Паспорт кривой второго порядка-параболы

Творческий исследовательский проект.

Ученики: класса.

У читель: Логинова Н.А.

у

х

2008г. с. Бояркино.

Парабола. у

Год рождения: 350 год до н.э.

Р одители: Конус и плоскость, о х

Национальность: гречанка.

Слово произошло от греческого «пара» - рядом и «баллейн» - бросать (от него происходит слово баллистика).

Основные ошибки, совершаемые учащимися при общении с кривой:

- Парабола является одной из самых известных кривых в математике и, наверное, никакая другая кривая не имеет в своем характере столько непонятных моментов, как она. На вопрос: «Что такое парабола?» - большинство отвечает, что это график фун­кции у = ах² + вх + с.

Но это неверно! Параболой называется график функции у = ах² без всяких вх + с.

- Парабола — четная функция. Замаскировавшись под своим квадратом, всегда так и ждет момента, чтобы сбить с толку несведущего человека, действительно, пусть у нас имеется значение функции у = х² = 1. Требуется узнать, какой аргумент у функции?

- Конечно, х = 1, — восклицает учащийся.

— Да! Но «плюс» или «минус» х? Ведь х и — х в квадрате есть х².

Это должен знать каждый!

- Самой уничтожающей характеристикой параболы является то, что она любит совать свой нос, куда ее не просят. Например, параболе очень нравится такая формула: у = Н = gx²/2. А это не больше, не меньше, как траектория полета бомбы, сброшенной с самоле­та. А парабола у = х² описывает полет снаряда.

- Форма абажура и лампочки в виде параболы, струя жидкости, вытекая из сосуда, опи­сывает параболу. Если свет конической лампочки направить на плос­кость, освещенная часть плоскости будет ограничена параболой.

- Если источники света поместить в фокус параболического зеркала, лучи, отразившись, пойдут параллельным пучком и, наоборот, парал­лельные пучки света, отразившись от зеркала, соберутся в одной точке — фокусе параболы. Это свойство применяется в рефлекторных антеннах, радиотелескопах, радиолокаторах.

- Форму параболы принимает жидкость в цилиндрическом сосуде, если этот сосуд вращать вокруг его оси. Использовав для этой цели ртуть, американский физик Роберт Вуд получил идеальное зеркало для телескопа.

- Впервые формой радуги заинтересовался Р. Декарт. Почему это парабола, а не какая-либо другая фигура? В книге «Метеоры» он дал качественное объяснение явления радуги, используя точный математический расчет.

Иллюстрация из книги «Метеоры».

«

Серьёзно о несерьёзной параболе.

1. Построение параболы

Построение параболы с помощью натянутой нити.

Определение параболы как особого геометричес­кого места точек наводит на идею создания прибора, способного вычерчивать параболу.

Прибор состоит из линейки и угольника, к одно­му из острых углов которого (точка S) прикреплена нитка, по длине равная прилежащему к этому углу катету SN (рис. 1). Другой конец нити закреплен в точке плоскости - фокусе параболы.

Рис.1

Линейка прикладывается к директрисе. Угольник скользит вторым катетом по линейке, а карандаш удерживает нить в натянутом состоянии и прижима­ется к катету NS, скользя вдоль него. При движении угольника вдоль линейки карандаш вычерчивает па­раболу (см. рис. 1).

1.2. Парабола как огибающая семейства прямых.

а) Парабола может возникать не только как мно­жество точек, удовлетворяющих некоторому условию. Она, подобно гиперболе и эллипсу, может являться огибающей некоторого семейства прямых. Это озна­чает, что парабола может касаться всех прямых это­го семейства.

Эти прямые можно получить так: на листе бумаги начертить прямую I и точку А. Через каждую точку N прямой I провести прямую, перпендикулярную NA.

Парабола - огибающая этого семейства прямых.

б) Если точки Р и N пересекающихся прямых 1₁ и 1₂ движутся равномерно по этим прямым, то прямые PN либо параллельны друг другу, либо касаются од­ной параболы (рис. 2).

