадрата радиуса, который в подходящей системе координат равен x^2 + y^2 Его приращение за время dt равно 2(xdx + ydy) + dx^2 + dy^2 Условие оставаться на окружности — это условие равенства нулю этой величины. Пренебрегая квадратами бесконечно малых, получаем xdx + ydy = 0 что есть условие ортогональности двух векторов, в чём можно убедиться многими способами. То есть, перемещение тогда перпендикулярно радиусу, когда бесконечно малыми высших порядков можно пренебречь. Требование считать dx^2 бесконечно малым по сравнению с dx опирается на то, что их отношение равно dx то есть dx^2 составляет бесконечно малую часть dx, подобно тому, как dx составляет бесконечно малую часть x.
08.03.2016
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Вторник, 08.03.2016, 17:40 | Сообщение # 14 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата EricRed ( ) То есть, перемещение тогда перпендикулярно радиусу, когда бесконечно малыми высших порядков можно пренебречь.
Иными словами, нужно использовать наномиллиметровку?
08.03.2016
|
|
|
|
| |
|
|
EricRed | Дата: Вторник, 08.03.2016, 18:15 | Сообщение # 15 |
EricRed
Ранг: Студент (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
170 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Теперь нужно вывести формулу для ускорения.
Так как движение по окружности равномерное, то, сделав полный оборот за время T, тело будет иметь модуль мгновенной скорости равным модулю средней скорости, то есть 2pi R/T Величину 2pi /T называют угловой скоростью. Она равна количеству радиан, на которые повернулся радиус-вектор тела за секунду. Тогда v=wR, где w — угловая скорость. Направлена скорость, понятно, по ходу движения.
Если посмотреть внимательно, можно понять, что при движении тела по окружности вектор его скорости тоже вращается. Это можно сделать, мысленно перенеся его начало в центр окружности. Если же для того не хватает фантазии, то нужно нарисовать несколько векторов мгновенной скорости очень длинными (раз в десять длиннее диаметра окружности) и отойти подальше так, чтобы окружность казалась точкой. Не трудно видеть, что и угловая скорость вращения вектора скорости та же самая. Окружность, которую вычерчивает конец вектора скорости, называют годографом скорости. Траектория — это годограф радиус-вектора.
Ускорение — это скорость скорости. То есть, скорость точки годографа скорости. Так как тут снова равномерное движение по окружности, то модуль ускорения равен a=wv=w^2 R=v^2/R если вам чем-то противна угловая скорость. Как направлен вектор ускорения, не трудно сообразить: он направлен по касательной к годографу скорости, то есть перпендикулярно к скорости вправо от хода движения, то есть — по радиусу к центру исходной окружности.
Я считаю, что такой вывод формулы для ускорения в состоянии понять ученик даже ни 9-го, а 7-мого класса, потому что и векторами-то тут пользоваться нет никакой необходимости.Добавлено (08.03.2016, 18:08)
---------------------------------------------
Цитата miflin ( ) Иными словами, нужно использовать наномиллиметровку?
Ни боже мой. Эти бесконечно малые могут быть в метр длиной, а то и в парсек.Добавлено (08.03.2016, 18:15)
---------------------------------------------
Цитата Александр_Игрицкий ( ) И совсем не понимаю такое обожествление погрешностей.
А вот это точно подмечено. Я старательно всё свожу к погрешностям. Дело в том, что уж что такое погрешности-то всем понятно. Поэтому, если действительно трудные вещи сводить просто к погрешностям, то можно создать иллюзию, что они не так трудны, как есть на самом деле, и слушатели могут захотеть приложить усилие, чтобы понять.
08.03.2016
|
|
|
|
| |
|
