|
Помогите решить школьную задачу.
|
|
|
Семёныч-Бам | Дата: Суббота, 27.01.2018, 18:46 | Сообщение # 1 |
Семёныч-Бам
Ранг: Школьник (?)
Группа: Заблокированные
Должность: Менеджер
|
| Сообщений: |
80 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
У нас дома регулярно возникают проблемы с решением некоторых задач по математике и физике.
Это дополнительные задания для углубленного изучения. И у сына в 11 классе, и у дочери в 8-м не больше 2-3 учеников, кому это интересно или нужно. В других классах картина похожая. Поэтому все учителя ориентированы на базу. Это понятно. Для углубленного изучения для всех организованы бесплатные допы. Если честно, то пользы от них мало. В основном родители предпочитают репетиторов.
Жена, сын и я полистали этот форум. Нам показалось, что здесь можно получить профессиональные рекомендации по многим вопросам, связанным с образованием. В том числе и по конкретным предметам.
Сегодня у нас определенный интерес к математике и физике. Создавая эту тему, надеемся на помощь нам со стороны тех, кто хорошо знает школьную математику и физику. Возможно, это будет полезно и другим. У нас есть пожелание или предложение для тех, кто откликнется. Отвечать на вопросы, может быть, дурацкие и наивные, так, чтобы всё было с одной стороны строго, а с другой стороны доступно. Несколько задач мы уже представили. Они в других темах, пусть там и останутся. Здесь начнём заново.
ЗАДАЧА 1.
Найти решения системы в целых числах:
sqrt(x) + sqrt(y) = 53
НОК(x;y) = 22500
ЗАДАЧА 2.
Найти все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение x в интервале [3;4]:
ax >= 2
sqrt(x - 1) > a
3x <= 2a + 11
ЗАДАЧА 3.
У мальчика, стоящего на снеговой горке высоты Н, убежали под горку и остановились сани массой M. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы вернуть сани на место?
27.01.2018
|
|
|
|
| |
|
|
iyugov | Дата: Суббота, 27.01.2018, 23:01 | Сообщение # 2 |
iyugov
Ранг: Доцент (?)
Группа: Активисты
Должность: Инженер, учитель
|
| Сообщений: |
1191 |
| Награды: |
12 |
| Статус: |
Offline |
|
ЗАДАЧА 1. Из второго уравнения следует, что x и y являются точными квадратами.
По свойству НОК: НОК(x^(1/2), y^(1/2))=НОК(x, y)^(1/2)=22500^(1/2)=150
Обозначим x^(1/2) как qx, y^(1/2) как qy. Получим систему относительно qx и qy:
НОК(qx, qy)=150
qx+qy=53
По другому свойству НОК: НОК(a, b) = a*b / НОД(a, b).
Перепишем систему так:
qx*qy=150*N
qx+qy=53
где N = НОД(qx, qy).
Выразим qy из второго уравнения, подставим в первое, приведём к виду квадратного уравнения:
qx^2-53*qx+150*N=0
Вычислим дискриминант: D=53^2-4*150*N=2809-600*N.
Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы D>0. Это возможно при N<5. Легко видеть, что целые корни получаются только при N=1 (причём намётанный глаз видит это уже в системе). Получаем решения системы: qx=3, qy=50 (и наоборот). Возвращаемся к x и y.
Ответы такие: (9; 2500), (2500; 9).
27.01.2018
Сообщение отредактировал iyugov - Суббота, 27.01.2018, 23:18
|
|
|
|
| |
|
|
drakonchikded | Дата: Суббота, 27.01.2018, 23:15 | Сообщение # 3 |
| Сообщений: |
45 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Семёныч-Бам (  ) ЗАДАЧА 1.
Найти решения системы в целых числах:
sqrt(x) + sqrt(y) = 53
НОК(x;y) = 22500
Как-то с математикой проще, чем с физикой, хотя и была физика одним из любимых предметов в школе...
Правда, решал не научно, без применения теорем, а по-крестьянски...
