Конспект урока по геометрии "Прямоугольный треугольник"; 7 класс

Урок по теме:

«Прямоугольные треугольники.

Свойства.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.»

Цель урока:

1. Рассмотреть свойства прямоугольных треугольников, исследовать признаки равенства прямоугольных треугольников с использованием аналогии.

2. Продолжить обучению этапам исследовательской работы на уроках математики.

3. Формирование коммуникативных умений слушать и слышать другого, аргументировано выражать свою точку зрения.

В самом начале первого урока детям предлагается выполнить исследовательскую работу по изучению свойств прямоугольных треугольников, о которых ученикам пока известно немного:

В

гипотенуза ∠ С = 90º

С катет А

Под руководством учителя начинается процедура исследования:

1. Вводится объект исследования – прямоугольный треугольник или два прямоугольных треугольника.

2. Определяется цель исследования – сформулировать гипотезы:

А) о свойствах прямоугольного треугольника;

Б) о признаках равенства прямоугольных треугольников.

3. Вместе с ребятами обсуждается тот факт, что всякая гипотеза требует проверки её истинности, т.е. предполагаемый факт должен быть либо строго доказан, либо опровергнут.

Для организации процедуры исследования ребятам предлагается объединиться в группы по 2 – 5 человек по их желанию. Время на выполнение работы заранее оговаривается (15 мин.). По завершении работы каждая группа должна доложить классу о результатах своей исследовательской работы.

По первой части работы выступили 3 группы.

Ребята сформулировали следующие свойства:

А m

1. ∠C=90º

2. ∠A+∠B=90 º

3. AC < AB

BC < AB

AC + CB > AC

C B

4. Если △ABC - равнобедренный, то ∠A =∠B = 45º

5. △ABC не может быть равносторонним

6. Если m  AC , то m CB

Все приведенные выше свойства были приведены с обоснованиями, и никаких разногласий по этому поводу не было.

Анализируя список приведенных свойств, можно заметить, что главный результат этой части работы - рефлексивно-осмысленный опыт совместной деятельности. Были применены в новой ситуации, ранее изученные свойства: сумма углов треугольника, признак параллельности прямых, соотношение между сторонами и углами треугольника, понятие о равностороннем треугольнике, свойство углов при основании равностороннем треугольнике, свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Вторая часть работы (исследование признаков равенства прямоугольных треугольников), как и ожидалось, вызвала различные затруднения:

А) трудности в выдвижении гипотезы;

Б) трудности в проверке истинности гипотезы.

Группами были предложены варианты гипотез.

Ι группа:

Два прямоугольных треугольника равны, если:

А) равны их гипотенузы;

Б) соответственно равны пары их острых углов.

Ребята получили возможность оценить истинность этих гипотез. Сразу же было высказано сомнение в верности этих предложении, что позволило обсудить один из способов опровержения гипотезы - контрпример.

А А₁ ∠A = ∠A₁

∠B = ∠B₁

∠C = ∠C₁ = 90º

△ABC ≠ △A₁B₁C₁

С В

С₁ В₁

Было предложено название этим треугольникам – подобные треугольники. Дали его сами ребята, опираясь на жизненный опыт.

ΙΙ и ΙΙΙ группы вышли на гипотезы о равенстве прямоугольных треугольников по двум катетам и по гипотенузе и острому углу. Только одна группа сумела самостоятельно доказать признак по двум катетам, а признак по гипотенузе и острому углу смогли доказать после небольшой дискуссии.

Возник вопрос о том, что мы применили для доказательства признака равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. После обращения к признакам равенства треугольников появилась идея доказательства признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу при помощи второго признака равенства треугольников и использования свойства острых углов прямоугольного треугольника.

На этом первый урок был завершен.

Итог урока: процедура исследовательской деятельности учащихся выдержала до конца. Все выдвинутые гипотезы прошли проверку истинности, выполненную самими ребятами.

Второй урок по этой теме был начат с рефлексии итогов первого урока в части, касаемой признаков равенства прямоугольных треугольников, при доказательстве которых использовались признаки равенства треугольников.

Построение аналогии (различии), сопоставлении:

В результате выполненного анализа ребята вышли на необходимость отыскания только двух соответственно равных элементов для доказательства равенства прямоугольных треугольников.

Формируется цель следующего этапа исследовательской деятельности: отыскать другие признаки равенства прямоугольных треугольников. Форма работы опять групповая.

В результате исследования ребята приходят к гипотезам: возможно, существуют признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу, по гипотенузе и катету. Гипотеза о равенстве прямоугольных треугольников по двум соответственно равным острым углам отвергается сразу же, т.к. она возникла на предыдущем уроке.

А А₁ АС = А₁С₁

∠A = ∠A₁

∠C = ∠C₁ = 90º

△ABC = △A₁B₁C₁

С В

С₁ В₁

Этот признак легко доказывается учащимися. На этом признаке хорошо отрабатываются границы его применимости.

Что будет, если ситуация изменится?

AC = A₁C₁

∠B = ∠B₁

∠C = ∠C₁ = 90º

Будут ли по-прежнему равны треугольники △ABC и △A₁B₁C₁? Ребята быстро находят ответ на вопрос. Можно изменить название этого признака так: по катету и острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету группы не смогли доказать самостоятельно. Была выяснена проблема: не хватает знания о равенстве соответствующих острых углов треугольников. В результате проведения аналогий с признаком равенства треугольников по трем сторонам и с его доказательством, возникает идея – использовать метод приложения треугольников. Один из учеников успешно ее реализует.

Итог двух уроков: самостоятельно сформулированы и самостоятельно доказаны учащимися свойства прямоугольного треугольника и четыре признака равенства прямоугольных треугольников.

Выход на практическое применение признаков:

Среди изображенных семи треугольников отыскать пары равных треугольников и ответить на вопрос: по какому признаку они равны.

15см

4 см 3см

7,5см 4см

3см

60º

3см

35º

15см

55º

3см 7,5см

Итак, признак равенства прямоугольных треугольников сформулированы, доказаны, применены в простейших случаях. Процедура исследовательской деятельности учащихся завершена.

На первом уроке объекты исследования и цель исследования были заданы учителем, на втором уроке уже определялись совместно учителем и учениками. Гипотезы были выдвинуты учениками самостоятельно, проверка их истинности производилась учениками самостоятельно. В случае необходимости учителю приходилось создавать ситуации, которые помогли ребятам найти логичное завершение совместного исследовательского поиска.

Конечно, не все дети класса вышли на уровень самостоятельного исследования.

Некоторые ученики лишь выдвигали гипотезы, доказать же их верность не могли. Некоторые смогли лишь сформулировать свойства прямоугольного треугольника, а признаки равенства не сумели. Ребята по формированию навыков исследовательской деятельности требует большого внимания, усилий и настойчивости в достижении этой цели со стороны учителя.