Презентация по математике по теме: "Метод интервалов" для 8 класса

-1 2 7 Перешивкина А. Ю. Учитель математики ГБОУ школа №494 г. Санкт – Петербурга 2012 х

Корни многочлена делят числовую ось на промежутки, на каждом из которых функция сохраняет свой знак без изменения либо везде положителен, либо отрицателен.

Исследуем линейную функцию: у = kx + b k>0 k

Исследуем квадратичную функцию: у = аx2 + bх+с a>0 0, D > 0 a < 0, 0 D>0 у у х1 0 х2 х х1 х2 При переходе через корень функция сменила свой знак на противоположный, и знак крайнего правого промежутка совпадает со знаком старшего коэффициента. х

Исследуем квадратичную функцию: у = аx2 + bх+с a>0 0, D = 0 a < 0, 0 D=0 у у х0 0 х0 0 х При переходе через корень функции свой знак не поменяла, знак старшего коэффициента совпадает со знаком крайнего правого промежутка. х

Исследуем квадратичную функцию: у = аx2 + bх+с a>0 0, D < 0 a < 0, 0 D

Выводы: 1) если корень функции встречается нечетное число раз, то при переходе через него функция меняет свой знак на противоположный; - если корень встречается четное число раз, то при переходе через него функция свой знак сохраняет; 2) если корней нет, то функция сохраняет свой знак на всей числовой оси; 3)знак на любом из промежутков можно определить методом подстановки; 4) знак справа от большего корня совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов: • привести неравенство к сравнению многочлена с нулем; • найти корни многочлена, для дробно – рациональных неравенств корни числителя и знаменателя находят отдельно; • нанести корни на числовую ось (если неравенство строгое, то корни на числовой оси «выкалываем;» корни знаменателя «выкалываем» всегда, т. к. на нуль делить нельзя); • определить знак на одном из промежутков; • расставить знаки на всех остальных промежутках; • записать ответ в соответствии со знаком неравенства. Методом интервалов решают неравенства с нулем в правой части: f(x) > 0; f(x) > 0. g(x)

Решение неравенств

а =1> 0 2 №1. x – 3х – 4 ≥ 0 Неравенство готово для решение методом интервалов, т. к. в правой части находится нуль. Находим корни. Корни : x2 – 3х – 4 = 0 х1 + х2 = 3 х1 х2 = - 4 х1 = 4 х2 = - 1 -1 Ответ: (- ∞ ; -1] U [4; +∞) 4 х

а = -1 < 0 2 №2. – x + 6х – 8 > 0 Корни : - x2 + 6х - 8 = 0 | x (-1) x2 - 6х + 8 = 0 х1 + х2 = 6 х1 х2 = 8 х1 = 2 х2 = 4 2 Ответ: (2;4) 4 х

№3. 3x ≤ 1 а = 3 > 0 3x2 - 1≤ ≤0 2 Корни : 3x2 - 1 = 0 3х2 = 1 х2 = 1 3 х=±1 √3 3  3  3 3  ; Ответ:  3 3    3 3 х

а =1> 0 22 № №7 5. 4. 6.. х xх –-- 2х 2х ++ 11 ≤ ≥> < 000 Корни : x2 – 2х +1 = 0 (х – 1)2 = 0 х = 1 (2 раза) чёт 1 Ответ: 1 Ø Ответ: (- ∞;;+1) ∞)U (1; +∞) х

а =1> 0 №8. (x – 3) > 0 18 18 Корни : x - 3 = 0 х = 3 (18 раз) Обращаем внимание на знак перед старшим коэффициентом и на четность – нечетность степени. четная степень чёт 3 Ответ: (- ∞ ; 3) U (3; +∞) х

а = -1< 0 №9. (5 – х) ≥ 0 5 5 Корни : 5 - х = 0 х = 5 (5 раз) нечетная степень 5 Ответ: (- ∞ ; 5] х

а =- 3 < 0 №10. (1 - 3x) ≤ 0 50 50 Корни : 1 - 3x = 0 1 х = 3 (50 раз) четная степень чёт Ответ: 1 3 1 3 х

а1 =1> 0 а2 =1> 0 а3 = -1< 0 №11. (x – 1)(х – 2)(3 – х) ≥ 0 Корни : 1 ; 2 ; 3 Знак произведения отрицательный. 1 Ответ: (- ∞ ; 1] U [2;3] 2 3 х

а1 =1> 0 а2 =1> 0 №12. (x2 – 1)(х2 + 4x – 5) ≤ 0 Корни : ±1 1 ; -5 ; 11 Знак произведения положительный. чёт чёт -5 Ответ: [ - 5; 1] U{1} -1 1 х

а1< 0 4 – x2 ≥ 0 №13. x2 - 8х +12 а2 > 0 Корни числителя : ± 22 2 6 (корни знаменателя «выкалываем» всегда) Корни знаменателя : 2; Знак дроби отрицательный. чёт -2 Ответ: [ - 2; 2) U (2; 6) 2 6 х

(1 – x)2 (2 – х)3(3 – х)4 №14. x2 – 4 ≥0 Корни числителя : ± 1 (2 раза); 2 (3 раза); 3 (4 раза) Корни знаменателя : ±2 Знак дроби отрицательный. -2 чёт чёт чёт 1 2 3 Ответ: (- ∞ ; 2) U {1;3} х

№15. 1

Используемая литература. • Сайт учителя математики Савченко Елены Михайловны http://le-savchen.ucoz.ru/load/14-1-0-188; •Дидактические материалы по алгебре для 8 класса /В.И.Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Д. Миндюк. – М.:Просвещение •Дробно-рациональные неравества /А.Х.Шахмейстер. – СПб.: «ЧеРо- на –Неве». •Задачи и материалы с курсов повышения квалификации в Санкт – Петербургском государственном университете повышения педагогического мастерства по программе: «Стандарты математического образования». Курс: «Уравнения и неравенства» Зорина Н. А.