Реферат "Золотое сечение геометрии"


I. Введение
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. 

Человек и природа. Человек и наука. Красота и гармония. Вот важные составляющие существования человека. Сущность всей жизни подчинена законам природы, науки, красоты, гармонии. Поэтому актуальность работы заключается в том, что человек должен знать о себе, об окружающих его предметов, знать, что положено в основу его развития, чтобы жить в гармонии с самим собой и природой. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Цель
Исследование такого объекта геометрии,  как спираль, изучение ее свойств, ее построение, применение, область обитания и красота.

Задачи
Достижение поставленной цели возможно путем рассмотрения следующих задач:

  1. Провести исследование, дающий результат о красивых фигурах, провести структурный анализ данных и вывести результат.
  2. Классифицировать виды спиралей, их название, построение, свойства особенности, применение, влияние их на жизнь человека и окружающую среду.
  3. Исследовать влияние структуры золотой спирали на человека, в частности, восприятия человеком звука, сделать соответствующие выводы.

В человеке изначально, на подсознательном уровне, вложена «любовь к золотым фигурам». Для подтверждения  мы провели психологический опыт, направленный как раз на доказательство данного утверждения. Суть исследования заключалась в том, что мы просили людей разного возраста,  принадлежащих к различным социальным сферам нарисовать произвольный прямоугольник, не важно какого размера, главное – прямоугольник, так же мы просили нарисовать равнобедренный треугольник.  Результаты  исследования будут приведены чуть позже.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Число  («фи»)
Самым известным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные разложения которых бесконечны и непериодичны, следует считать число  – отношение длины окружности к ее диаметру. Чаще всего оно встречается во всем, что связано с кругом, окружностью: при нахождении площади круга, сектора, сегмента, также оно используется при нахождении объема сферы, построение графиков тригонометрических функций и т.п. 

Иррациональное число  («фи») известно не столь широко, но оно  имеет почти такой же универсальный характер, как и число . Сходство между числами  и   этим не исчерпывается: подобно числу , число  обладает свойством возникать в самых неожиданных местах .

Пусть длина некоторого отрезка равна А, длина его большей части равна Х, тогда (А – Х) – длина меньшей части отрезка.     

Пусть отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей. Составим отношение согласно допущению.

Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

От пропорции (1) перейдем к равенству A(A-X)=X2 . Получаем квадратное уравнение  , D= А2 – 4(-А2)=А2+4А2=5А2,  Х1,2= = .  Длина отрезка X выражается положительным числом, поэтому из двух корней выбираем положительный корень:  

Число обозначается буквой  или буквой  («тау») в серьезной математике. Не менее важное значение имеет число,  обратное числу , которое обозначается Ф. Число обозначается буквой  в честь древнегреческого скульптора Фидия (род. в начале V в. до н.э.), в творениях которого это число встречается многократно. Число  иррациональное, с восемью десятичными знаками, оно записывается так:
  =0,61803398…. 

2. Основная часть
2.1. Исследование предположения о том, что у человека на подсознательном уровне   заложена любовь к «золотым» фигурам .

Геометрические фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с другом золотой пропорцией, большинству людей кажутся красивыми. Например, проведенное мною психологическое исследование, которое заключалось в том, чтобы испытуемый начертил прямоугольник-любой, какой больше нравится, а затем начертил треугольник, у которого две стороны равны( то есть равнобедренный), показало, что большинство испытуемых рисовали прямоугольники так, что отношение сторон прямоугольника оказалось близким к отношению отрезков, составляющих золотое сечение. И неважно, кто был в роли испытуемого ученик ли 7-10 класса,  учитель истории, математики, ИЗО, технический работник, работник медицинской сферы и т. д. Точно такое же дело обстояло и с равнобедренными треугольниками. В них отношение боковых сторон к основанию, а так же отношение высоты треугольника к основанию  стремилось тоже к отношению отрезков, составляющих золотое сечение. И опять таки неважно сколько лет, какого пола был испытуемый человек. Ниже приведена  таблица с результатами исследования, в которой выделены  те строки, в которых такое отношение отрезков близко к числу золотого сечения (Приложение 1). 

В опросе приняло участие 27 респондентов,  золотой прямоугольник начертили 4 человека, что составляет 15,9%; золотой треугольник изобразили 8 испытуемых, составляющие 31,8 %. Если обратим внимание на результаты, то мы увидим, что из 27  испытуемых только четверо построили и золотой прямоугольник и золотой треугольник.

