Конспект урока по алгебре "Арифметическая прогрессия" (9 класс)

УРОК – ЛЕКЦИЯ НА ТЕМУ

« АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ». ( 2УРОКА ).

ЦЕЛЬ УРОКА:

- Расширить знания учащихся о последовательностях, ввести понятие арифметической прогрессии, формулу п-го члена и формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии и их вывод.

- Способствовать воспитанию у учащихся логического мышления, внимания и аккуратности при применении формул

п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. Вызвать интерес учащихся к математике.

- Способствовать формированию у учащихся:

умения анализировать математическое предложение;

умения выделять среди последовательностей арифметическую прогрессию;

умения записывать, выполнять вывод формул п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии и применять их при решении задач.

ПЛАН:

1.Обосновать необходимость изучения темы.

2.Предоставить возможность учащимся самим дать определение арифметической прогрессии и свойство ее членов.

3. Провести вместе с учащимися вывод формулы п-го члена арифметической прогрессии . Решение ключевых задач.

4.Провести вместе с учащимися вывод формул суммы п первых членов арифметической прогрессии. Решение ключевых задач.

5. Легенда о немецком математике Гауссе.

6. Историческая справка о Колмогорове А.Н.

7. Постановка проблемных вопросов, близко примыкающих к теме, предназначенных для самостоятельной работы( с указанием литературы).

8. Домашнее задание.

ХОД УРОКА.

1.Организационный момент.

2. Постановка цели урока перед учащимися.

Научиться выделять среди всех последовательностей

арифметическую прогрессию и ее свойства.

3.Повторение с целью проверки уровня усвоения пройденного и подведения к новому материалу.

УСТНАЯ ФРОНТАЛЬНАЯ РАБОТА.

1. Назовите первые пять членов последовательности ( а_п), если а_п = п²+ 5

2. Выделите общее свойство членов последовательностей:

2;3;4;5;…

14;12;10;8;…

-3;-4;-5;….

0,3;0,6;0,9;…

ВОПРОСЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОДВЕДЕНИИ ИТОГОВ ФРОНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ:

1.Что такое последовательность?

2. Какие бывают последовательности? Приведите примеры.

3.Какие существуют способы задания последовательностей?

Приведите примеры.

4.Ознакомление с новым материалом и его закрепление.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА.

Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший 5дм, а каждый следующий на 2дм длиннее. Запишите длину семи стержней фермы (см. рисунок ).

1)Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.

5;7;9;11;13;15;17.

2) Запишите последовательность с помощью таблицы.

3) Найдите разность между предыдущим и последующими членами последовательности.

а₂ - а₁ =7-5=2 а₃ - а₂ =9-7=2

а₄ - а ₃=11-9=2 а₅ - а₄=13-11=2

а₆ - а₅ =15-13=2 а₇ - а₆ =17-15=2

d-разность ;

d= а₂ - а₁ = а_{3 -} - а₂ = а₄ - а_{3 = …}

d= а_п+1 – а_п

- разность

4)Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

а₁ = 5, а_п+1 = а_п +2

УЧИТЕЛЬ:

Такая последовательность называется арифметической прогрессией. Термин «прогрессия» (от лат. рrogressio — движение вперед) был введен римским философом Боэцием в VI в. и понимался просто как последователь­ность чисел, построенная по такому за­кону, который позволяет неограничен­но продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее вре­мя термин «прогрессия» в этом широком смысле не применяется; вместо этого употребляют слово последовательность. Но два простых и важных для практиче­ских нужд вида последовательностей со­хранили свои старые названия, правда, их уже дополнили прилагательными — арифметическая и геометрическая.

Арифметическая прогрессия появилась с возникновением натуральных чисел, так как каждое следующее натуральное число на 1 больше предыдущего.

5) Попробуйте дать определение арифметической прогрессии.

Учащиеся пытаются сформулировать

определение, учитель им помогает.

6) Работа с учебником.

Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся

читает определение вслух.

7) Найдите среднее арифметическое чисел 5 и 9.

(5+9):2=7.

8) Справедлива ли такая закономерность для любых трех членов арифметической прогрессии?

(а₁+ а₃ ) :2= а₂ (5+9):2=7, а₂=7,

9) Докажите, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность

d= а_п+1 - а_п = а_п+2 - а_п+1=…

а_п+1 - а_п = а_п+2 - а_п+1

2 а_п+1 = а_п+2 + а_п

а_п+1 =( а_п+2 + а_п):2

а_п+1 =( а_п+2 + а_п):2

- свойство членов арифметической прогрессии.

ВЫВОД:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии- арифметическая.

ПРИМЕР.1. Дано:( а_п)-арифметическая прогрессия,

а₁ =4, d= 7.

