Научно-исследовательский проект:Кривая второго порядка – циклоида обыкновенная.

3

АМ=\0А\

Рис.1

A₁A₂ - основание циклоиды, А₃ - вершина, А₃М -высота циклоиды,

ﮟ A₁A₂A₃ - арка циклоиды, пря­мая I - линия центров.

2. Галилей экспериментально установил, что площадь под одной аркой циклоиды в 3 раза больше площади производящего циклоиду круга, а длина дуги арки равна четырем диаметрам круга.

3. Уравнение циклоиды удобно записывать через α - угол поворота окружности, выраженный в радианах (он численно равен пути, пройденному производящей окружностью по прямой):

х = гα-rsinα, у =r-r cos α.

4. Циклоида имеет ряд замечательных свойств.

За одно из них она получила название брахистохроны.. Это слово произошло от греческого «brachistos», что означает «кратчайший» и «chronos», что означает «время», т. е. брахистохрона - это кривая наикратчайшего по вре­мени спуска.

ОПЫТ.

Рассмотрим три отшлифованных желоба, со­единяющих точки А и В (рис. 2). Три полированных металлических шарика скатываются по этим жело­бам. Время наименьшего спуска у шарика, двигаю­щегося по циклоидальному желобу. Это впервые ус­тановили швейцарские математики братья БЕРНУЛЛИ (в 1696 году) точным расчетом.

Доказатель­ства Бернулли послужили толчком для развития но­вой отрасли математики - вариационного исчисления, раздела математики, изучающего методы исследова­ния некоторых величин на достижение ими максиму­ма или минимума.

Рис.2

2. Другим синонимом циклоиды является таутохрона (от греческих слов «tautos» - тот же самый, «chronos» - время). Такое название циклоиды связано с истори­ей маятниковых часов, с попыткой ученых создать «идеальный» маятник, т. е. такой маятник, период колебаний которого не зависит от его размаха. Христиан ГЮЙГЕНС, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник. Он подвесил маятник в острие перевернутой циклоиды (точка О), сделал длину нити равной половине длины арки циклоиды (АО) и дал возможность нити наматываться на циклоидальные «щеки» (ОА и ОВ).

3. При этих условиях конец маятни­ка (Г) движется по циклоиде (таутохроне), а период колебания не зависит от величины начального откло­нения

(рис. 3).

Рис.3

2. Древние ученые не знали циклоиду, но они знали и успешно пользовались ее близкой родственницей - эпициклоидой, плоской кривой, описываемой точкой окружности, которая катится без скольжения по дру­гой неподвижной окружности, касаясь ее извне

(рис. 4).

Рис. 4

Если радиус неподвижной окружности равен ра­диусу подвижной, то эпициклоиду называют кардиои­дой (алгебраическая кривая четвертого порядка) (рис. 5).

Рис. 5

7. Другой «родственницей» циклоиды является гипо­циклоида - плоская кривая, описываемая точкой ок­ружности, катящейся внутри и без скольжения по другой неподвижной окружности (рис. 6). В зависи­мости от соотношения длин радиусов подвижной и неподвижной окружностей, получаются различные формы гипоциклоид. Если радиус неподвижной ок­ружности в 4 раза больше радиуса подвижной, то эта гипоциклоида называется астроидой (рис. 7).

Если радиус неподвижной окружности равен а, то в системе хОу уравнение астроиды имеет вид:

⅔ ⅔ ⅔

х + у = а.

Длина астроиды равна 6а, а площадь фигуры, ограниченной ею - 3/8 а² (R = а).

8. Задачи, приводящие к циклоиде, сыграли огром­ную роль в становлении механики и математического анализа. Но, когда величественные здания этих наук были построены, оказалось, что эти задачи являются частными, далеко не самыми важными.

История циклоиды завершилась в конце XVII века: стало ясно, что циклоида не связана с фундаменталь­ными законами природы, как например, конические сечения.

Произошла поучительная историческая иллюзия.