2.2 Золотые фигуры: прямоугольник, треугольник.
Определение: прямоугольник, у которого для сторон а иb выполняется  соотношение , то есть отношение сторон стремиться к числу золотого 
сечения, называется   золотым прямоугольником. 

Определение: равнобедренный треугольник, отношение боковых сторон, которого к 
основанию находится в золотой пропорции, так же называется  золотым  треугольником.

Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами:

  1. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и b, (где а>b) отрезать квадрат со стороной  b, то получим прямоугольник со сторонами b и  a-b, который тоже золотой. Продолжая этот  процесс мы каждый раз  будем получать прямоугольник меньших размеров, но опять таки    золотой.
  2. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить  противоположные  вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью.

2.3. Спирали.
Определение:  спирали (от греч. Sрira виток), кривые, закручивающиеся вокруг точки на плоскости (плоские спирали), например, архимедова спираль, гиперболическая спираль, логарифмическая спираль, или вокруг оси (пространственная спираль), например, винтовая линия. В мире существует множество различных типов спирали, но основными считаются всего лишь три спирали, которые характеризуют свойства остальных. Которые я и представлю вашему обозрению.

  1. Архимедова спираль, плоская кривая, описываемая точкой М, равномерно движущейся по прямой ОА, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек О. Уравнение в полярных координатах r = а, где а постоянная.
  2. Гиперболическая спираль, плоская кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой так, что её расстояние от центра вращения О меняется обратно пропорционально углу поворота.
  3. Логарифмическая спираль, плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота (Приложение2).

Практическое применение находят практически все три вида спирали, но в основном чаще всех встречается и используется два вида спирали: это логарифмическая и спираль Архимеда. Логарифмическую спираль  мы рассмотрим подробнее.

3.4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ
Познакомимся с логарифмической спиралью и способами ее построения, а так же со свойствами этой золотой спирали, так как именно она – основной объект исследовательской работы

Построение логарифмической спирали. 

  • 1 способ: Логарифмическая спираль, описывается двумя чудесными фигурами, тесно связанными с Золотой пропорцией. Один способ, - с помощью совершенного, квадрируемого прямоугольника, бесконечного порядка, путем вращения, образующихся в нем квадратов. Он называется, способом вращающихся квадратов (Приложение 3). 
  • 2 способ. С помощью равнобедренного треугольника, стороны которого, находятся в золотом отношении к основанию. Углы при основании такого треугольника равны 720 .

В треугольнике АВС, проводится биссектриса угла при основании, она делит противолежащую сторону так, что опять получается равнобедренный треугольник, подобный исходному. В свою очередь, его можно разбить на два, еще меньших треугольника, проведя в нем биссектрису утла при основании. Продолжая процесс, получим бесконечную последовательность треугольников, чьи вершины описывают логарифмическую спираль (Приложение 4). 

  • 3 способ. Существует также иной способ построения логарифмической спирали, в основе которого лежит свойство прямоугольного треугольника. Возьмем произвольный прямоугольный треугольник с катетами равными единице (т.е. равнобедренный прямоугольный треугольник). Исходя из  теоремы Пифагора получаем, что длина гипотенузы будет равна.  Далее достраиваем до прямоугольного треугольника, катеты которого равны соответственно 1.  И получаем, что гипотенуза этого треугольника будет равна . Далее достраиваем треугольник с катетами 1 и   до прямоугольного треугольника, применяя теорему Пифагора, получаем, что длина гипотенузы данного треугольника равна. Аналогично, проделывая данные операции многократно, получаем, что вершины прямых углов данного треугольника  описывают логарифмическую (золотую) спираль (Приложение 5).

3.6. Свойства логарифмической спирали.
Как и любой геометрический объект, золотая спираль обладает несколько интересными свойствами. Рассмотрим эти свойства на чертеже классической золотой спирали (Приложение 6).

  • 1 свойство. Одно из важнейших свойств этой кривой состоит в том, что она пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса S. Отрезки, соединяющие точку S с точками спирали, называются полярными радиусами. То есть кривая пересекает все радиусы под одним и тем же углом.  Отсюда одно из ее названий  -  равноугольная. Проведем из точки S два радиуса-вектора SA и SB, где точки А и В лежат на кривой. Проведем в эти точки касательные к спирали, получим углы между радиусами и касательными. Тогда  эти углы равны.
  • 2 свойство. Приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию, то есть расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию. Из точки S проведем радиус-вектора SA, SA1, SA2. тогда отношения расстояний между последними витками образуют геометрическую прогрессию; т.е., где q – знаменатель геометрической прогрессии.
  • 3 свойство. Последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию. Из точки S проведем радиус-вектора SA, SA1, SA2. тогда отношения длин радиусов - векторов образуют геометрическую прогрессию; т.е.  
  • 4 свойство. Образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу(см приложение 3). 

