Разработка модуля по геометрии "Признаки подобия треугольников"

РАЗРАБОТКА МОДУЛЯ ПО ГЕОМЕТРИИ В 9 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:

«ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

РАЗРАБОТАЛА:

учитель математики 1 категории

МОКУ «ЛАРБИНСКАЯ СОШ»

ХИЖАК АЛЛА АЛЕКСЕЕВНА

2013 г.

МОДУЛЬ «ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

ЦЕЛЬ: 1) знать формулировку признаков подобия треугольников;

2) уметь доказывать один из признаков подобия треугольников;

3) научиться применять признаки подобия треугольников;

4) отработать навык по решению задач по данной теме;

5) уметь анализировать, сравнивать, обобщать.

ХОД УРОКА

1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ: сформулировать понятия подобия, свойства преобразований подобия, гомотетии и гомотетичных фигур.

Обратить внимание на то, чем может быть задана гомотетия:

1. указанием центра гомотетии и коэффициента гомотетии;

2. двумя парами соответствующих точек.

11. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП.

Ввиду общности идеи доказательства признаков подобия треугольников целесообразно рассмотреть все три теоремы одновременно, используя единую схему – рисунок и общий план доказательства каждой из теорем.

Прежде чем приступить к непосредственному изучению признаков подобия треугольников, полезно предварительно провести подготовительную работу с классом:

а) повторить признаки равенства треугольников;

б) сформулировать определение подобных треугольников, исходя из общего определения подобных фигур.

Важно обратить внимание на порядок записи вершин подобных треугольников и пропорциональности сторон, предложив учащимся упражнения:

1. Дано: ∆ MNR ∞ ∆ АВС. Укажите, какие углы равны и какие

стороны пропорциональны.

2. Два треугольника подобны. Два угла одного треугольника 100 и 60 . Чему равен меньший угол второго треугольника?

3.Сравните определения равных и подобных треугольников.

Что можно сказать о соответствующих углах в том и другом случаях? О соответствующих сторонах?

4. Лабораторная работа.

Цель работы: Исходя из названий признаков равенства треугольников и определения подобных треугольников, дать по аналогии названия признакам подобия треугольников и сформулировать их.

Учитель заранее вычерчивает на доске таблицу, которую учащиеся воспроизводят в рабочих тетрадях и заполняют ее Таблица сравнения признаков равенства и подобия треугольников

Признаки равенства треугольников		Признаки подобия треугольников
Условие теоремы	Название признака	Условие теоремы	Название признака	Формулировка признака
Дано: АВ = А1 В1 АС = А1 С1 , угол А равен углу А1. Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1. Дано: АВ = А1В!, АС = А1С1, ВС = В1С1. Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1. Дано: Угол А равен углу А1, угол В равен углу В1, АВ = А1В1. Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1.		Дано: АВ = к А1В1, АС = к А1С1, Угол А равен углу А1. Доказать: ∆АВС ∞∆А1В1С1. Дано: АВ = к А1В1, АС = к А1С1, ВС = к В1С1. Доказать: ∆АВС ∞∆А1В1С1. Дано: Угол А равен углу А1, Угол В равен углу В1, АВ = к А1В1. Доказать: ∆АВС ∞∆А1В1С1.

Дополнительные вопросы:

1. Сколько соответствующих пар равных элементов указывается в условиях признаков равенства элементов? Почему?

2. Есть ли отличия в условиях признаков подобия треугольников? Чем они объяснимы? Существенны ли они?

111.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИЗНАКОВ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

К ласс получает задание: прочитать в учебнике доказательство одного из признаков и составить план основных этапов доказательства.

АААА

В это время учитель на доске (экране, таблице) представляет рисунок теоремы (рис.1)

А₂ С₂

А С

В₂ 2

1

А₁ С₁ 3

В

В₁

В результате обсуждения работы над составлением плана доказательства делается вывод, что во всех трех теоремах можно выделить три этапа доказательства (учащиеся записывают их в тетради):

1. ∆ А В С → ∆ А₂ В₂ С₂ , где к =

2. ∆ А₂ В₂С ₂ = ∆АВС – по одному из признаков равенства треугольников (см. таблицу).

3. ∆ АВС ∞ ∆ А₁ В₁ С ₁ - по определению подобия.

Далее учащиеся совместно с учителем приступают к подробному обоснованию каждого из этапов доказательства всех теорем и записывают его в тетрадях, заполняя такую таблицу:

Доказательство признаков подобия треугольников
	по двум углам	по двум сторонам и углу между ними	по трем сторонам
1 11 111

Проверка усвоения признаков подобия треугольников.

1. Подобны ли прямоугольные треугольники, если в одном из них имеется угол 42 , а в другом – угол 48 ?

2. Н а рисунке параллельные прямые показаны одинаково направленными стрелками. Найти на этих рисунках подобные треугольники и объяснить, почему они подобны?

В В С

В₁

В₂

А С

А₁ А₂ А Д

1У. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА.

Д ля первичного закрепления изученной теории учащимся предлагаются упражнения: 1.Дано: АВ МN (рис.2) Доказать: ∆ ОАВ ∞ ∆ ОNM. Как найти коэффициент подобия треугольников?

М

А

О

В N

рис.2 2.Подобны ли треугольники АВС и А₁ В₁ С₁ если:

а) АВ=10 см; АС=6см; А₁ В₁=5см; А ₁С₁ =3см; угол А равен углу А₁;

б) АВ=2м; АС=3 м; ВС= 4м; А₁ В₁ =6 м; А₁ С₁ =9 м; В₁ С ₁=8 м?

