Урок на тему "Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами"; 11 класс

Наименование УО: МБОУ гимназия №1 г. Липецка

Учитель: Левшина Мария Александровна

Предмет: Алгебра

Класс: 11

Профиль: физико-математический

Тема: «Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: изучение алгоритма решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задачи урока:

• Ввести понятие характеристического уравнения;

• Научить решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения;

• Ознакомить учащихся с графическим изображением данных функций;

• Развитие логического мышления, математической речи, устойчивости внимания;

• Привитие интереса к предмету.

Оборудование: доска, мел, компьютер, тетради.

План урока:

1. Организационный этап (1 – 2 минуты)

2. Актуализация знаний (7 – 8 минут)

3. Введение новой темы (16 – 17 минут)

4. Закрепление изученного материала (15 минут)

5. Подведение итогов (2 – 3 минуты)

6. Домашнее задание (2 – 3 минуты)

Ход урока.

1. Организационный этап.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы приступаем к изучению новой темы: «Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами». И на данном уроке вы должны научиться решать эти уравнения с помощью характеристического уравнения, определение которого мы также рассмотрим.

2. Актуализация знаний.

Но для начала давайте повторим некоторые основные понятия (фронтальный опрос класса).

Какие дифференциальные уравнения называют уравнениями второго порядка?

Что такое интегральная кривая?

Какое уравнение является однородным?

Что является общим решением дифференциального уравнения?

Что является частным решением?

Что представляет собой определитель Вронского и чему он равен?

3. Введение нового материла.

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение

_{ }+ р_{ } + qу = 0, (1)

где р и q постоянны.

Для нахождения общего решения (1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (1) в виде (метод Эйлера)

у = _{ },

где k – некоторое число.

Дифференцируем эту функцию два раза и подставляем выражения у, _{ } и _{ } в уравнение (1).

_{ },

_{ },

_{ },

_{ },

_{ }. (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1) (для его составления достаточно в уравнении (1) заменить у, _{ } и _{ } соответственно на 1, k и k²).

При решении характеристического уравнения (2) возможны следующие три случая.

1. Корни _{ } и _{ } действительные и различные: _{ } (D = _{ }0).

В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции _{ } и _{ }. Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), так как их вронскиан

W(x) = _{ } = _{ }.

Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид:

_{ }. (3)

2. Корни _{ } и _{ } характеристического уравнения действительные и равные: _{ } (D = _{ }

В данном случае имеем лишь одно частное решение _{ }.

Покажем, что наряду с у₁ решением уравнения (1) будет и _{ }.

Действительно, подставим функцию у₂ в уравнение (1). Имеем:

Но _{ }, так как _{ } есть корень уравнения (2); _{ }, так как по условию _{ }.

Поэтому _{ }, то есть функция _{ } является решением уравнения (1).

Частные решения _{ } и _{ } образуют фундаментальную систему решений: W(x) = _{ } ≠ 0. Следовательно, в этом случае общее решение линейного однородного уравнения (1) имеет вид

_{ }. (4)

3. Корни _{ } и _{ } уравнения (2) комплексные: _{ }, _{ } (D = _{ }, _{ }, _{ }).

В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции _{ } и _{ }. По формулам Эйлера

_{ }, _{ }

имеем

_{ },

_{ }.

Найдем два действительных частных решения уравнения (1). Для этого составим две линейные комбинации решений у₁ и у₂:

_{ } и _{ }.

Функции _{ } и _{ } являются решениями уравнения (1), что следует из свойств решений линейных однородных дифференциальных уравнений. Эти решения образуют фундаментальную систему решений, так как W(х) ≠ 0. Поэтому общее решение уравнения (1) запишется в виде у = _{ }, или

у = _{ }). (5)

Таким образом, нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (2) и использованию формул (3)-(5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).

4. Закрепление изученного материала.

Рассмотрим примеры на все эти случаи. (Уравнения решаются у доски учащимися с помощью учителя)

а) Найти общее решение дифференциального уравнения

и его частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

у = 2, _{ } = 4 при х = 0.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

_{ }.

Решаем его: k₁ = 2, k₂ = 3. Записываем общее решение данного уравнения:

_{ },

где _{ } и _{ } – произвольные постоянные.

Продифференцируем полученное общее решение:

_{ }.

Подставим начальные условия и решим систему:

_{ },

Отсюда получаем С₁ = 1, С₂ = 1. Тогда частное решение будет иметь следующий вид:

б) Найти общее решение дифференциального уравнения

и его частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

у = 1, _{ } = 4 при х = 0.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

_{ }.

Решаем его: k₁ = k₂ = 2.

Записываем общее решение данного уравнения:

_{ },

где _{ } и _{ } – произвольные постоянные.

Продифференцируем полученное общее решение:

_{ }.

Подставим начальные условия и решим систему:

_{ },

Отсюда получаем С₁ = 3, С₂ = – 2. Тогда частное решение будет иметь следующий вид:

в) Найти общее решение дифференциального уравнения

и его частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

у = 3, _{ } = 1 при х = 0.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

_{ }.

Решаем его: k₁ = – 3 + 2i, k₂ = – 3 – 2i. Получаем α = – 3, β = 2. Записываем общее решение данного уравнения:

у = _{ }),

где _{ } и _{ } – произвольные постоянные.

Продифференцируем полученное общее решение:

_{ }.

Подставим начальные условия и решим систему:

_{ },

Отсюда получаем С₁ = 3, С₂ = 5. Тогда частное решение будет иметь следующий вид:

_{ }.

А теперь давайте посмотрим на графики данных функций. Так как мы искали общее решение и _{ } и _{ } – произвольные постоянные, то можно сразу сказать, что мы будем иметь множество интегральных кривых. Поэтому построим графики для частных решений, которые удовлетворяют заданным начальным условиям.

5. Подведение итогов.

Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги. Что нового вы сегодня узнали?

Что необходимо для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?

Как составляется характеристическое уравнение?

Какие три случая возможны при решении характеристического уравнения?

(Выставление оценок)

6. Домашняя работа.

Открываем дневники и записываем домашнее задание: уметь отличать эти три случая решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами друг от друга и знать, как их решать, карточки.