Методы преподавания математики и их эффективность (НОД, НОК)

МОУ лицей № 23 г. Сочи

Методы преподавания математики и их эффективность

Подготовила: учитель математики

Мачкалян Сирануш Карекиновна

2010 г.

Древнекитайская мудрость гласит: «Скажи мне, и я забуду, покажи мне, и я запомню, дай мне действовать самому- и я научусь.» Последняя фраза этой мудрости «дай мне сделать самому, и я научусь» является смыслом педагогической деятельности учителя математики. Только в том случае учитель достигнет успехов в ученье математике, если он раскрепостит ученика, даст свободу его мышлению, воображению, направит его деятельность с помощью разнообразных методов обучения.

Основой многих методов обучения являются научные методы: индукция, дедукция, аналогия, анализ, синтез и др.

Индукцией называется метод рассуждений, при котором общий вывод основывается на изучении отдельных, частных фактов. Если при общем выводе рассматриваются все частные факты, то индукция называется полной, а в противном случае- неполной.

В обучении математике в школе важное место занимает неполная индукция. Ее используют в следующих случаях:

а) для переоткрытия математических предложений;

б) чтобы удостоверить учащихся в справедливости той или иной теоремы, если доказательство сложно;

в) для иллюстрации с помощью наглядных пособий теоремы, ее доказательства;

г) как один из эффективных методов решения задач.

Дедукция- форма мышления, при которой утверждение логически выводится из уже известных ученику утверждений. Чтобы доказать неизвестную теорему, ее сводим к известной аксиоме, теореме или определению.

Аналогией называется рассуждение, которое имеет следующую схему:

А имеет свойства a, b, c,d

В имеет свойства a, b, c

Возможно, В обладает свойством d

В творческой работе учащихся аналогия имеет большое значение. Она может подсказывать существование неизвестной теоремы, способ ее доказательств, способ решения задач. В обучении математике она является основой одного из важнейших методов обучения- обучения по образцам. Учитель показывает образец изложения доказательства теоремы, образец решения задачи. А теперь рассмотрим, как, используя всевозможные методы обучения (индукция, дедукция, аналогия идр.) можно совершенствовать методику работы учителя математики.

Неполная индукция является основой метода целесообразных задач. Метод целесообразных задач я применяю при изложении новой темы. При этом подбираю минимальное количество задач.

В восьмом классе при введении понятия параллелограмма предлагаю упражнение: «Проведите две параллельные прямые, пересеките их двумя другими параллельными прямыми. У вас получился четырехугольник, который называют параллелограммом. Попробуйте дать определение параллелограмма.» В моем классе учащиеся дали такую формулировку: «Параллелограмм- это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны». Тогда даю контрпример. Черчу трапецию и подвожу под нее формулировку данного учащимися определения. Учащиеся догадываются включить в определение слово попарно. При изучении темы «Параллелограмм» целесообразно включить метод целесообразных задач.

При введении понятия «ромб» предлагаю учащимся упражнение. Постройте параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Такой параллелограмм называют ромбом. Сформулируйте определение ромба. Время, потраченное на выполнение чертежа окупается с лихвой, так как он тут же используется при доказательстве теоремы о свойствах ромба.

Можно привести еще массу примеров, где используется метод целесообразных задач. Важно подчеркнуть, что этот метод фокусирует внимание учащихся на отдельных деталях новой темы, а значит, до осознания идеи нового материала затрудняет в общем его понимание. Поэтому, прежде чем применить этот метод, учителю надо подумать о его эффективности.

В выше приведенных примерах нетрудно заметить, что в основе целесообразных задач лежит метод неполной индукции. В свою очередь метод целесообразных задач является разновидностью более общего метода обучения- эвристического.

Эвристическим называется метод, при котором учитель вместо изложения материала в готовом виде, подводит учащихся к «переоткрытию» теорем, их доказательств, нахождению алгоритма решения задач, к самостоятельному формированию определений, к составлению задач.

