Статья "Рекомендации по теме: «Применение производной к исследованию функций»" для учителей математики и учащихся 11 класса.

Статья: Рекомендации по оформлению заданий по теме: «Применение производной к исследованию функций»

Петровичева М.В. учитель математики ГОУ СОШ «Школа здоровья» №306 г. Москва.

Эта тема – своеобразная лакмусовая бумажка, с помощью которой проверяется методическая культура учителя математики. Ведь здесь речь идет о теоремах, необходимость знания которых по существу и является решающей причиной введения элементов математического анализа в школьный курс математики.

1. Признак возрастания (убывания) функции.

Достаточный. Если f '(x) >0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Если f '(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2. Для решения неравенств f '(x)>0 и f '(x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов; точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f ' сохраняет постоянный знак. Знак можно определить, вычислив значение f ' в какой-нибудь точке промежутка.

Критические точки функции.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Необходимое условие экстремуму. (но не достаточное условие).

Если точка x₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ', то она равна нулю: f '(x₀)=0.

Признак максимума функции.

Если функция f непрерывна в точке x₀, а f '(x)>0 на интервале (a; x₀) и f '(x)<0 на интервале (x₀;b), то точка x₀ является точкой максимума функции f.

Признак минимума функции.

Если функция f непрерывна в точке x₀, f ' (x)<0 на интервале (a; x₀) и f '(x)>0 на интервале (x₀;b), то точка x₀ является точкой минимума функции f.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции непрерывной на отрезке.

1. Найти f '(x).

2. Найти точки, в которых f '(x) не существует, и точки, в которых f '(x)=0; отобрать из них те, которые лежат внутри [a;b].

3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках a, b и в критических точках. Выбрать среди этих значений наибольшее (это будет maxf(x)) и наименьшее (это будет minf(x))

^{[a;b] [a;b]}

Замечания по оформлению.

1. При нахождении критических точек функции полезно отметить в начале область её определения. К сожалению, некоторые ученики забывают об этом и сразу приступают к поиску значений x, при которых производная данной функции обращается в нуль.

D(f)=…, D(f ')=…

2. При нахождении промежутков монотонности ошибки допускают записывая объединение промежутков.

Нужно писать, используя знак “,”

3. Иногда, выполняя задания, связанные с нахождением промежутков возрастания или убывания, ученики затрудняются в выборе вида соответствующего промежутка. Они точно не знают включать ли в искомое множество экстремальные и другие особые точки.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

4. Точками максимума и минимума являются лишь точки области определения функции, и ординат эти точки иметь не могут.

Значения в точках экстремума называются экстремумы функции.

Рассмотрим примеры оформления заданий по теме.

5.4 С12(а) стр.173

Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

y(x) = xsinx + cosx – x² – 4sinx + 8x – 5

Решение.

Воспользуемся достаточным признаком возрастания (убывания) функции.

1. D(y) = R

2. y '(x) = (x) 'sinx + x·(sinx) ' + (cosx) ' + (– x²) ' + (– 4sinx) ' + (8x – 5) = sinx + xcosx – sinx –
   – 2x – 4cosx + 8 = (cosx)(x – 4) – 2x + 8 = (x – 4)cosx – 2(x – 4) = (x – 4)(cosx – 2)

D(y') = D(y) = R

3. Найдём критические точки функции, решив уравнение y '(x) = 0

(x – 4)(cosx – 2) = 0

x = 4 – критическая точка.

cosx – 2 = 0

cosx = 2

решений нет, так как |cosx| ≤ 1, а |2| >1.

4. Исследуем знак производной методом интервалов

y '(x) + –

y(x) 4 ^x

т.к. -1 ≤ cosx ≤ 1

-3 ≤ cosx – 2 ≤ -1, т.е. cosx – 2 < 0

y '(0) > 0

y '(5) < 0

В интервале (-∞; 4) производная функции y(x) положительна и в точке x = 4 функция y(x) непрерывна, следовательно, данная функция возрастает на промежутке (-∞; 4].

Производная функции y(x) в промежутке (4; +∞) отрицательна и в точке x = 4 функция y(x) непрерывна, значит, функция убывает на промежутке [4; +∞).

Ответ: промежуток возрастания (-∞; 4]; [4; +∞) – промежуток убывания.

Несколько слов о заданиях, связанных с нахождением числа корней уравнения f(x) = a на промежутке и, в частности, числа нулей функции на промежутке.

При решении этих задач используется следующее свойство:

Если непрерывная функция f(x) возрастает на промежутке, то каждое своё значение на этом промежутке функция f(x) принимает ровно один раз.

Полезно следующее утверждение:

Если функция f(x) монотонна на промежутке I, то уравнение f(x) = a имеет на промежутке I не более одного решения.

Рассмотрим задание 5.1 С03(а) стр.153

Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = и число нулей данной функции на промежутке [0; 10].

Решение.