Разложим 22500 на простые множители: 2,2,3,3,5,5,5,5.
Разбив набор этих множителей на две группы, и перемножив их внутри каждой группы, получим два числа,
Х и У, для которых НОК(Х, У)=22500.
Но нас интересуют такие Х и У, из которых нацело извлекаются корни, поэтому в каждую группу
одинаковые числа должны входить парами, чтобы извлекался квадратный корень:
(2,2),(3,3),(5,5),(5,5).
Значения корней квадратных из Х и У будут формироваться, следовательно, из чисел
2,3,5,5.
Методом подбора нетрудно найти единственный (я так думаю ©  ) вариант: 3+2*5*5=53.
Т.о. Х=3*3=9, У=(2*5*5)*(2*5*5)=2500.
Что до второй задачи - тут я пас.
Про физику вообще молчу. Особенно если горка выпуклая и санки в какой-то точке оторвутся
от неё, как отрывалась (якобы) шайба от сферы в другой, так и не решенной задаче...
P. S. Пока пыхтел, iyugov уже решил...
27.01.2018
Сообщение отредактировал drakonchikded - Суббота, 27.01.2018, 23:22
|
|
|
|
| |
|
|
Семёныч-Бам | Дата: Воскресенье, 28.01.2018, 01:30 | Сообщение # 4 |
Семёныч-Бам
Ранг: Школьник (?)
Группа: Заблокированные
Должность: Менеджер
|
| Сообщений: |
80 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
iyugov, drakonchikded, спасибо за подробные решения!
Я разобрал оба. Завтра распечатаю и покажу детям.
Моё мнение непрофессионала: решение "от сохи" (извините!) существенно проще и понятнее. Я уверен, что вполне доступно для 8 класса. В первом решении предполагается не просто уверенное знание массы премудростей, но и способность одновременно применить их для решения одной задачи. На мой взгляд наивно предполагать наличие таких данных у ученика 8 класса.
Поделюсь завтра мнением детей.
drakonchikded, о физике и я близкого мнения.
Нашёл ещё одну нерешённую задачу.
ЗАДАЧА 4.
Коля, Толя и Оля по очереди ели кашу из миски. Каждый из ребят ел кашу столько времени, за какое двое остальных могли съесть половину всей каши. В результате ребята съели всю кашу. Во сколько раз быстрее они съели бы всю кашу, если бы ели не по очереди, а одновременно все вместе?
Честно признаюсь, ни у кого никаких продуктивных идей!
Даже стыдно!
28.01.2018
Сообщение отредактировал Семёныч-Бам - Воскресенье, 28.01.2018, 01:32
|
|
|
|
| |
|
|
drakonchikded | Дата: Воскресенье, 28.01.2018, 17:57 | Сообщение # 5 |
| Сообщений: |
45 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Семёныч-Бам ( ) ЗАДАЧА 4.
Коля, Толя и Оля по очереди ели кашу из миски. Каждый из ребят ел кашу столько времени, за какое двое остальных могли съесть половину всей каши. В результате ребята съели всю кашу. Во сколько раз быстрее они съели бы всю кашу, если бы ели не по очереди, а одновременно все вместе?
Во мне крепнет уверенность и где-то (глубоко внутри) даже убеждение, что дядя, придумавший эту задачу, пошутил.
28.01.2018
|
|
|
|
| |
|
|
Семёныч-Бам | Дата: Воскресенье, 28.01.2018, 20:06 | Сообщение # 6 |
Семёныч-Бам
Ранг: Школьник (?)
Группа: Заблокированные
Должность: Менеджер
|
| Сообщений: |
80 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
drakonchikded, для всех наших домашних задачки, предложенные для решения, кажутся в большинстве своём предложенными шутниками.
Но мы просто что-то не понимаем.
Я обещал поделиться реакцией детей на два решения задачи с НОК.
Первый способ мы долго обсуждали все вместе. Реакция была такая. Дочь вообще ничего не поняла, сын сказал, что даже если он вызубрит наизусть это решение, то ни на один возможный вопрос не ответит.