3.2. В прожекторах, фонарях, фарах машин исполь­зуется параболоид вращения. Поверхность такого параболоида можно получить, если параболу вращать вокруг ее оси (рис. 6).

Все зеркала, отшлифованные в виде параболоидов, обладают свойством параболы: лучи, выходящие из источника света, расположенного в фокусе, не рассе­иваются, а, отразившись от стенок параболоида, идут параллельно его оси. Американский ученый Роберт ВУД получил параболическое зеркало, вращая сосуд с ртутью. Зеркало получилось отличным! На принципе ртутного зеркала основано устройство специального телескопа для наблюдения звезд и планет, находя­щихся в зените.

Если зеркало с поверхностью, образованной вра­щением параболы около ее оси, направить на Солнце, то в фокусе образуется очаг, в котором при достаточ­ном размере зеркала можно даже плавить сталь.

Согласно легенде, АРХИМЕД (287-212 гг. до н. э.) из Сиракуз сжег флот римлян, обороняя свой город с помощью подобных зеркал. (Слово «фокус» в перево­де с латинского означает «очаг», «огонь».)

Это свойство параболических зеркал использует­ся при конструировании солнечных печей, телеско­пов и т. д. Параболические антенны собирают в одну точку сигналы радиолокатора, отраженные от само­лета.

3.3. Камень, брошенный под углом к горизонту, летит по параболе. Это же можно сказать и об орудийном снаряде. Правда, сопротивление воздуха, как в том, так и в другом случае искажает форму параболы и в действительности получается другая кривая. Но, на­блюдая движение в пустоте, мы увидели бы настоя­щую параболу.

При одной и той же скорости v вылета снаряда из ствола орудия, придавая стволу, различные углы на­клона к горизонту, получаются различные параболы, описываемые снарядом, с различной дальностью по­лета. Наибольшая дальность достигается при наклоне ствола, равном 45°. Эта дальность равна v²/ g, где g- ускорение свободного падения. Если стрелять вертикально вверх, то снаряд поднимется на высоту в 2 раза меньшую, чем наибольшая дальность полета.

Как бы ни поворачивался ствол орудия (в одной и той же вертикальной плоскости) при заданной ско­рости вылета снаряда, на земле и в воздухе останутся места, куда снаряд не попадет. Эти места отделяются от тех мест, куда снаряд попадет при соответствую­щем прицеливании, тоже параболой, которая назы­вается параболой безопасности (рис. 7.)

Параболы, по которым движутся снаряды, каса­ются параболы безопасности, т. е. речь идет об огиба­ющей кривой траекторий движения снарядов, выпу­щенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Если рассматривать такую огибающую в простран­стве, то возникает поверхность - параболоид вращения.

Траекториями движения метательных снарядов ин­тересовался еще АРИСТОТЕЛЬ (384-322 гг. до н. э.). Его утверждения были далеки от истины, так как не опи­рались на эксперимент. И уж, конечно, воины Алек­сандра Македонского, его царственного ученика, не применяли его теории, когда метали камни из ката­пульт, осаждая персидские и вавилонские города.

В XIII веке нашей эры монах - Бертольд ШВАРЦ открыл порох для европейцев, что повлекло за собой революцию в военном деле. До этого применяли только на­стильный огонь и пушки были без укрытия. Открытия, связан­ные с изучением траекторий дви­жущегося снаряда, позволили использовать навесной огонь из-за укрытия.

Первым из матема­тиков решал эту задачу Николо ТАРТАЛЬЯ (1500-1557 гг.) из Вене­ции. Тарталья занимался многими вопросами математики и механики. Однако и Тарталья не знал теоретических основ за­конов, управляющих движением снарядов.

И лишь ГАЛИЛЕЙ установил эти законы, связан­ные с законами падения тел.

Галилео Галилей (гравюра XVII века), 1564-1642.