Статья "Реализация уровневой дифференциации на различных этапах обучения математике. 7, 8 и 9 классы"

Серова Лидия Ивановна

Учитель математики средней школы № 1324

Реализация уровневой дифференциации на различных этапах обучения математике.

Цель разноуровнего обучения.

Реализация личностно-ориентированного подхода при обучении математике. Что под этим нужно понимать? Реализация - это значит, обеспечить любой желаемый уровень глубины изучения материала. Учитель не должен ограничиваться интересами “среднего” ученика, при этом изложение материала должно отличаться языком, стилем, способом введения основных понятий.

Общая схема изучения материала остается единой для всех учащихся.

Оперативная установка обратной связи через задания разного уровня сложности.

I уровень.

Решая задания I уровня сложности, учащиеся должны видеть ситуацию, подметить закономерность (выполняются подготовительные упражнения).

II уровень.

Задания II уровня сложности – уметь воспроизводить ситуацию (закономерность).

Выполнять упражнения с непосредственным применением выведенных формул.

III уровень.

Решая задания III уровня сложности, необходимо уметь проводить доказательные рассуждения на каждой стадии решения задачи (применение выведенной формулы в совокупности с ранее изученным материалом).

Обоснование разноуровнего обучения.

Обоснование разноуровнего обучения строится на том, что ученик вовлекается в активную и посильную самостоятельную учебную деятельность.

Преподавание такого предмета, как математика, требует индивидуального подхода. У каждого ученика процесс усвоения индивидуальный: разные работоспособность и уровень обучаемости. Разноуровневое обучение помогает каждому ученику реализовать свои возможности.

В настоящее время контроль в традиционной форме уже недостаточен, так как недостаточно индивидуален и не соответствует структуре и содержанию КИМов, которое образует двухступенчатую систему контроля знаний.

Поделюсь своим опытом составления разноуровневых заданий на разных этапах обучения.

7 класс. Тема: “Выражения с переменными”.

Учащимся дается задание прочитать материал в учебнике и выполнить самостоятельно упражнения разного уровня сложности.

I уровень на оценку “3”.

(Подготовительные упражнения. Формально – логический уровень).

1. Выполните действия с дробями, записанными буквами:

а) _{ }; б) _{ }.

(Увидеть закономерность. Пробное применение знаний).

2. Подберите такие значения переменных x и y,чтобы выполнялось условиеx + y = -1.

II Уровень. На оценку “4”.

Нужно применить закономерность с частичной поисковой работой, правила, теоремы для решения стандартных задач.

1. Запишите с помощью букв правило, «зашифрованное» данным равенством:

а) _{ }; б) _{ }

(Уметь воспроизвести ситуацию).

2. Укажите, какие числовые значения могут принимать буквы a и b в алгебраических выражениях:

_{ }; _{ }; _{ }; _{ }.

III Уровень. На оценку “5”.

(Поиск в новой нестандартной ситуации для учащихся, которые могут продемонстрировать свою “продвинутость”, умение проводить доказательные рассуждения на каждой ступени решения задачи).

1. Смешанная дробь записана в виде суммы_{ }, где буквы a, b, c обозначают некоторые числа. Запишите эту сумму в виде дроби _{ }.

2. По заданной математической модели 7 · (x + 1) придумайте соответствующие реальные ситуации (площадь прямоугольника, формула пути).

На следующем уроке – промежуточный контроль.

I Уровень.

1. Известно, что x + y = 4,z = 6. Найдите x + y + 5z.

2. Представьте многочлен a + b +c в виде суммы двух слагаемых, из которых одно равно:

а) a + b; b)a + c.

IIУровень.

1) Найдите при каких значениях переменной а верно равенство _{ }.

2) Упростите выражение _{ }.

III Уровень.

1) Найдите общие множители числителей и знаменателей дробей и сократите их.

_{ } ;_{ } ;_{ }.

Укажите недопустимые значения x, y, z.

2)Каким числом, четным или нечетным, будет сумма двух последовательных натуральных чисел x и x + 1?