А у меня самого возник вопрос о первом утверждении: доказывается ли в школе равенство :
НОК(x^1/2;y^1/2)=НОК(x;y)^1/2?
Второй способ "от сохи" все поняли и даже решили похожую задачу самостоятельно.
Спасибо!!
28.01.2018
|
|
|
|
| |
|
|
iyugov | Дата: Воскресенье, 28.01.2018, 20:18 | Сообщение # 7 |
iyugov
Ранг: Доцент (?)
Группа: Активисты
Должность: Инженер, учитель
|
| Сообщений: |
1191 |
| Награды: |
12 |
| Статус: |
Offline |
|
ЗАДАЧА 4.
Обозначим скорости поедания каши детьми как a, b, c.
Обозначим время поочерёдного поедания каши детьми как ta, tb, tc соответственно.
Составим систему уравнений согласно условию задачи.
a*ta+b*tb+c*tc = 1
(b+c)*ta = 1/2
(a+c)*tb = 1/2
(a+b)*tc = 1/2
Сложим левые и правые части всех уравнений и вынесем ta, tb, tc за скобки:
(a+b+c)*ta+(a+b+c)*tb+(a+b+c)*tc = 5/2
Вынесем ещё общий множитель за скобки:
(a+b+c)*(ta+tb+tc) = 5/2
Заметим, что в первой скобке - скорость употребления каши тремя детьми одновременно, а во второй скобке - общее время эксперимента с поочерёдным поеданием. Таким образом, за то же время при одновременной еде они скушают 2,5 миски каши. То есть, одну миску каши они вместе съедят в 2,5 раза быстрее.
Семёныч-Бам, а что они вообще знают про НОК? Не абсолютно все соотношения, какие только можно, даются в курсе математики, и некоторые приходится выводить, для сильных учеников это нормально. В данном случае можно исходить из того, что в НОК входят простые делители из пересечения множеств делителей исходных чисел. Если в числах все степени делителей вдвое меньше, то и в НОК так же будет.
А вот это:
Цитата Но нас интересуют такие Х и У, из которых нацело извлекаются корни
вам не кажется требующим доказательства? Из того, что сумма чисел целая (53), разве следует, что оба слагаемых целые?
28.01.2018
Сообщение отредактировал iyugov - Воскресенье, 28.01.2018, 21:39
|
|
|
|
| |
|
|
Семёныч-Бам | Дата: Воскресенье, 28.01.2018, 20:29 | Сообщение # 8 |
Семёныч-Бам
Ранг: Школьник (?)
Группа: Заблокированные
Должность: Менеджер
|
| Сообщений: |
80 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
iyugov, есть ряд напоняток.
1. Скорость поедания каши в каких единицах выражается?
2. Единица в первом уравнении в чём выражется? В ложках, кг или в чём?
3. Второе, третье и четвертое уравнения так и должны быть одинаковыми?
28.01.2018
|
|
|
|
| |
|
|
iyugov | Дата: Воскресенье, 28.01.2018, 21:41 | Сообщение # 9 |
iyugov
Ранг: Доцент (?)
Группа: Активисты
Должность: Инженер, учитель
|
| Сообщений: |
1191 |
| Награды: |
12 |
| Статус: |
Offline |
|
Семёныч-Бам,
1. Безразмерное.
2. Безразмерная. За единицу принимают всю миску каши. Ложки, килограммы и т. д. не имеют значения для ответа.
3. Исправил.
28.01.2018
|
|
|
|
| |
|
|
Семёныч-Бам | Дата: Воскресенье, 28.01.2018, 23:31 | Сообщение # 10 |
Семёныч-Бам
Ранг: Школьник (?)
Группа: Заблокированные
Должность: Менеджер
|
| Сообщений: |
80 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата iyugov ( ) Семёныч-Бам, а что они вообще знают про НОК?
iyugov, это вы меня спрашиваете? Учитель спрашивает родителя, что вообще его дети знают про НОК???
