Конспект занятия элективного курса "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений"; 11 класс

КОНСПЕКТ ЗАНЯТИЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА В 11 КЛАССЕ

Занятие 1

Тема: Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений.

Тип занятия: Обобщение и систематизация знаний.

Формы работы: Фронтальная беседа, комментирование решений.

Цели занятия:

Образовательная: оперирование основными понятиями, изучаемой темы; закрепление навыков решения иррациональных уравнений разными методами; выработка умений по применения различных приемов преобразования уравнений;

Развивающая: способствовать развитию умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы;

Воспитательная: обеспечить условия для воспитания положительного интереса к изучаемому предмету.

Задачи занятия:

- создать организационные и содержательные условия для успешного усвоения приемов преобразования и методов решения иррациональных уравнений;

- побуждение учащихся к самостоятельной деятельности;

- тренировать навык решения иррациональных уравнений тем или иным методом.

Оборудование: мел, доска, интерактивная доска, пк.

Технологическая карта урока

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика	УУД
Организационный момент	Создает настрой на продуктивную работу. Эпиграф: «Давайте понимать друг друга с полу слова, чтоб ошибившись раз, не ошибаться снова» Д. Пойя	Настраиваются на работу	Личностные: самоопределение. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: планирование сотрудничества с учителем и учащимися.
Актуализация знаний	Какие уравнения называются иррациональными? Задание: Какие из уравнений иррациональные? ; ; Какие приемы преобразования уравнения вы знаете? Посмотрите на опорный дидактически материал (приложение 1) и сверьте свой ответ. С какими методами решения иррациональных уравнений вы знакомы? Что мы должны учитывать при решении иррациональных уравнений?	Отвечают: уравнение, в котором под знаком корня содержится переменная. a, b – иррациональные уравнения; c, d – не иррациональные. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую, приведение подобных членов. Возведение в степень, замены переменных. ОДЗ	Личностные: планирование учебной деятельности. Регулятивные: целеполагание. Познавательные: структурирование знаний, выделять главное, систематизировать, знания, самопроверка имеющихся знаний
Изучение нового материала	Сегодня мы с вами расширим свой кругозор и познакомимся с другими методами решения иррациональных уравнений. Изучают на основе опорного дидактического материала (приложение 2) 1. Решить уравнение, используя метод сведения к эквивалентной системе . - Для решения данного уравнения схема решения будет иная: Такое уравнение равносильно каждой из двух систем Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще [3]. Решите его, применяя данную схему. 2. Решить уравнение по 3 методу 3. Решить уравнение по 4 методу . 4. Решить уравнение 7(1) методом . 5. Решить уравнение 7 методом с ОДЗ . 6. Решить уравнение 7 методом с использованием графика функции .	Разбирают задания вместе с учителем, выстраивают последовательность действий для решения иррациональных уравнений. Решение примеров Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ. . Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней. Ответ. Корней нет. Метод уединения радикала приводит к уравнению . Это уравнение равносильно системе Решая первое уравнение этой системы, получим корни и , но условие выполняется только при . Ответ. . Введем новые переменные и , где . Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z: и . Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z . В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа и . Корень посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим . Ответ. . Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что – корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, – единственный корень. Ответ: . ОДЗ этого уравнения состоит из всех , одновременно удовлетворяющих условиям и , то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней. Ответ: Корней нет. ОДЗ данного уравнения есть все из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке : Проведем прямую . Из рисунка следует, что график функции лежит не ниже этой прямой, а график функции не выше. При этом эти графики касаются прямой в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а . При этом только для , а только для . Это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Ответ: Корней нет.	Познавательные: уметь добывать новые знания, находить ответы на вопрос, используя жизненный опыт и информацию. Коммуникационные: умение оформлять свои мысли.
Применения знаний	Выдает карточки с уравнениями для самостоятельного решения (приложение 3). Проверка заданий происходит у доски, по мере решения. Учащиеся могут приступить к решению любого уравнения.	Приступают к решению задач. Проводят самоконтроль, взаимоконтроль, сверяют свое решение с решением у доски.	Регулятивные: умение вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки. Познавательные: поиск рационального метода решения. Коммуникативные: умение оформлять свои мысли.
Домашнее задание	Выучить материал, изложенный на опорном дидактическом материале. Повторить 1 и 5 метод и самостоятельно изучить 6 метод. Решить следующие уравнения: . .	Записывают задание.	Регулятивные: осознание знание и незнания материала. Личностные: самооценка своей работы. Коммуникативное: умение полно выражать свои мысли.
Подведение итогов	Учитель анализирует деятельность учащихся на уроке. Задает вопросы: Какой метод вам показался простым? сложным Какие трудности возникли при решении уравнений во время самостоятельного решения?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Опорный дидактический материал

Приемы преобразования уравнения:

Методы решения иррациональных уравнений:

Избавление от корня, приведение к рациональному уравнению:

- «освобождение» от радикалов по формуле

Пример. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что или .

Проверка. : . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

: . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.

Метод сведения к эквивалентной системе уравнения.

Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе:

Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки [4].

Метод уединения радикала

При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде . Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет [1].

Метод к сведению к эквивалентным системам рациональных уравнений

Уравнения вида удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений [4].

Метод введения новой переменной (замена переменных)

Пример. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: .

Далее последовательно получаем:

;

, .

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что – корень уравнения, а – посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Умножение обоих частей уравнения на функцию.

Пример. Решить уравнение . [9]

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию . После преобразований получим уравнение

. Оно имеет два корня: . Проверка показывает, что – посторонний корень (нетрудно видеть, – корень функции ). Таким образом, уравнение имеет единственный корень . Ответ: .

7. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств, входящих в них функций.

(1)Использование монотонности: Если уравнение имеет вид где возрастает (убывает), или где и «встречно монотонны», т.е. возрастает, а убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения.

(2) Использование ОДЗ: Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

(3) Использование графиков функции: При решении уравнения иногда полезно изобразить график функций обоих частей в одной системе координат. Эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать [3].

3. Самостоятельная работа

Список использованной литературы.

Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1998. – 288 с.
Григорьев А. М. Иррациональные уравнения [Текст] / А. М. Григорьев // Квант. – 1972. – №1. – С. 46-49.
Егоров А. Иррациональные уравнения [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября – 2002. – №5. – С. 9-13.
Шувалова Э. З. Повторим математику [Текст]: учебное пособие для поступающих в вузы / Э. З. Шувалова – М.: Высшая школа, 1974. – 519 с.

Полный текст материала Конспект занятия элективного курса "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений"; 11 класс смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.

Автор: Лобанова Ксения Алексеевна → Публикатор

05.04.2024

Комментировать

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Вход | Регистрация

запомнить
Забыл пароль \| Регистрация

Отзывы