|
albar | Дата: Пятница, 29.01.2016, 19:12 | Сообщение # 1 |
albar
Ранг: Первоклашка (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
26 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Алгебра. Макарычев Ю.Н. "Просвещение", 2005.
Задача 832 Докажите, что если к двузначному числу прибавить число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то полученная сумма будет кратна 11. Выполняется ли аналогичное свойство для трёхзначных чисел?
К первой половине задачи вопросов нет. Но вот вторая половина вызвала затруднение. Я записал трёхзначное число в виде abc , а записанное в обратном порядке соответственно cba . Что я смог, так это дойти до выражения 101 х (a+c) +20b. Но оно (выражение) позволяет найти условие, при котором сумма записанных таким образом, как в задаче, чисел будет кратна 11. А именно: а + с = 11, и b = 0. Это всё просто и не вызывает затруднений. Но... Я (по крайней мере - я) из этого выражения не могу сделать вывод: а ЕДИНСТВЕННОЕ ЛИ это условие? А может есть какие-то ещё варианты? Конечно, можно взять произвольные три числа, поставить их вместо переменных и вуа-ля - убедиться, что на 100% для трёхзначных чисел это свойство не выполняется. Но, как мне кажется, - этот метод подстановки не есть метод доказательный.
Дорогие учителя, - не пинайте сильно, что без вашей помощи не могу решить. Всё-таки мне 6-й десяток...
29.01.2016
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Пятница, 29.01.2016, 19:56 | Сообщение # 2 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
albar, добрый вечер!
Ответ на вопрос, будет ли такое же иметь место и для трехзначных чисел, отрицательный. Для этого достаточно привести любой контрпример.
Любой!
Например: 111.
Этим проблема решена.
Можно, конечно, поставить вопрос по-другому: есть ли такие трехзначные числа, для которых это будет иметь место?
Да, и такие есть.
Например, 121.
И вообще, это верно только для трехзначных чисел, делящихся на 11.
29.01.2016
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Пятница, 29.01.2016, 23:27 | Сообщение # 3 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата albar (  ) Выполняется ли аналогичное свойство для трёхзначных чисел?
Есть предположение, что выполняется для чисел с четным количеством разрядов:
четырех-, шести- и т.д. -значных.Добавлено (29.01.2016, 23:27)
---------------------------------------------
Ага. Доказывается методом математической индукции.
29.01.2016
|
|
|
|
| |
|
|
Александр_Игрицкий | Дата: Пятница, 29.01.2016, 23:36 | Сообщение # 4 |
| Сообщений: |
11095 |
| Награды: |
129 |
| Статус: |
Offline |
|
miflin, все ответы фактически в признаке делимости на 11.
Никаких хитростей.
29.01.2016
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Пятница, 29.01.2016, 23:45 | Сообщение # 5 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
Цитата Александр_Игрицкий ( ) все ответы фактически в признаке делимости на 11.
Признаюсь честно, с признаком делимости на 11 познакомился минуту назад, в гугле. 
До этого не приходилось интересоваться.
А чтобы доказать моё предположение, нужно было доказать, что число вида 10^(2n-1)+1 делится на 11,
что и сделал методом математической индукции. Теперь вижу, что к нему можно было и не прибегать.
29.01.2016
|
|
|
|
| |
|
|
albar | Дата: Среда, 03.02.2016, 13:33 | Сообщение # 6 |
albar
Ранг: Первоклашка (?)
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
26 |
| Награды: |
1 |
| Статус: |
Offline |
|
Одно НО... Правда, я сам в этом виноват (не упомянул, что задача из 7 класса).
Виленкин. Математика 6 класс (2007): не рассматривается признак делимости на 11. В упомянутом учебнике алгебры этого тоже нет. Следовательно, - ученик, решающий эту задачу, как и я (кстати, тоже, как и miflin, только что узнал из гугла) не владеет этим знанием. Сейчас, благодаря Вам, Александр, можно доказать (именно ДОКАЗАТЬ) не стопроцентное выполнение этого свойства для трёхзначных чисел. Спасибо, с этим разобрался. 
И уж, чтобы окончательно расставить все точки над i (в силу моего чрезмерно дотошного характера), - последний вопрос.
"...Выполняется ли аналогичное свойство для трёхзначных чисел?"
Ставлю себя на место ученика, которому по программе не преподавали признак делимости на 11. В этом случае для вас, уважаемые учителя, был бы достаточен такой мой ответ: "Возьмём произвольное трёхзначное число. Например, 753. По условиям задачи к нему надо прибавить 357. Полученная сумма не делится на 11. Таким образом, аналогичное свойство для трёхзначных чисел не выполняется". Здесь, как видите, никакого доказательства не приводится - тупой подбор. Вас, как учителей, удовлетворил бы такой ответ (с учётом вводной первого предложения этого абзаца) ?
03.02.2016
Сообщение отредактировал albar - Среда, 03.02.2016, 13:37
|
|
|
|
| |
|
|
miflin | Дата: Среда, 03.02.2016, 14:09 | Сообщение # 7 |
miflin
Ранг: Профессор (?)
Хмырь обыкновенный
Группа: Пользователи
|
| Сообщений: |
2663 |
| Награды: |
87 |
| Статус: |
Offline |
|
albar, замечу по поводу той задачи, что я рассматривал (доказать свойство для "четнозначных" чисел).
Там получаются коэффициенты, имеющие структуру: две единички по краям и четное количество нулей между ними.
Делимость таких чисел на 11 очевидна, если просто начать делить в столбик. Получается периодический процесс.
03.02.2016
|
|
|
|
| |
|