Нет, мне это определённо нравится!
Вы лучше объясните мне и другим, а что они ДОЛЖНЫ ЗНАТЬ В 9-м КЛАССЕ про этот чёртов НОК вместе с не менее чёртовым НОДом, чтобы нормально сдать ОГЭ по математике?
Не для сильных учеников, а для нормальных учеников.
Копаниями в доступной школьной литературе я понял, что такое делитель числа, какое число называют кратным другому числу, какое число называется наибольшим общим делителем чисел, какое число называют наименьшим общим кратным. Разобрался, как нужно раскладывать числа на простые множители и как находить НОД и НОК.
И это всё.
Поэтому я заключаю, что моим рядовым детям не нужно ничего больше изложенного в учебниках, чтобы нормально сдать ОГЭ по математике. Да, есть сложные задачи. Но они предполагают не дополнительные знания, какие можно по секрету поведать избранным. Вроде хитрых остатков у хитрых китаёзов или основной теоремы арифметики во всей ей красе и силе(оказывается, и такая есть). Сложная задача предполагает сообразительность на основе школьных знаний.
Второй способ решения, предложенный "колхозником", именно такой. Ваш - больно мудрён!!
Ваше замечание относительно целой суммы. Понятия не имею. Это пусть решающий ответит. Но у меня такое впечатление, что и ваше решение грешит тем же. Из того, что НОК(x;y)= 22500, вовсе не следует, что
150=sqrt(НОК(x;y))=НОК(sqrt(x);sqrt(y)), а обязательно предполагает целочисленность корней.
Но это вы и без меня разберётесь.
Относительно безразмерных скорости, времени, количества каши. Вот не понимаю и всё! Я догадываюсь, что это мои проблемы, но и сын не понимает. Что-то здесь много такой очевидной академической простоты, что ребятам "от плуга" здесь не понять.
И остаётся ещё тяжёлый осадок.
А что изменится в ответе, если я всю эту миску каши приму не за единицу, а за двойку, или десятку, или за 3,14?
И почему нельзя принять всю массу каши в миске за А грамм? У меня осталось в остатках памяти из физики, что эти доходяги всегда работают с какими-то величинами, имеющими какие-то единицы измерения.
А математики умнее?
28.01.2018
Сообщение отредактировал Семёныч-Бам - Воскресенье, 28.01.2018, 23:32
|
|
|
|
| |
|
|
iyugov | Дата: Понедельник, 29.01.2018, 01:20 | Сообщение # 11 |
iyugov
Ранг: Доцент (?)
Группа: Активисты
Должность: Инженер, учитель
|
| Сообщений: |
1191 |
| Награды: |
12 |
| Статус: |
Offline |
|
Семёныч-Бам, НОД и НОК сами по себе - это материал из курса математики для 5-6 класса. Я учитель информатики. Веду дополнительные занятия, которые предполагают наличие у учеников более глубоких знаний и по математике, в т. ч. и по теме теории чисел. Иначе им трудно будет добиться успеха в программировании.
Что нужно знать для сдачи ОГЭ, расскажут материалы с сайта ФИПИ.
В целочисленности корней в первой задаче я убедился заранее, но не писал об этом. Идеи аналитического и переборного решения можно использовать в разных пропорциях. Выбирайте на свой вкус.
Если просите учителей просто так взять и помочь с решением задачи для школьника, то логично предположить, что задача должна представлять интерес и для решающего.
Принять какую-то величину за единицу - обычное дело в ряде задач на составление уравнений. Можно взять любое другое число (N), и в ответе не изменится ничего. В данном случае итоговое уравнение примет следующий вид:
(a+b+c)*(ta+tb+tc) = N*5/2
Как понимаете, значение выражения N*5/2 будет в 2,5 раза больше, чем просто N, при каком угодно N. То же самое с единицами измерения: сократятся - и всё.
