Комбинаторные задачи на нахождение числа перестановок из n элементов. 9 класс

Урок №4. МБОУ СОШ № 167 г.НОВОСИБИРСКА УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ ВАСИЛЕВА МАРИНА ЮРЬЕВНА

Цели: •учиться решать задачи с применением формулы числа перестановок из n элементов •развивать математическую культуру

Устная работа. Вычислить: а) 3!; 5! д) 7! ; б) 5!; е) 6! – 5!; 4! 4 в) 1!; г) ж) Р4; Р4 з) Р 5 и) Р2 + Р3. ; ;

Самостоятельная работа: В а р и а н т 1. В а р и а н т 2. 1. Сколько существует вариантов 1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 рассаживания вокруг дачного гостей на шести стульях? домика 8 различных деревьев в 2. У Вовы на обед первое, второе, восемь подготовленных ям? третье блюда и салат. Он 2. Маше необходимо сшить пяти обязательно начнет с салата, а куклам 5 платьев. Любимой остальное съест в кукле Алине в первую очередь, произвольном порядке. а остальным в произвольном Найдите число возможных порядке. Найдите число вариантов обеда. возможных вариантов пошива 3. Игральный кубик бросили кукольной одежды. трижды и записали выпавшие 3. В ларьке продается 5 видов очки. Найдите число всех мороженого в брикетах. Оля и возможных результатов. Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

№ 739, № 740 (а), № 741, №

Итоги урока. – Что называется перестановкой из n элементов? Запишите формулу для вычисления числа перестановок из n элементов. – Каким способом решаются комбинаторные задачи на перестановки при фиксированных элементах? – В чем суть приема «склеивания» элементов?

Домашнее задание: № 740 (б), № 742, № 743, № 750.

№ 739. Решение Каждое четырехзначное число, составленное из цифр 1; 3; 5; 7 (без повторения), имеет сумму цифр, равную 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Из этих цифр можно составить Р4 = 4! = 24 различных числа, отличающихся только порядком цифр. Сумма цифр всех этих чисел равна 16 · 24 = 384. О т в е т: 384.

№ 740 (а). Решение Среди чисел, составленных из цифр 1; 2; 3; 4 (без повторения), больше 3000 будут четырехзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4. Фиксируем цифру 3, тогда из оставшихся трех можно получить Р3 = 3! = 6 перестановок. Фиксируем цифру 4, тогда из оставшихся трех чисел можно получить Р3 = 6 перестановок. Значит, всего таких чисел 6 + 6 = 12.

№ 741. Решение а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р6 = 6! = 720. б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р5 = 5! = 120. в) Пусть Олег и Игорь стоят рядом. Возможны два варианта их расположения в паре (Олег – Игорь, Игорь – Олег). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число таких комбинаций для каждого из двух случаев равно Р6 = 6! = 720. Значит, всего вариантов 720 + 720 = 1440. З а м е ч а н и е: Такой прием называется «склеиванием» элементов. О т в е т: а) 720; б) 120; в) 1440.

№ 744. Решение Применяем прием «склеивания» элементов. Пять сборников стихов можно «склеить» между собой Р5 = 5! = 120 различными способами. Теперь имеем множество, состоящее из 8 элементов (7 элементов + «склейка»). Для каждой из 120 «склеек» существует Р8 = 8! = 40320 перестановок в группе из 8 элементов. Значит, общее число способов расставить 12 книг, из которых 5 должны стоять рядом, равно 120 · 40320 = = 4 838 400. О т в е т: 4 838 400 способов.

№ 745. Решение а) 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10-е: Р10 = 10! = 3 628 800 различными способами. б) Если мальчики могут сидеть только на нечетных местах, а девочки – только на четных, то мы можем менять местами только мальчиков с мальчиками и девочек с девочками. Для мальчиков это Р5 = 5! = 120 вариантов и Р5 = 120 вариантов – для девочек. Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по комбинаторному правилу умножения общее число способов рассадить детей в этом случае равно 120 · 120 = 14400.

ПРИ ПОДГОТОВКЕ ПРЕЗЕНТАЦИЙ ИСПОЛЬЗОВАНЫ МАТЕРИАЛЫ : •Алгебра. 9 класс: поурочные планы по учебнику Ю. Н. Макарычева (компакт-диск) – издательство «Учитель», 2010 •Алгебра: для 9 класса общеобразовательных учереждений/ Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С. Б. Суворова; под редакцией С.А. Телековского.-М.: Просвещение, 2009. •345×360на ux1.eiu.eduJPG, 21 КБ •http://images-