7 класс. Тема: “Решение системы уравнений”.

Выберите любой из трех уровней контроля.

Первый уровень проверки.

Задание 1. Решите методом подстановки:

Задание 2. Решите методом сложения:

Задание 3. Решите методом сравнения:

Задание 4. Решите графически:

Задание 5. По задаче: «Сколько стоят тетрадь и ручка, если известно, что 5 тетрадей и 2 ручки стоят 130 рублей, а 2 тетради и 3 ручки стоят 129 рублей?» - составлена система уравнений:

Запишите второе уравнение этой системы.

Второй уровень проверки.

Задание 1.

Дано начало решения системы:

Решение:

Объясните начатое решение и продолжите его любым известным вам способом.

Задание 2.

Заполните пропуски в системе уравнений

составленной по условию задачи: «Сколько нужно трехтонных и пятитонных грузовиков, что бы перевезти 150 т груза, если общее число грузовиков 42?».

Задание 3.

Решите систему уравнений:

Третий уровень проверки.

Задание 1.

Найти два числа, сумма которых равна n, а разность равна m.

Задание 2.

Решите систему:

Задание 3.

Решите систему, если известно, что первое ее уравнение обращается в верное равенство при x = 3 и y = -10, а второе – при x = 5и_{ }

8 класс. Определение квадратного уравнения.

Первый уровень проверки.

Задание 1.

Приведите к виду _{ }следующие уравнения:

а)_{ }; г)_{ };

б)_{ }; д)_{ };

в)_{ }; е)_{ }.

Поддержка. Если записать многочлен второй степени, содержащийся в левой части квадратного уравнения по убывающим степеням x, то уравнение можно представить схематически: _{ } + x + = 0.

Задание 2.

Решите уравнение:

I Шаг. Приведите уравнение к виду _{ }

II Шаг. Выделите коэффициенты уравнения.

III Шаг. Подставьте в формулу корней

_{ }.

IV Шаг. Вычислите значения корней.

V Шаг. Ответ.

В алгоритме, который вы прошли, сколько шагов?

Второй уровень проверки.

Задание 1.

1)_{ }; 5)_{ };

2)_{ }; 6)_{ };

3)_{ }; 7)_{ };

4)_{ }; 8)_{ }.

а) Как бы вы назвали каждое из уравнений: целое, дробное, рациональное?

б) Выберите из уравнений квадратные или приводящиеся к квадратным. Найдите корни этих уравнений.

Задание 2.

Используя в качестве коэффициентов только числа 1, 2, 3 запишите все возможные квадратные уравнения, коэффициенты a, b, c которых различные числа. У вас должно получиться 6 уравнений.

Решите любые два уравнения.

Третий уровень проверки.

Заполните пропуски.

8 класс. Теорема Виета.

Первый уровень проверки.

Заполните таблицу

Второй уровень проверки.

Задание 1.

Известно, что сумма двух чисел равна 15, а их произведение равно 11. Составьте квадратное уравнение, корнями которого были бы эти числа. Решите его.

Третий уровень проверки.

Задание 1.

Площадь прямоугольника равна 253 м², а его полупериметр равен 34 м. Найдите стороны этого прямоугольника.

Как вы объясните, почему вновь появилась задача о размерах прямоугольника?

Задание 2.

Найдите по сумме и произведению двух чисел сами числа:

_{ }, и_{ }.

Построение графика квадратичной функции, 9 класс.

Задание на дом, III Уровень.

1) Постройте график квадратичной функции:

а) _{ };

б) _{ }.

2)Сократите дробь:

_{ }.

3)Выполните действия:

_{ }.

9 класс. Тема: «Решение неравенства методом интервалов».

Выходной контроль.

I уровень на оценку «3».

(Из серии подготовительных упражнений. Увидеть закономерность).

1) _{ };

2) _{ };

II уровень на оценку «4».

(Увидеть закономерность на более сложном задании).

1) _{ };

2) Равносильны ли неравенства?

_{ } и _{ }.

III уровень на оценку «5».

(Поисковая работа в измененной ситуации).

