Статья "Нестандартные задачи в процессе обучения математике"

В процессе обучения математике в средней школе учитель стремится добиться от учащихся умения применять теоретические знания при решении задач, но многие учащиеся становятся в тупик или допускают грубые ошибки при применении теории на практике. Для преодоления подобных недостатков в школе следует рассматривать не только задачи, имеющие обычный "школьный" вид и решаемые стандартными школьными методами, с помощью привычных школьных рассуждений, но и задачи совершенно иного рода – нестандартные задачи.

Нестандартные задачи играют довольно заметную роль в развитии учащихся. Они способствуют более прочному и осознанному усвоению материала. Умения анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, выявлять скрытые свойства заданной ситуации, синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, являются нужными умениями, и не только при решении задач. Все эти умения в наиболее полном объеме применяются при решении именно нестандартных задач.

Нестандартные задачи помогают активизировать мыслительную деятельность учащихся. При решении нестандартных задач более полно и эффективно идет обучение мышлению через активизацию мыслительной деятельности.

Проблемой использования нестандартных задач в учебном процессе занимаются многие ученые, как в нашей стране, так и за рубежом. Одним из таких ученых является Д. Пойа. В своей книге "Как решать задачу" (1) он дает психолого-педагогический анализ проблемы решения любой математической задачи, в том числе и нестандартной. В конце его книги приведены таблицы, с помощью которых учитель может направить ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи. И вся книга, по сути, является пособием, которое учит работать с этими таблицами. Таблицы представляют собой тщательно продуманную систему стереотипных указаний, которые выражены либо в форме советов-рекомендаций, либо в форме наводящих вопросов. Работы A.M. Фридмана и Е.Н. Турецкого (2), в отличие от книги Пойа, ориентированы на учеников.

Четкого определения понятия нестандартной задачи нет. В качестве рабочего определения принимается следующее: нестандартная задача - это такая задача, для решения которой в курсе школьной математики не предусмотрено никаких четких правил и алгоритмов решения. К нестандартным задачам мы относим те задачи, замысел решения которых достаточно оригинален и скрыт от ученика.

Нахождение принципа решения задачи является двухфазовым: сначала - выделение приблизительной области, где может быть найден принцип решения, затем - нахождение этого принципа. Эмоциональная активация (наиболее выраженная) связана с первой, предварительной фазой, которая как бы определяет субъективную ценность того или иного направления поиска.

Нестандартные задачи бывают различных видов. Некоторые из них внешне выглядят обычными, другие замаскированы: с виду – обычное уравнение, но стандартными приемами оно не решается. Для решения третьих необходимо очень тонкое и четкое логическое мышление, и так далее.

Нестандартные задачи выполняют разнообразные функции в процессе обучения математике. Они имеют образовательное значение, знакомят учащихся с новой ситуацией, описанной в задаче. При этом ученик приобретает математические знания и повышает уровень своего математического образования. При решении нестандартных задач учащийся обучается применять математические знания на практике.

Успешному решению нестандартной задачи способствует учет психологического аспекта деятельности учащихся. Он включает в себя рассмотрение задачи как объекта мышления, выделение составляющих процесса решения задач. Здесь же рассматривается отношение субъекта к задаче, соотношение осознанного и неосознанного при ее решении и эмоциональная активизация учащихся в процессе решения задачи.

Методы решения нестандартных задач определяются их видом:

задачи с перебором вариантов решения;
задачи на отработку навыка классификации;
задачи с построением логических конструкций;
задачи на отыскание ошибок;
задачи на отыскание различных вариантов решения и выбор лучшего из них.

Существуют такие методы решения нестандартных уравнений и неравенств, как метод минимаксов, D-метод (дискриминантный метод), метод использования векторов, метод тригонометрической подстановки, методы решения уравнений и неравенств с использованием общих свойств функции, метод свободного параметра, метод замены условия задачи.

Решение нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;
разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

В зависимости от характера нестандартной задачи мы используем либо одну из этих операций, либо обе. При решении более сложных задач эти операции приходится использовать многократно.

В математике нет каких-либо общих правил по применению указанных двух операций для решения нестандартных задач, однако существует ряд общих указаний-рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач. Эти указания обычно называют эвристическими правилами, или эвристиками.

В отличие от математических правил, эвристики носят рекомендательный характер советов, следование которым может привести (а может и не привести) к решению задачи.

Роль нестандартных задач в курсе изучения математики в школе очень важна: они развивают логику математического мышления, учат детей активно использовать весь арсенал средств элементарной математики, комбинировать самые разнообразные математические идеи и факты; помогают учащимся при сдаче ЕГЭ; дают возможность учителям углубить и расширить знания учащихся по математике, так как в рассмотрении нестандартных задач всегда найдётся богатый материал для проработки некоторых узловых тем школьной программы.

Литература
1. Пойа Д.Д.. Как решать задачу? Пособие для учителей. - М.: 1961.
2. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: 1989.