1. D(f) = R

2. f '(x) =

D(f ') = D(f) = R

3. Найдём критические точки функции, решив уравнение f '(x) = 0.

x(x – 10) = 0

критические точки функции x = 0 и x = 10.

4. Определим знак производной.

f '(x) + – +

f(x) 0 10 ^x

в промежутках (-∞; 0) и (10; +∞) производная функции положительна и в точках x = 0 и x = 10 функция f(x) непрерывна, следовательно, данная функция возрастает на промежутках: (-∞; 0]; [10; +∞).

В в промежутке (0; 10) производная отрицательная и в точках x = 0 и x = 10 функция f(x) непрерывна, следовательно, данная функция убывает на промежутке [0; 10].

Определим знак значений функции на концах отрезка.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Так как на отрезке [0; 10] функция убывает и знак значений функции изменяется, то на этом отрезке один нуль функции.

Ответ: функция f(x) возрастает на промежутках: (-∞; 0]; [10; +∞);

функция f(x) убывает на промежутке [0; 10];

на промежутке [0; 10] функция имеет один нуль функции.

5.6.С11(а) стр.184

Найдите точки экстремума функции f(x) =

Какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума ?

Решение.

Точки экстремума функции это внутренние точки области определения функции, в которых возрастание сменяется убыванием и наоборот.

1. Найдём область определения функции f(x)

т.к. D(ln) = (0; +∞)

x + 16 > 0 x > -16

D(f) = (-16; +∞)

2. f '(x) =

D(f ') = (-∞; -16)  (-16; +∞)

так как D(f) = (-16; +∞), D(f ') = D(f) = (-16; +∞)

3. Найдём критические точки функции, решив уравнение f '(x) = 0 на множестве
   (-16; +∞).

7  (-16; +∞), -7  (-16; +∞)

Критические точки функции x =7 и x = -7

4. Исследуем знак производной методом интервалов

f '(x) + – +

f (x) -16 -7 7 ^x

f '(-8) = , f '(-8) > 0

f '(0) = , f '(0) < 0

f '(8) = f '(-8) > 0.

В точке x = -7 производная меняет знак с “+” на “-”, следовательно, возрастание сменяется убыванием, тогда x = -7 – точка максимума.

В точке x = 7 производная меняет знак с “-” на “+”, следовательно, убывание сменяется возрастанием, тогда x = 7 – точка минимума.

Ответ: x_max = -7, x_min = 7.

5.1 С05(а) стр.154

На прямой, параллельной оси ординат, взяты точки, лежащие на графиках функций
y = x + 3 и y = x – 1.

Найдите координаты этих точек, если известно, что сумма квадратов расстояний от этих точек до точки М (-2;-3) является наименьшее из возможных.

Решение.

Если прямая, параллельна оси ординат, то её уравнение можно записать в виде x = d.

Пусть точка K лежит на этой прямой и графике функции y = x + 3, тогда K (d; d+3).

Пусть точка L лежит на этой прямой и графике функции y = x – 1, тогда L (d; d-1).

Запишем сумму квадратов расстояний

MK² + ML² = (d + 2)² + (d + 3 + 3)² + (d + 2)² +
+ (d – 1 + 3)² = (d + 2)² + (d + 6)² + (d + 2)² + (d + 2)²= = 3(d + 2)² + (d + 6)² = 3d² + 12d + 12 + d² + 12d + 36 = 4d² + 24d + 48

Нам нужно найти значение d, при котором сумма квадратов MK и ML будет наименьшей.

Пусть f(d) = 4d² + 24d + 48.

Эта функция является квадратичной. Наименьшее значение принимает при , получаем d = -3.

Вычислим координаты точек K и L

K (-3; 0) и L (-3; -4).

Ответ: K (-3; 0) на графике функции y = x + 3;

L (-3; -4) на графике функции y = x – 1.

5.2 С06(а) стр.161

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке [-11; 10].

Решение.

Функция определена и непрерывна на множестве
D(y) = (-∞; 17)  (17; +∞) и, в частности, на заданном отрезке [-11; 10], поэтому можно воспользоваться алгоритмом отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1. Чтобы найти производную, преобразуем правую часть формулы функции.

y(x) = (x – 3)²(x – 17)^-2.

Найдём производную по правилу производная произведения:

2. Производная существует в любой точке области определения функции. Найдём точку, в которых y '(x) = 0 из множества D(y) = (-∞; 17)  (17; +∞)

3[-11; 10].

2. Вычислим значения функции y(x) в точках x = -11, x = 3 и x = 10 и выберем из них наибольшее и наименьшее.

Ответ:

.

Нужно иметь в виду, что уровень строгости в освещении этого вопроса в школьных учебниках различен. Вкусы их авторов не совпадают. Поэтому учителя вносят необходимые коррективы в содержание некоторых разделов курса, в список употребляемых терминов.

Литература

1. С.А. Шестаков «Алгебра и начала анализа. Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы». Внешсигма-М, Москва2004.

2. А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа». Учебник для 10-11 классов. Москва «Просвещение» 2010.