1) Решите неравенство

_{ };

2)

_{ }.

Рассмотрим систему отслеживания результатов обучения на всех этапах урока на примере изучения темы «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений». 7 класс.

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Преподавание такого особенного предмета, как математика, требует индивидуального подхода. У каждого ученика процесс усвоения знаний индивидуальный, разные работоспособность и уровень обучаемости, поэтому так важно не только разноуровневое обучение, но и обеспечение оперативной обратной связи через задания разного уровня сложности. Контроль в традиционной форме, на мой взгляд, недостаточен, так как недостаточно индивидуален. Введение новой формы экзаменов (ЕГЭ и ГИА-9) еще больше актуализировали необходимость уровневого подхода в обучении. Над этой проблемой педагоги и психологи работают уже давно, развивая и совершенствуя новые формы подачи и контроля увеличивающегося и усложняющегося объема информации. На практике мы убедились, что разноуровневое обучение ведет к более глубокому осмыслению учащимися изучаемого материала: повышаются ответственность и уровень саморегуляции, появляется возможность самостоятельного выбора уровня в соответствии со склонностями и способностям. На таких уроках контроль знаний становится более открытым и понятным, что значительно снижает состояние тревожности ученика в стрессогенной ситуации контроля и оценки. Задания разбиваются по разным уровням сложности: выполнение упражнений с непосредственным применением формул; умение проводить доказательные рассуждения в совокупности с ранее изученным материалом, ведение поиска и пробы новых, нестандартных средств решения задачи.

Разноуровневое обучение важно вводить корректно и постепенно, развивая познавательный интерес ребенка и его творческую составляющую, что дает возможность увидеть степень усвоения материала и уровень самооценки учащегося. Поделимся опытом проведения разноуровневого обучения на примере урока алгебры в 7 классе.

Тема урока «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений».

Цели: ознакомлениес новой техникой тождественных преобразований выражений с помощью формулы;

формирование навыков тождественных преобразований выражений с использованием формул сокращенного умножения;

развитие у учащихся умения адаптироваться в новой ситуации, осознавать и определять свои возможности, искать ресурсы их осуществления;

создавать ситуацию успеха через возможность выбора заданий разного уровня сложности.

Этапы процесса обучения.

1. Подготовка к восприятию и усвоению нового материала.

2. Изучение нового материала.

3. Закрепление полученных знаний.

4. Определение уровня усвоения нового материала и корректировка по необходимости.

5. Выходной контроль

Ход урока.

Учитель:

- Тема «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений» связана многими невидимыми ниточками с тем, что вы уже знаете (умножение многочлена на многочлен, приведение подобных слагаемых, действия со степенями). Эта тема научит вас экономить время и силы при преобразовании выражений с помощью новой техники преобразований – использования формул. Запишите в тетрадях тему урока «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений».

В результате усвоения темы:

- узнаете формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; (а+b)²=а²+2аb+b² ; (а−b)²=а²−2аb+b² ;

- научитесь читать эти формулы и распознавать квадрат суммы и квадрат разности двух выражений, пользоваться этими формулами для упрощения выражений.

I. Подготовка учащихся к восприятию и усвоению нового материала

* проводится устно на заданиях разного уровня сложности, записанных на доске.

Учитель.

1. Давайте подумаем, какие из выражений можно представить в виде квадрата одночлена: 1) 4а² b²= ; 2) 8а³= ; 3) 1/9 а² b²= ; 4) а²+b²= .

2. Представьте, любым способом, одночлены в виде удвоенного произведения одночленов:

1) 4xy= ; 2) x= ; 3)-3ab= .

* ребята довольно быстро отмечают особенность, при отсутствии множителя кратного двум, можно одночлен умножить и разделить на два.

3. Выполните действия:

1) 3а²x(−x²)= ; 2) (−2a)² (−3a)= ; 3) ( х⁵)ⁿ (х³)^2-n= .

4. Замените многоточие одночленами с целыми коэффициентами так, чтобы равенства были верны: 1) ...x²=x⁴; 2) ...(−3xy)=18x³y; 3) 12k²p²=(6kp²)(...) .