Свойства логарифмической спирали первым начал изучать французский ученый Рене Декарт (1596—1650). Много занимался этой спиралью и швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 — 1705). Он настолько был восхищен ею, что даже завещал вырезать ее на своем надгробии вместе со словами: "Измененная, я воскресаю той же!»

3.7. Золотая спираль в  окружающем  нас мир.
Вот такими удивительными свойствами обладает золотая спираль. Поэтому целью моей исследовательской работы является золотая спираль.

На вопрос почему, можно ответить так, золотая спираль – одна из самых интересных фигур, тайны которой не разгаданы до сих пор. Золотая спираль представляет собой нечто, которое восхищает. Она завораживает, каждого, кто хоть раз пытался понять ее свойства, изучить  ее безграничные возможности, рассмотреть ее под необычным ракурсом. В мире, где повсюду нас окружают геометрические фигуры, которые мы легко можем распознать, раскусить всю природу логарифмической спирали не  удается до сих пор…

Рассмотрим ситуации, когда спираль встречается в окружающем нас мире.

Начнем с того, что большинство биологических работ носит описательный характер. При описании растений и животных рассматриваются их форма, размер, цвет, поведение, распространение, сходство с другими организмами или отличие от них и т. д. Это, в сущности, стадия естественной истории. В простейшем виде такое описание носит главным образом словесный характер и насыщено различными подробностями. Однако по мере того, как наблюдения становились более точными и обширными, появилась возможность применения математического языка для описания или отображения огромного многообразия форм жизни

У очень многих моллюсков, например у Nautilus pompilius, Turritella duplicata, Ammonites и т. д., последовательные витки не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию (Приложение 7). Спираль, обладающая этим свойством, как мы уже отмечали, называется логарифмической.  Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Раковина моллюскаNautilus представляет собой, конечно, трехмерную структуру, однако любая последовательность соответствующих точек ее поверхности (например, точек, определяющих контуры раковины в процессе ее роста) лежит более или менее в одной плоскости. Рост раковин таких моллюсков, как Turritella duplicata, происходит в трех измерениях. Тем не менее в этом случае пригодно аналогичное математическое описание, хотя на этот раз мы должны оперировать с более широким понятием логарифмической спирали, навернутой на конус. 

Во многих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмической спирали. Еще более удивительно, что во многих случаях аналогичная кривая довольно точно описывает образование крышечки, закрывающей вход в раковину. Эта крышечка растет путем постепенного нарастания с одного края, одновременно передвигаясь вдоль раковины и поворачиваясь вокруг своей оси таким образом, что в конце концов образуется плотная пробка.

Ясно, что дать строгое геометрическое описание такого великолепного приспособления довольно трудно .

Еще один интересный вопрос, дающий широкие возможности для применения математики,— листорасположение у деревьев и других растений; этот вопрос был также довольно детально рассмотрен д'Арси Томпсоном.

Рассмотрим соцветия подсолнечника. Не только листья на стеблях многих растений, но и отдельные цветочки в соцветии подсолнечника, чешуйки в еловой шишке и ананасе  образуют замечательно правильные спирали, возбуждающие интерес многих биологов и математиков. Так, у шишек норвежской ели имеется пять рядов чешуек, круто поднимающихся в одном направлении, и три ряда, идущих более полого в противоположном направлении. У обычной лиственницы число таких рядов равно соответственно пяти и восьми.

Цветорасположение у гигантского подсолнечника имеет такую  схему, и числа рядов равны соответственно 34 и 55, 55 и 89, 89 и 144 и т. д. Хотя имеют место и исключения, пары чисел, встречающиеся наиболее часто, являются двумя последовательными членами арифметического ряда Фибоначчи (Приложение 8).

Также логарифмическую спираль можно уследить в творении различных пауков. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. К слову, наши предшественники  относились к паукам куда с большим почтением. В отточенной красоте и симметрии паутины видели они солнечные лучи, разбегающиеся от единого центра. Как будто уже тогда предвидели, что Вселенную нашу астрономы представят в виде ячеистой структуры, сходной со строением паутины.   И что геометрический центр паутины точно совпадает с ее центром тяжести. Всего этого они знать не могли, но уже тогда чувствовали, восхищаясь на рассвете радужными переливами солнечных лучей в тонких ниточках паутины (Приложение 9).