29.01.2018
Сообщение отредактировал iyugov - Понедельник, 29.01.2018, 01:41
|
|
|
|
| |
|
|
Семёныч-Бам | Дата: Понедельник, 29.01.2018, 10:05 | Сообщение # 12 |
Семёныч-Бам
Ранг: Школьник (?)
Группа: Заблокированные
Должность: Менеджер
|
| Сообщений: |
80 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
iyugov, специально для вас я сейчас изложу свою логику.
Сначала выражу неподдельное удивление вашими словами.
Цитата iyugov ( ) Если просите учителей просто так взять и помочь с решением задачи для школьника, то логично предположить, что задача должна представлять интерес и для решающего.
Да, вот так просто прошу помочь с решением задачи для своих школьников.
Для ясности сообщу, что ни младшая, ни старший никакого особенного интереса в углублении знаний не проявляют. Это интересно скорее мне.
Не интересно им в школе заниматься ни математикой, ни физикой.
А логика моя такая: не хотите помогать дуракам, так и не помогайте.
Относительно обычного дела - принятия какой-либо величины за единицу. Не нравится мне это обычное дело. Вот нет у меня уверенности в том, что ничего не зависит от того, за что я принял эту какую-то величину. Вот когда мне убедительно это докажут, соглашусь.
И опять физическая память: я не умею работать с просто единицей.
Вот задача.
Четыре пункта расположены вдоль дороги, идущей по сторонам квадрата : АВ=ВС=СD=DA. Машина едет по дороге из A через B, C, D снова в А. Известны значения скорости в км/час на каждом участке: 60, 40, 30, 70. Найти среднюю скорость на АС, СА и АА.
Не объясните мне, как её НУЖНО решать?
29.01.2018
|
|
|
|
| |
|
|
iyugov | Дата: Понедельник, 29.01.2018, 11:57 | Сообщение # 13 |
iyugov
Ранг: Доцент (?)
Группа: Активисты
Должность: Инженер, учитель
|
| Сообщений: |
1191 |
| Награды: |
12 |
| Статус: |
Offline |
|
Семёныч-Бам, предлагаю исходить из обоюдного интереса к задачам и к способам их решения.
Я написал: можете принять целое не за единицу, а за N. Тогда при ответе на вопрос "во сколько раз" (больше, быстрее, сильнее...) вам придётся разделить N*5/2 на N, и останется 5/2.
Вот смотрите: 1 литр физраствора содержит 0,9% соли. Каков процент соли в 2 литрах физраствора? В трёх тоннах физраствора? В капле физраствора? В бочке физраствора?
29.01.2018
Сообщение отредактировал iyugov - Понедельник, 29.01.2018, 11:59
|
|
|
|
| |
|
|
Семёныч-Бам | Дата: Понедельник, 29.01.2018, 12:23 | Сообщение # 14 |
Семёныч-Бам
Ранг: Школьник (?)
Группа: Заблокированные
Должность: Менеджер
|
| Сообщений: |
80 |
| Награды: |
0 |
| Статус: |
Offline |
|
iyugov, извините, я не понял, что мне должен показать пример с физраствором в связи с первой задачей?
А вот такая задачка.
В бак вылили одно ведро 5% раствора соли и ещё три ведра 3% раствора соли. Какая концентрация соли будет теперь в баке?
Что будем принимать за единицу и зачем?
29.01.2018
Сообщение отредактировал Семёныч-Бам - Понедельник, 29.01.2018, 12:36
|
|
|
|
| |
|
|
iyugov | Дата: Понедельник, 29.01.2018, 12:51 | Сообщение # 15 |
iyugov
Ранг: Доцент (?)
Группа: Активисты
Должность: Инженер, учитель
|
| Сообщений: |
1191 |
| Награды: |
12 |
| Статус: |
Offline |
|
Семёныч-Бам, пример с физраствором должен показать, что когда речь идёт о долях целого, абсолютное количество этого самого целого может не иметь значения. Любое количество физраствора имеет одинаковую солёность - 0,9%.
29.01.2018
|
|
|
|
| |
|