5. Составьте двучлены из одночленов: 2a и b ; а² и −b² ; −a и −b.

6. Прочитайте выражения: a+b ; a−b ; (a+b)²; ab ; 2 ab ; а²+2 ab+b².

II. Изучение нового материала.

Учитель.

- Введем новое математическое понятие – формула. «Формулой называется символическая запись, содержащая некоторое утверждение, выраженное условными знаками».

Сейчас мы выполним небольшую самостоятельную работу в тетрадях: представьте произведение двучленов в виде тождественно равного ему многочлена:

1-й вариант ( а + b ) ( а + b ), 2-й вариант ( а − b ) ( а − b ). Вы получите формулу, если запишите левую часть тождества как квадрат двучлена, а правую только в виде трехчлена.

Теперь обменяйтесь вариантами с соседом и сравните полученные результаты с записями на доске: ( а + b ) ( а + b ) = а²+2аb+b² и ( а − b ) ( а − b ) = а²−2аb+b².

Обратите внимание на то, что

- выражение в правой части состоит из скольких слагаемых? – (ответ) трех;

- из них представляют квадраты выражений a и b сколько? – (ответ) два;

- третье слагаемое это? – (ответ) удвоенное произведение выражений a и b;

- знак у удвоенного произведения такой же, как и? – (ответ) знак у выражения b;

- знак каждого квадрата обязательно? – (ответ) положительный.

*проговаривание хором значительно снижает уровень тревожности у детей, что способствует лучшему усвоению новой информации, при этом используются каналы восприятия и визуальный, и аудиальный.

Задание: а теперь, давайте вместе составим алгоритм возведения двучлена в квадрат:

1-й шаг - находим первое и второе слагаемые; 2-й шаг - находим квадрат первого слагаемого; 3-й шаг – устанавливаем знак удвоенного произведения слагаемых; 4-й шаг - находим удвоенное произведение первого слагаемого на второе; 5-й шаг – находим квадрат второго слагаемого.

III. Закрепление полученных знаний.

Учитель.

Задание: прочитайте п.31 в учебнике до примера 1 стр.141 и выделите все новые слова и новые выражения. Теперь вместе прочитаем словесную формулировку формулы сокращенного умножения стр.140.

Итак, квадрат суммы (разности) двух выражений можно найти очень просто, не умножая каждый раз многочлен на многочлен, а сразу применить формулу, поэтому эти формулы еще называют формулами сокращенного умножения.

Для лучшего запоминания, усвоения формулы квадрата двучлена представим формулу схематически: (☺ + ☻ )² = ☺² +2☺☻ + ☻². Наша формула надела «маску», и если ее снять, то можно увидеть, что на месте выражений а и b могут «прятаться» любые другие выражения, например: 2m и n ; а² и −3 и т.д.

Задание.

Найдите квадраты двучленов, пользуясь формулами сокращенного умножения: (3m+n)² и (a³−3)²

*решения проводятся не только в тетради, но и на доске.

Получим:

(3m+n)² = (3m)² +2 · 3m ·n + n² = 9m² + 6mn+ n²

(a³−3)² =(a³)² − 2·a³·3 + 3² = a⁶− 6a³ + 9

Корректировка знаний

Задание: покажите с помощью стрелки, к какому виду относится данное выражение.

Рисунок задания имеется на каждом рабочем месте и изображен на доске, ученики выходят, по желанию, решают эту задачу.

И еще раз поработаем с учебником, разберите на стр.141 решения примеров № 1-4.

IV. Определение уровня усвоения материала.

Учитель.

Используя образцы решений примеров №1-4 в учебнике на стр.141, преобразуйте квадрат двучлена в трехчлен. 1 вариант (2х+3)² – это №862а; 2 вариант (7у-6)² , №862б

*несколько решений учащихся проектируется на экран, с дальнейшим разбором заданий.

Задание 2. Перед вами два ящика и десять карточек с алгебраическими выражениями. Разложите карточки по ящикам.