Одним из наглядных примеров, когда  встречается логарифмическая спираль, являются   рога антилоп, диких козлов, баранов и  прочих подобных животных также развиваются в виде спирали по законам золотой пропорции! Не трудно заметить, что рога различных животных (мелкорогатый скот) отличаются по формам. И на первый взгляд не представляют из себя золотую спираль, но это всего лишь иллюзия.  При интегрировании  рогов из трехмерного пространства в двухмерную, становится ясно, что действительно рога представляют из себя спираль. Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль (Приложение 10).

В далеких безграничных просторах Вселенной разбросаны множество галактик, созвездий, планет. И даже  в этих таинственных местах встречается наша с вами логарифмическая спираль. К примеру,  в небольшом созвездии Северного полушария Треугольнике находится удивительная по красоте спиральная галактика M33, которая повернута к нам в анфас. Галактика имеет также и другие названия: Цевочное колесо и, просто, галактика в Треугольнике. M33 третья по габаритам в Местной группе после туманности Андромеды и нашей Галактики, ее размер - более 50 тысяч световых лет. M33 находится на расстоянии трех миллионов световых лет от нашей Галактики и, скорее всего, является спутником туманности Андромеды. И если бы в этих двух галактиках обитали астрономы, они бы могли любоваться удивительным видом величественных спиральных структур каждой. Земные же астрономы исследуют это подробное широкоугольное изображение, которое пестрит голубыми звездными скоплениями и розоватыми областями звездообразования, расположенными вдоль спиральных рукавов. Самая яркая область звездообразования - NGC 604 (Приложение 11).

Кроме того, что и в дальних просторах Вселенной встречается спираль, она также присутствует и в более изученных людьми сферах. Возьмем атмосферные вихри. Я не буду рассматривать по отдельности антициклоны и циклоны, ведь строение их схожее, различие лишь состоит в том, что они образуются при различных условиях в разных местах, и уже исходя из этого они переносят несхожие воздушные потоки.  Представляю вашему вниманию циклон. Его формирование идет по золотой спирали. Не только циклоны имеют форму спирали, но и такие явления как смерч, вихри, торнадо, сметающие все на своем пути. Смерч представляет пространственную логарифмическую спираль, если спроектировать все точки такой спирали на плоскость земли, то мы получим плоскую логарифмическую спираль. После приведенных примеров убеждаешься, раз за разом, что действительно логарифмическая спираль является одной из основ жизни, без которой, быть может, не было бы нас с вами… .

Одним из важнейших органов нашего организма  является маленькая логарифмическая золотая спираль, без которой нам пришлось бы в жизни очень трудно.

2.8 Улитка – логарифмическая спираль в человеке, влияние улитки на слух человека

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия. Кто-то с наслаждением воспринимает пение артиста, а кто-то не понимает звучания скрипки. Звуки, воспринимаемые человеческим ухом, являются одним из важнейших источников информации об окружающем нас мире (приложение 12).

Для начала рассмотрим строение человеческого уха, ведь, согласитесь не зная строение мы не сможем делать определенные выводы.
В составе органа выделяют 3 части: наружное, среднее и внутреннее ухо (приложение 13). Более подробно остановимся на внутреннем ухе.

В плотной кости внутреннего уха находятся два чрезвычайно чувствительных образования: улитка, собственно орган слуха, и вставленный в нее перепончатый лабиринт - один из источников нервных сигналов в центральной нервной системе, благодаря которым поддерживается равновесие тела.

В улитке находятся тысячи крошечных похожих на волосы ячеек, которые соединeны с волокнами слухового нерва. Под действием звуковых волн ячейки улитки вырабатывают электрохимические сигналы, которые направляются через акустический нерв к головному мозгу. Мозг принимает нервные импульсы и формирует звуковой образ.

Внутреннее ухо    

Вестибулярная система. Вестибулярная система в нашем ухе - это часть системы поддержания равновесия тела. Сенсорные ячейки предоставляют информацию о положении и движении нашей головы.

