Урок математики по теме "Решение линейных неравенств и неравенств второй степени" для 9 класса

I. Организационный момент (1минута)

Учитель сообщает тему урока, цель и поясняет, что во время урока будет использоваться тот или иной материал, который находится на партах.

II. Повторение теоретического материала по теме (15 минут)

Учитель: Дайте определение, что называется неравенством?

Ответ: Символическая запись, в которой два числа или выражение, содержащие переменные, соединены знаком «больше» или «меньше»
(> или < ) называется неравенством.

Учитель: Как называются неравенства вида а ≥ b
а ≤ b?

Ответ: Неравенства вида а ≥ b, а ≤ b называются нестрогими.

Учитель: Как называются неравенства вида а > b
а < b?

Ответ: Неравенства вида а > b, а < b называются строгими
неравенствами.

Учитель: Перечислите основные свойства числовых неравенств.

Ответ: 1. Если а > b и b > с, то а > с.
2. Если а > b, то а + m > b+т.
3. Если a > b и m > 0, то а т > bт.
4.Если а>b и с>d, то а +с >b+d
5. Если а >b и с <d, то а – с > b –d.
6. Если а > b > 0 и с > d > 0, то а – с > b – d.
7. Если а > b ≥ 0 и n – натуральное число, то аn > bn .
8. Если а > b ≥ 0 и n – натуральное число, то n√ а > n√b.
9. Если а и b - числа одного знака и а > b, то 1 : а > 1 : b .

Учитель: Мы повторили свойства числовых неравенств. Возникает вопрос о возможности распространения этих свойств на неравенства, содержащие переменные, которые требуется решить. Давайте вспомним, какие неравенства называются равносильными.

Ученик: Два неравенства, содержащие переменную, называются равносильными, если всякое решение первого является решением второго и наоборот, всякое решение второго является решением первого.
Неравенства, не имеющие корней, также называются равносильными.

Учитель: Какие вы знаете правила для решения неравенств, содержащих переменную?

Ученик: Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то новое неравенство равносильно данному.
Не нарушая равносильности, можно любое слагаемое переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число m, то новое неравенство равносильно данному.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число m, то получим новое неравенство противоположного смысла, равносильное данному.

Учитель: Что называют решением неравенства?

Ответ: Значение х, при котором неравенство f (х) > g (х) справедливо, называется решением неравенства.

Учитель: Что значит решить неравенство?

Ответ: Решить неравенство – это значит найти множество всех его решений.

Учитель: Какое неравенство называется линейным?

Ответ: Неравенство, обе части которого являются линейными функциями относительно переменной, называется линейным.

Учитель: Какое неравенство называется квадратным?

Ответ: Неравенство вида а х2 + b х + с < 0 , или а х2 + b х + с > 0, где а ≠ 0, называется квадратным.

Учитель: Решить неравенство а х2 + b х + с> 0 значит найти значения Х, при котором функция у= а х2 + b х + с имеет положительные значения, аналогично решается неравенство а х2 + b х + с < 0.
Решение квадратных неравенств связано с нахождением промежутков знакопостоянства квадратичной функции.

Теорема 1. Если нули квадратичной функции у= а х2 + b х + с действительные и различные, то для значений х, принадлежащих промежутку между корнями, знак функции противоположен знаку коэффициента а, а для значений х вне этого промежутка знак функции совпадает со знаком коэффициента а.

x (-∞; x1) (х1; х2) (х2; +∞)
Знак y Совпадает со знаком коэффициента а Противоположен знаку коэффициента а Совпадает со знаком коэффициента а



Теорема 2. Если нули квадратичной функции у= а х2 + b х + с действительные равные , то при всех значениях х , кроме значения, равного корню х1 = х2 = -b : (2а) знак функции совпадает со знаком коэффициента а.



Теорема 3. Если квадратичная функция у= а х2 + b х + с действительных нулей не имеет, то для всех без исключения значений х знак у совпадает со знаком коэффициента а.



Учитель обращает внимание сильной группы учащихся на алгоритм решения неравенств, содержащих модули, который находится в раздаточном материале.
1. Неравенство |ах + b| < с, где с > 0, равносильно двойному неравенству
- с < ах + в < с, последнее в свою очередь, равносильно системе неравенств
ах +b < c
ах +b > - c

Следовательно, решение данного неравенства является пересечение множеств решений неравенств ах + b < c, ах + b > - c
2. Неравенство |ах + b| > с, где с > 0, равносильно совокупности двух неравенств: ах + d > c и ах + b < - c
Таким образом, решением данного неравенства является объединение множества решений одного из них с множеством решений другого. В отличие от системы неравенств совокупность неравенств записывается так:
ах + b < c
ах + b > - c

III. Устные упражнения (5 минут)
I. Какие из неравенств:
1) ху > 200;
2) ху > 100;
3) ху > 400 - верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих условию х > 10, у > 20 ?

А. 1 и 2; Б. 1 и 3; В. 2 и 3; Г. 1.2. и 3.