Найти: первые пять членов, т.е. а_2, а_3, а_4, а₅

Решение:

а₂ = а₁+ d=4+7=11

а₃= а₂+ d=11+7=18

а₄ = а₃+ d=18+7=25

а₅ = а₄+ d=25+7=32

Ответ: 4;11;18;25;32.

2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ п-го ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

( а_п )- арифметическая прогрессия,

d-разность прогрессии,

а₁ - первый член .

а₂ = а₁ + d

а₃= а₂+ d = а₁+ d + d = а₁ +2 d

а₄ = а₃+ d = а₁ +2 d + d = а₁ +3d

………………………………

- формула п-го члена арифметической прогрессии.

ПРИМЕР.2. Дано: (а_п )-арифметическая прогрессия,d=3, а₁=20_,

Найти: а₅ ,а₁₂ .

Решение: а_п = а₁ + (п-1) d

а₅= а₁ + (5-1) d

а₅=20+4*3=32

а₁₂= а₁ + (12-1) d

а₁₂=20+11*3=53

Ответ: а₅=32, а₁₂=53.

ПРИМЕР.3. Дано: 15; 13; 11;… -арифметическая прогрессия.

Найти: а₁₁

Решение:

а₁=15, а₂=13, d= а₂ – а₁

d=13-15= - 2,

а_п = а₁ + (п-1) d

а₁₁ = а₁ + (11-1) d

а₁₁ = 15 + 10*(-2)=-5.

Ответ: а₁₁=-5.

3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

1)Постановка проблемы.

2;5;8;11;14.-арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

2)Изобразим эти числа с помощью ступенчатой фигуры (используя клетки тетради).

В Д О

А С Е

3) Дополним эту фигуру АВДС до прямоугольника АВОЕ.

4) Получим две равные фигуры: АВДС=ОЕСД.

Следовательно, равны их площади: S(АВДС)=S(ОЕСД).

5) Найдем площадь фигуры АВОД как площадь прямоугольника.

S(ABGE)= AE*AB

S(ABGE)=(AC +CE)*AB
2 S(ABDC)=( первый член + п-й член) * число членов

S(ABDC)= n

S_n- сумма n – первых членов арифметической прогрессии.

-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

а_п = а₁ + (п-1) d

-формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.

ПРИМЕР.4. Дано: (а_п)-арифметическая прогрессия,

а₁=-40, а₅= -32.

Найти:S₅.

Решение:

=

S₅=-180

Ответ: S₅=-180.

ПРИМЕР.5. Дано:8;4;0;…-арифметическая прогрессия.

Найти:S₂₀

Решение:

20

d= a₂ – a₁=4-8=-4

20 =- 600 .

Ответ: -600.

4 .СООБЩЕНИЕ УЧАЩЕГОСЯ.

Крупнейший немецкий математик Карл Гаусс (1777— 1855) в

раннем возрасте проявил необыкновенные способ­ности к

изучению арифметики.

Семи лет Карл начал учиться в народной школе. В этом типе

учебных заведений два первых года обуче­ния почти

полностью отводились на чтение и письмо.

И мальчик Гаусс из среды своих одноклассников ничем не

выделялся.

Положение изменилось с переходом Карла в третий класс. В этом классе основное внимание уделяли ариф­метике.

Учитель, по фамилии Бюттнер, на одном из уроков предложил третьеклассникам найти сумму всех натураль­ных чисел от единицы до ста.

Нервно заскрипели на аспидных досках грифели уче­ников. Их всех, за исключением только одного, пугала на­висшая угроза почувствовать на собственном теле силь­ные удары хлыста учителя. Ведь многие из них очень хо­рошо знали по личному опыту, что учитель больно хлещет не только за ошибки, но и за отставание от товарищей.

Этим одним был Карл Гаусс. Ему удалось почти мгно­венно решить предложенную учителем задачу.

По установленному в классе распорядку решивший задачу первым клал свою доску на середину большого стола. Туда и положил свое решение маленький Гаусс, едва только учитель договорил последние слова форму­лировки задачи.

Насмешливый взгляд Бюттнера, не расстававшегося с хлыстом, был весьма выразительным. Наставник Гаус­са даже и не допускал мысли, что на столь поспешно по­ложенной доске может оказаться правильное решение задачи.

Но Карл оставался совершенно спокойным. Он был уверен в правильности своего ответа.

Долго сидел маленький Гаусс в ожидании окончания работы своими товарищами. Очень много прошло време­ни, прежде чем следующая доска легла на его доску. Но в конце концов доски учеников последовательно легли друг на друга.

Учитель привычным движением рук перевернул эту кучу досок так, чтобы начать просмотр с тех работ, кото­рые были сданы первыми.

Работа Карла удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма про­стым и оригинальным.

В решении Карла ярко проявилась его математиче­ская зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть на запись задания 1+2 + 3+ ... +98 + 99 + 100, чтобы заметить, что сум­ма каждой пары слагае­мых, которые одинаково отстоят от концов запи­санного выражения, рав­на 101

( 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ...,50 + 51).