Улитка - это непосредственно орган слуха, связанный со слуховым нервом. Название улитки определяется ее спирально извитой формой. Это костный канал, образующий два с половиной витка спирали и заполненный жидкостью. Анатомия улитки уха очень сложна, некоторые ee функции до сих пор не исследованы. Улитка - это непосредственно орган слуха, связанный со слуховым нервом. Название улитки определяется ее спирально извитой формой. Улитка – это трубка длиной примерно 35 мм. Это костный канал, образующий два с половиной витка спирали и заполненный жидкостью.  Свыше 20 000 нитевидных рецепторных окончаний, находится во внут¬реннем ухе - в улитке. Анатомия улитки уха очень сложна, некоторые ee функции до сих пор не исследованы.   Улитка внутреннего уха человека занимает объем около 1 см3 и «работает» в интервале частот приблизительно от 20 Гц до 20 кГц, что позволяет улавливать звуковые сигналы в диапазоне около 120 дБ. Kортиев орган состоит из ряда чувствительных, снабженных волосками клеток, которые покрывают базилярную мембрану. Звуковые волны улавливаются волосковыми клетками и преобразуются в электрические импульсы. Далее эти электрические импульсы передаются по слуховому нерву в головной мозг. Слуховой нерв состоит из тысяч тончайших нервных волокон (Приложение 14). Пока точно не установлено, каким образом этот орган способен дифференцировать различные типы звуков. Известно, однако, что амплитуда и частота определенного звука находят свое отражение в характеристиках нервных импульсов, исходящих из Кортиева органа.  Каждое волокно начинается от определенного участка улитки и передает определенную звуковую частоту. Низкочастотные звуки, передаются по волокнам, исходящим из верхушки улитки , а высокочастотные - по волокнам, связанным с ее основанием. Таким образом, функцией внутреннего уха является преобразование механических колебаний в электрические, так как мозг может воспринимать только электрические сигналы. Таким образом, наружный слуховой проход, барабанная перепонка и слуховые косточки составляют звукопроводящую систему, а улитка является органом, воспринимающим звук.

Поскольку низкочастотные звуки обрабатываются в области, где величина кривизны больше всего, т.е. в вершине улитки, наше ухо лучше улавливает именно низкочастотные звуковые волны.      Человеческое ухо- это маленькое чудо, а его способность слышать уникальна.    Каждое ухо индивидуально как отпечатки пальцев и способно обнаруживать, распознавать и различать до миллиона различных звуков.   Потеря слуха возможна вследствие нарушения проведения звука к улитке, повреждения самой улитки, нарушения передачи нервных импульсов от улитки в мозг или неспособности мозга правильно «расшифровать» полученные импульсы.

3. Вывод.
В результате  проведенной работы я  установила, что в человеке на изначальном уровне «заложено» золотое сечение. Среди опрошенных, принимавших участие в психологическом опыте, действительно нарисовали треугольники и прямоугольники, которые соответствуют канонам золотой пропорции.

В начале моего исследовательского пути предо мной  стояла цель, понять какое значение в жизни имеет золотая спираль.  Так вот, мне кажется, что я достигла эту цель, решив задачи, встречавшиеся в ходе самой работы. Широкое использование "золотой" спирали характерно для художественных произведений Рафаэля, Микеланджело и других итальянских художников. Многофигурная композиция "Избиение младенцев", выполненная в 1509-1510 годах Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. На подготовительном эскизе Рафаэля проведена плавная линия, охватывающая всю картину. Линия начинается в смысловом центре композиции - точке, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, и далее идет вдоль фигуры ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить все эти куски кривой пунктиром, то с очень высокой точностью получается "золотая" спираль!(Приложение 15).

Мало того мы встречаемся  с  золотой спиралью в самом человеке, так называемая улитка, присутствующая во внутреннем ухе человека. Мы выяснили, что верхушка улитки воспринимает низкочастотные волны (период повторения такой волны большой). Что если  человек не в состоянии воспринимать такие волны, то он не может  понять всю красоту шума прибоя, осенний разговор – ш елест – листьев.  Кроме этого он просто напросто не будет различать глухие согласные (б, п, т и др.)  в обычном разговоре. В свою очередь основание улитки отвечает за восприятие высокочастотных волн (период синусоиды чрезвычайно мал). И если человек плохо воспринимает высокочастотные з вуки, то он не услышит комариного писка, полет мухи, шмеля, пчелы.

Результаты исследования
Результаты исследования совпали с теоретическим предположением:

  1. В человеке изначально, на подсознательном уровне, вложена «любовь к золотым фигурам», поэтому большинство опрошенных людей нарисовали золотые фигуры; 
  2. Вездесущность логарифмической спирали в природе, в окружающем мире, в человеке.

Выводы
Золотая спираль, действительно, является одной из основ жизни. Она присутствует практически везде, встречается в самых неожиданных местах.


Полный текст материала Реферат "Золотое сечение геометрии" смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.
Автор: Хороших Елена Михайловна  Публикатор
16.08.2018 0 221 17

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.



Принимайте участие!
Читайте новые статьи
Оставьте отзыв к материалу:
Всего: 0