II. О числах а, b и с известно, что а > b > c. Какое из следующих чисел отрицательно ?

А. а – b , Б. b – c, В. а – с, Г. с – b

III. Известно, что х > у. Какое из следующих неравенств неверно?

А. х – 3 > - 3
Б. – х < - у
В. х + 3 > у + 3
Г. х : 3 < у : 3.


IV. Решите неравенство 3 (3 х – 1) > 10 х – 14

А. ( - ∞; 11)
Б. ( 11; + ∞)
В. ( - ∞ ; - 11)
Г. ( - 11; + ∞ )

V.На рисунке изображен график функции у = х 2 + 2х. Используя график, решите неравенство х2 + 2х ≤ 0.



Ответ:_________________

VI.На рисунке изображен график функции у = х2 - 3х. Используя этот график, решите неравенство х2 - 3х ≥ 0.



Ответ:____________________

V. Разноуровневая самостоятельная работа
(15 минут)

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут.

Для учащихся со слабой математической подготовкой составлены карточки № 1.1;2.1; 3.1. работа для них содержит простейшие задания, аналогичные тем, которые разбирались на предыдущих уроках. Вместе с заданиями учащиеся получают листы для выполнения задания.
Основная группа учащихся со сборниками для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: № 161(1), №134 (2), №132 (1).
Двое учащихся среднего уровня на доске выполняют задания по карточкам № 1.2; 2.2.
Наиболее сильные учащиеся работают по карточкам № 1.3; 2.3.

Карточка № 1.1.
1.Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что
х < 0, у > 0 ?

А. ( х – у)х; Б. х у; В. ( х – у)у; Г. ( у –х )х

2. Решите неравенство
3 (1 – х ) – ( 2 – х ) < 5

А. х > - 2;
Б. х < - 2;
В. х < 2;
Г. х > 2.

3. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой 3(3х – 1) > 2(5х – 7)

4. При каких значениях m значения выражения 10 m + 1 больше значений выражения 8 m – 2?.

5. Решите неравенство
а) х2 – 1 ≤ 0,
б) х2 – х - 6> 0

Карточка № 2.1.

1. Известно, что a > b. Сравните а – b и b- а.

А. а – b > b - а
Б. а – b < b – а
В. а –b = b – а

Г. Данных для сравнения недостаточно.

2.На каком рисунке изображено множество решений неравенства х2 – 9≤ 0?

А. //////////// В. \\\\\\\\\\\\\\\ 
-3 3 -3

Б \\\\\\\\\\\\\\\  Г \\ \\\\\\\  ////////////
3 -3 3

3. Найдите значения х, при которых выражение 2х +6 принимает отрицательные значения, больше – 4 .

4. Решите двойное неравенство и укажите два каких-нибудь числа, являющихся его решениями 0 < 5 – х < 4.

5. Решите неравенство

а) 25 ≥ х2
б) 2 х2 – 3 х – 5 > 0

Карточка № 3.1.

1. Известно, что х и у - положительные числа и х < у. Какое из утверждений неверно?
А. –х > -у
Б. 1:х >1:у
В. х 2 < у2
Г. √ х > √у

2. Какое из неравенств не имеет решений?
А. х2 – 1 > 0
Б. х2 + 1 > 0
В. х2 – 1 < 0
Г. х2 + 1< 0

3. Решите двойное неравенство
-2 < 6х + 7 < 1

4. При каких значениях а выражение 7 – 2а принимает отрицательные значения?

5. Решите неравенство
а) х2 – 10х < 0
б) х2 + 7х+12< 0

Карточка № 1.2

1.При каких положительных значениях х верно неравенство х2 – 2х ≤ 2

2. При каких значениях х имеет смысл выражение √ 6 – 5х- х2 : ( х + 3)

3. Не используя калькулятор, сравните значение выражений
√ 3 + √ 6 и √2 +√ 7

Карточка № 2.2.

1.Решите неравенство ( х – 1) ( 3 – 2х)> -6

2. Найдите область определения функции у = √ 3х2 – 4х + 2

3. Не используя калькулятор, сравните числа √ 26 + √ 24 и 10

Карточка № 1.3.

1.Решите неравенство
х4 – 5х2 + 4 < 0
2. Решите неравенство
| 3х + 1|< 4.

Карточка № 2.3.

1.Найдите наибольшее целое решение неравенства
( √2 – 2)х > √ 2 + 2
2. Решите неравенство
√ (2х – 1)2 < 3

Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает слабым учащимся выполнять задания наводящими вопросами и контролирует решение задач на доске.
По истечении времени учащиеся сдают работы.

VI.Обсуждение решений задач представленных на доске (6 минут).

Учащиеся, выполняющие задание у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости коррективы.

VII.Подведение итогов, комментарии по домашнему заданию (3 минуты).

В качестве домашнего задания учащиеся получают задания из сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: № 125 (1), №123 (2), №157 (1).