Изучение теорем в школьном курсе математики
Опытные педагоги сходятся во мнении, что готовить учеников к доказательству математических утверждений целесообразно начинать заранее. Где-то с 4-5 класса следует развивать у детей умения оперировать понятиями, работать с текстом, рисунками, схемами, выбирать из них необходимые данные для объяснения тех или иных утверждений. Эти навыки пригодятся, поскольку построение доказательств базируется именно на них.
При изучении алгебры и геометрии учитель и ученики часто встречаются с утверждениями, истинность которых определяется из нескольких положений теории путем доказательства. В математике их называют теоремами. В школьном курсе «теорема» — уже доказанное утверждение. За исключением теорем по логике. Однако, при знакомстве с очередной теоремой сначала учитель, а потом и ученики снова доказывают ее. Это необходимо для того, чтобы актуализировать ранее изученные положения теории (в частности аксиомы), облегчить понимание изучаемого материала, развивать у учащихся личностные свойства, которые в дальнейшем помогут ему анализировать, сравнивать, прогнозировать различные ситуации, встречающиеся в современном мире.
Приемы и методы доказательства теорем
Перед учителем стоит задача: обеспечить сознательное усвоение математических знаний, воспитать навыки самостоятельной мыслительной деятельности, умение рационально применять полученные знания. Этого можно достичь лишь при успешном выборе учителем приемов и методов обучения доказательству математических утверждений. Если изучение теорем сводить лишь к применению самого содержания без доказательств, то теряется весь смысл математического образования, которое заключается в развитии аналитического и логического мышления.
Учителю, для того, чтобы подготовиться к подаче и доказательству утверждения, следует четко спланировать порядок изложения материала при изучении теоремы. А этапы изучения таковы:
- мотивация изучения теоремы (необходимость перевода на математический язык наблюдаемых в жизни явлений и процессов);
- знакомство с содержанием;
- обоснование необходимости доказать теорему;
- выполнение рисунка (для наглядности) и краткая запись содержания теоремы;
- поиск приемов доказательства, собственно доказательство и его математическая интерпретация;
- закрепление;
- примеры применения теоремы.
В зависимости от сложности материала, доказательство можно проводить:
- только учителю с последующим проговариванием по частям (задать такие вопросы: что было дано, что следовало доказать, как формулируется теорема, с чего начали доказательство, что делали, какие теоремы или аксиомы использовались при доказательстве и для чего);
- учителю совместно с учениками;
- ученикам по предложенному учителем алгоритму (докажите теорему самостоятельно, сравните свое доказательство с тем, что приведено в учебнике, проанализируйте расхождения).
Приучать школьников к самостоятельному доказательству утверждений можно только после соответствующей подготовки и знакомства с методами и приемами, которые используются с такой целью в математике.
По определению доказательство — это рассуждение, цель которого заключается в обосновании (или опровержении) истинности какого-либо утверждения.
Элементы доказательства
тезис (математическое утверждение, которое надо доказывать)
аргументы (положения, на которых строится доказательство)
демонстрация (логическое обоснование взаимосвязи вышеуказанных элементов, результат — переход от аргументов к начальному тезису)
Методы доказательства теорем делят на прямые:
-
синтетический,
-
восходящий и нисходящий анализ;
и косвенные:
-
метод от противного,
-
разделительный метод;
выделенные по используемому математическому аппарату:
-
алгебраический,
-
векторный,
-
координатный,
-
метод геометрических преобразований.
Трудности при восприятии и доказательстве теорем, пути их преодоления
Статистика показывает, что лишь у 5% учеников не возникает затруднений при изучении теоремы и ее доказательства. Основные причины, из-за которых возникают сложности в восприятии учебного материала, таковы:
- Школьники считают утверждение очевидным и не осознают необходимости доказывать теорему. К сожалению, часто учитель и не требует этого от своих учеников, используя лишь формулировки для решения задач.
- Дети не умеют выстроить логическую цепочку рассуждений, заучивают доказательство, не понимая его. Это возникает из-за низкого уровня математической речи, неумения рассуждать, выделять основное. На пустом месте эти умения не возникнут. Их надо целенаправленно кропотливо развивать.
- Ученики не могут применять изученные теоремы, не видя возможности или необходимости ее применения.
Задача учителя — помочь ученику устранить затруднения, показать взаимосвязь теории и практики, содействовать развитию математической речи.
Хороший результат дает алгоритмизация и конструирование доказательства, решение задач на усвоение теоремы (взятой полностью или по отдельным ее частям), индивидуальная работа с учениками, направленная на поиск способов доказательства и области ее применения. Разработайте и выдайте на первых уроках по изучению теорем памятки школьникам с рекомендациями, как быстро и правильно учить теорему с доказательством.
Теорема в школьном курсе занимает значительное место. Планируя работу, учитывайте наиболее распространенные трудности, возникающие у школьников, своевременно выявляйте и корректируйте их.
Об авторе: Забродина Наталья Николаевна, учитель математики, физики, астрономии.