3. Подобны ли любые два равносторонних треугольника?

4. Известно, что у треугольников АВС и А₁ В₁ С₁ угол А равен углу А₁; угол В равен углу В₁; АВ=5 м; ВС=7 м; А₁ В₁ =10 м; А₁ С₁ =8 м. Найдите

АС и В₁С₁.

5.Имеет ли место следующий признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и один из углов одного треугольника равен какому-то углу другого, то такие треугольники подобны?

Ответ. Нет. Для обоснования ответа достаточно привести пример, противоречащий данному утверждению.

6.Продолжите фразу: «Два равнобедренных треугольника подобны, если…». Сколько вы нашли вариантов ответа?

ПРИМЕЧАНИЕ. Упражнения 1 – 4 относятся к обязательному уровню усвоения.

У. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Решение задач (см. рабочую тетрадь)

Тип 1.Задачи в чертежах на нахождение подобных треугольников, где нужно назвать по какому признаку подобны эти треугольники.

№№ 13, 28, 37.

Тип 2. Вычислительные задачи

Инструкция №1 к применению:

Чтобы найти неизвестные стороны подобных треугольников, нужно:

• записать пропорциональность сходственных сторон,

• подставить значения известных сторон,

• вычислить неизвестную сторону, решив пропорцию.

Например:

Дано: ∆ АВС ∞ ∆ МРК, АВ=12, ВС=15, РК=40, МК=24.

Найти: МР и АС.

Р е ш е н и е:

1. Так как ∆ АВС ∞ ∆ МРК, то .

Тогда .

2. Из пропорции имеем

15 МР = 12∙40, МР = , МР = 32.

3. Из пропорции = имеем

40 АС = 15 24, АС = , АС =9.

Ответ: АС = 9, МР =32.

Инструкция №2 к применению:

Чтобы записать пропорциональность сходственных сторон подобных треугольников, нужно:

• выяснить, при каких вершинах углы равны,

• определить, какие стороны являются сходственными (лежат против равных углов),

• записать пропорцию, где в числителях – стороны одного треугольника, а в знаменателях – сходственные им стороны другого.

№№14, 16, 17, 29, 30, 38, 39.

Тип 3. Задачи на доказательство

№№ 15, 31.

Инструкция №3 к применению:

При доказательстве подобия треугольников часто используют свойства углов при параллельных прямых ( см. рис.3, 4).

О

А В

М Р Р

С М

К Е

рис.3 рис.4

1 .Если МР КЕ, то угол ОМР равен углу ОКЕ (как соответственные при параллельных прямых МР и КЕ и секущей МК).

Тогда у треугольников ОМР и ОКЕ: угол О – общий и угол ОМР равен углу ОКЕ т.е. треугольник ОМР подобен треугольнику ОКЕ по двум углам (рис.3)

2 .Если АВ СМ, то угол РСМ равен углу РВА (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СМ и секущей ВС).

Тогда у треугольников РАВ и РМС: угол РСМ равен углу РВА и угол СРМ равен углу ВРА (как вертикальные углы), т.е. треугольник РАВ подобен треугольнику РМС по двум углам (рис.4).

Работа с учебником.

Решение задач №№ 12,18, 20, 24, 35, 44.

У1. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

1. В треугольнике МЕК проведена прямая ЕР так, что угол ЕРК равен углу МЕК. Докажите, что треугольник ЕРК подобен треугольнику МЕК.

2. В треугольнике РЕК ОD РК. Докажите, что треугольник ОЕD подобен треугольнику РЕК.

3. Д ан треугольник КМN. Через точку О на стороне К N и точку Р на стороне КМ проведена прямая, причем ОР МN:

1. Докажите, что треугольник КМ N подобен треугольнику КРО.

2. Найдите длину отрезка ОР, если: а) М N =20 см; РК=12 см; КМ = 16 см; б) ОК = 12 см; К N =16 см; М N = 24 см.

4. В трапеции ВCDЕ с основаниями ВЕ и СD диагонали пересекаются в точке Н:

1. Доказать, что треугольник ВНЕ подобен треугольнику DНС.

2. Найти СD , если: а) ВЕ = 32 см; ВН = 28 см; НД = 21 см;

б) ВЕ = 36 см; ЕН = 32 см; СН = 24 см.

5. Диагонали трапеции АС и ВD пересекаются в точке О. ВС=5 см,

АD = 15 см, ВD = 12 см. Найдите ВО и ОD .

6.Через точку Е стороны КD треугольника F К D проведена прямая, параллельная стороне FК и пересекающая сторону FD в точке О.Найдите ОЕ, если F К = 15 дм, F О = 4 дм, ОD = 8 дм.

ЛИТЕРАТУРА:

1. А.В. Погорелов, Геометрия, 7-9 класс, изд-во «Просвещение», Москва, 2012.

2. Ю.П. Дудницын, Геометрия, рабочая тетрадь, изд-во «Просвещение», Москва, 2008.

3. Т.И. Купорова, Геометрия, 9 класс, поурочные планы, изд-во «Учитель», Волгоград, 2001.

4. Н. Б.Мельникова, Г.Б. Лудина, Н.М. Лепихова, Геометрия, Дидактические материалы для 7-9 классов, «Мнемозина», Москва, 1999.

5. В.И.Жохов, Л.Б.Крайнева, Геометрия, Карточки для проведения контрольных работ и зачетов, «Вербум-М», Москва, 2001.