4. (b+a)² 5. (a−b)² 6. (a+b)²

7. (a+b+c)² 8. −(a+b)²

9. 3·(a+b)² 10. (a+(−b))²

*учащиеся выходят к доске и раскладывают с помощью магнитов карточки по ящикам.

Учитель.

Давайте подведем итог, что мы сегодня узнали и чему научились. Узнали новое понятие «формула», научились распознавать и применять формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.

V. Выходной контроль.

Учитель.

Сейчас я раздам вам карточки с вариантами самостоятельной работы, в которых задания разного уровня сложности. Выполните в тетрадях самостоятельную работу, выбрав любые три задания. Ваша работа будет оцениваться по количеству набранных баллов. Баллы проставлены справа от задания. 3-4 балла – оценка «3»; 5-8 баллов – оценка «4»; 9-12 баллов – оценка «5».

I вариант II вариант

1) раскройте скобки

(k + m)² (n + c)² 1 балл

2) Укажите выражение, которое является квадратом суммы

х и 3 у и 4 1 балл

1) (x²+9)² 1) (y²+4)²

2) (3+x)² 2) 2(y+4)²

3) (x²+6)² 3) (y+4)²

4) (2х²+9)² 4) (2у²+4)²

3) Заполните многоточия одночленами так, чтобы равенство было верным

(а+...)²= а²+2аb+b²; (m−...)²=m²−2mn+n²; 1 балл

(а+5 b)^{2 =} а²+10аb+… ; (2х +у)²=… +4ху+у². 2 балла

4) Найдите квадрат двучленов

(−х −у)²= −(−x+y)² = 2 балла

(1−х/у)²= (а/2−1)² = 2 балла

(aⁿ⁺¹−1∕2 aⁿc⁴)= (a+b+c)²= 3 балла

10. Домашнее задание. Попробовать написать сказку о квадрате двучлена.

11. Обратная связь.

Учитель.

Давайте посмотрим,как мы справились с новой темой:

-что было на уроке хорошего и интересного;

- что было плохого или трудного;

- что хотелось бы поменять на этом уроке;

- предложите, как быстрее запомнить эту формулу.

Как вы чувствуете, как вами усвоен материал? Ваше мнение можно выразить поднятием рук. Обе руки подняты вверх - материал усвоен на 100%, вниз – не усвоен. Всем спасибо.

Учитель получает анализ результатов урока на основе статистических показателей.

Так выполняется задача собрать и проанализировать сведения о затруднениях и ошибках учащихся, намечаются пути их устранения.

Положительные аспекты уровнего обучения.

1) Педагогический процесс строится как создание разноуровневых условий обучения с учетом особенностей ученика.

2) Разноуровневое обучение гарантирует освоение стандартами на более высоком уровне, показывает учащимся их продвижение, выявляются учащиеся, способные к математике. Ученик имеет возможность самореализоваться.

3) Исключается уравниловка, усреднение детей, появляется возможность обучения каждого на уровне его способностей.

4) Меняется роль учителя, появляется оперативная обратная связь, у учащихся повышается уровень саморегуляции, тренируется внимание, появляется возможность испытать успех, избавится от комплекса неполноценности. Учащиеся учатся контролировать себя. Обеспечивается определенная степень самостоятельности. Исключается списывание и нарушение дисциплины.

Литература.

1. Э.Г.Гельфман, Т.В.Бондаренко. С.Я.Гриршпот, Л.Н.Демидова, Ю.Л.Красин и др.

«Тождества сокращенного умножения», 7 класс. Издательство Томского университета. Томск-1996, стр.9.10,12,15.16.18.23,24.25,26.

2. Материалы III педагогических чтений по теме «Современный урок в современной школе». Секция учителей математики ВАО г.Москвы 26.01.2010г. А.В. Семенов, к.п.н., зав.лабораторией математики МИОО.

3. И.Э. Унт «Индивидуализация и дифференциация обучения» - М. Педагогика, 1990г.

4. Г.Лорейн «Суперпамять» - М., Эксмо,2006.