А таких пар, рассуждал дальше мальчик, в два раза мень­ше, чем слагаемых, т. е. 50. Выходит, что вся иско­мая сумма

равна 101-50 = 5050.

Способности Гаусса в области счета всегда удив­ляли людей, которым до­водилось с ним встречать­ся. В развитии этих спо­собностей очень большую роль сыграли целеустрем­ленность, трудолюбие и тщательность выполнения каж­дой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений Карл Гаусс всегда со­блюдал образцовый порядок. Каждую цифру он писал четко; каждое число занимало надлежащее ему место.

Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки. С этой целью им широко использовались различные спо­собы проверки.

К. Гаусс.

5 .СООБЩЕНИЕ УЧАЩЕГОСЯ.

С арифметической прогрессией связано на­чало творческого пути другого выдающегося матема­тика — Андрея Николаевича Колмогорова. В своей статье «Как я стал математиком» он пишет: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность

1 = 1²,

1 + 3 = 2²,

1 + 3 + 5 = З²,

1+3 + 5 + 7 = 4² и так далее.

В нашем доме под Ярославлем мои тетушки уст­роили маленькую школу, в которой занимались с де­сятком детей разного возраста по новейшим рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал «Весенние ласточки». В нем мое открытие было опубликовано. Там же я опубликовал приду­манные мною арифметические задачи».

Как была обнаружена эта закономерность, автор приведенных строк не указывает (как и в описанной выше легенде о Гауссе также не ясно, как он заметил нужное свойство). Вполне возможно, что это были только чисто арифметические наблюдения. Может быть, он использовал такой же прием, как и Гаусс, просуммировав прогрессию а_п = 2п - 1. Но могло быть и так.

Положим в тождестве

2к - 1 = к² - (к - 1)²

последовательно к = 1, 2, 3, ..., п; имеем цепочку равенств

1 = I²,

3 = 2² - I²,

5 = 3² - 2²

7 = 4² - З²,

………….

2к - 1 = п² - (п - I)².

Сложив эти равенства, получим нужную формулу:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2п - 1) = п².

6. УЧИТЕЛЬ:

Арифметическая и геометрическая прогрессии — два важных инструмен­та, которые используются в различных построениях и при решении чисто прак­тических задач. Поэтому вполне зако­номерно, что в знаменитой книге Л.Ф.

Магницкого «Арифметика», напи­санной для учеников Математико-навигационной школы (первой специализи­рованной школы в России, которая указом Петра от 14 января 1701 года была открыта в Москве), пятая часть имеющихся в ней задач отведена уче­нию о прогрессиях.

Свойства прогрессий и задачи, с ними связанные, являются эффектив­ным пропедевтическим средством для изучения основ алгебры, дифференци­ального и интегрального исчислений. И, тем самым, не случайно, что экзамена­ционные комиссии различных ВУЗов не­пременно включали задачи на прогрес­сии в

свои варианты вступительных эк­заменов (например, в вариантах

МГУ им. М.В. Ломоносова в период 2000-2005 г. встретилось 34 такие задачи).

Задачи, в которых используются определения, свойства, формулы п члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии , встречаются в КИМах ГИА и ЕГЭ.

Знание определения и свойств арифметической прогрессии позволяет решать сложные уравнения. А при решении еще, каких задач используются свойства арифметической прогрессии, Вы можете узнать в журнале «Математика в школе»№2 за 1991 год, в газете « Математика» № 6 за 2006 год.

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ

(х+5)+(х+8)+(х+11)+…+(х+32)=200.

х+5,х+8,х+11 … х+32- арифметическая прогрессия,

а₁= х+5, а₂= х+8

d= а₂ – а₁

d= (х+8)-(х+5)=3

а_п = а₁ + (п-1) d

а_п= х+32, то х+32=(х+5)+ (п-1)*3

х+32- х-5= 3п- 3

3п=30

п=10

7. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Учитель повторяет весь теоретический материал урока и обращает внимание учащихся на основные понятия и формулы арифметической прогрессии.

8. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Изучить материал учебника ( п.25,п.26) и конспекта лекции;

рассмотреть другой способ вывода формулы п-первых членов арифметической прогрессии в учебнике ; выучить определение, свойства и формулы.

9. ЛИТЕРАТУРА:

1. Алгебра . 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,2010.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе, 7-8 классы. Пособие для учителей. – М .: Просвещение, 1982.

3. Учебно – методическая газета « Математика»

( приложение к газете « Первое сентября»).

4. Журнал « Математика в школе »

5. Савин А.П.. Станцо В.В. и др. Я познаю мир: Детская энциклопедия: математика. – М.: АСТ, 1996.

6. Коваленко В.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1990.

7. Интернет. Википедия.