При изучении темы «Ромб» учителю лучше не в готовом виде формулировать свойство диагоналей ромба, а изучение материала строить в виде проблемного обучения. Можно дать следующие задания учащимся: «Наблюдением установите свойства диагоналей ромба». Некоторые учащиеся замечают эти свойства и формулируют приблизительно так: «Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам.» Далее учителем задается вопрос: «А как доказать сформулированное утверждение?» если учащиеся затрудняются, а такое возможно, в зависимости от интеллектуального уровня учеников. Тогда учитель задает наводящие вопросы, такие как: «А каким уже известным свойством обладают диагонали ромба?» «Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. То есть отрезки ВО и ОД равны. Чем является отрезок АО в △ ВАД и что за треугольник △ ВАД?»

Учащиеся на эти вопросы обычно отвечают легко. Они говорят: «АО- медиана треугольника ВАД, треугольник ВАД- равнобедренный, так как АВ=АД по определению ромба».

Далее учащиеся уже сами догадываются сформулировать свойство медианы равнобедренного треугольника.

При таком изучении материала срабатывает основная закономерность памяти, которая гласит: «если соблюдать два условия: учащийся выполняет над материалом активную мыслительную деятельность и эта деятельность способствует углубленному пониманию материала, то происходит успешное запоминание материала (произвольное или непроизвольное)».

Конечно, учитель должен дать установку учащимся: «Дети, дома надо обязательно повторить изученный материал».

Как и каждый метод, эвристический имеет свои достоинства и недостатки. Сначала расскажу о достоинствах этого метода.

Этот метод позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся. Помогает хорошему усвоению материала, развитию мышления, способностей учащихся, но имеет и недостатки. Этот метод требует большего времени, чем изложение готовых знаний. При этом методе сказываются интеллектуальные способности учащихся, которые быстро приходят к нужному выводу, а некоторые пассивно наблюдают за процессом обучения.

По мере возможности, можно исключить некоторые недостатки проблемного обучения. Например, на уроке можно решить нетрудоемкие проблемы, которые посильны основной массе с небольшой разницей по времени.

Приведу один пример применения эвристического метода обучения в пятом классе при изучении темы: «Делители».

Учитель: В повседневной жизни очень часто возникают задачи, с которыми вы сталкиваетесь. Одной из таких задач является следующая задача.

В 5 «а» классе несколькими учениками получено 12 пятерок, а в 5 «б» классе- 8 пятерок. Известно, что каждый учащийся обоих классов получил одинаковое количество пятерок, большего одного и меньшего восьми. Сколько пятерок мог получить каждый ученик? Какое наибольшее количество пятерок мог получить каждый ученик?

(на доске схема задачи с пустыми клетками, которые заполняют ученики).

D(12)=  2, 3, 4, 6

D(8)= 2, 4

Исходя из уровня подготовленности класса к мыслительным процессам. Задаю наводящие вопросы.

Учитель: как вы думаете, как можно ответить на первый вопрос задачи? Постарайтесь ответить на 1-ый вопрос задачи? Постарайтесь ответить на вопрос, разбив его на два подвопроса, то есть сколько «5» мог получить каждый ученик 5 «а» и 5 «б» классов в отдельности?

После различных версий ответов, учащиеся приходят к правильному варианту ответа.

Ученик: Так как каждый учащийся получил равное количество пятерок, то надо найти делители числа 12. Это будут 2, 3, 4, 6, а для 8- это 2 и 4. Заполняем клетки.

Учитель: итак, сколько «5» мог получить каждый ученик, если количество их в обоих классах одинаково? (Нетрудно теперь догадаться правильно ответить на поставленный вопрос)

Ученик: две или четыре пятерки. (Эти числа учитель подчеркивает в таблице).

Учитель: 2 и 4- делители 8 и 12. Как бы вы их назвали?

Ученики дают различные версии ответов: «Одинаковые, равные, общие».

Учитель: Их называют общими делителями. 2 и 4- общие делители 8 и 12. И пишут:

Д(8; 12)=2; 4

Учитель: какое наибольшее количество «5» мог получить каждый ученик? (вопрос не вызывает затруднений у учащихся)

Ученик: так как каждый ученик мог получить две или четыре «5», то выбирая наибольшее из этих чисел, получаем 4.

Учитель: Значит, наибольший общий делитель чисел 8 и 12 равен 4. А это записывается так:

НОД (8; 12)= 4

Н-наибольший, О- общий, Д- делитель.

Далее систематизируем и обобщаем полученные знания.

Учитель: на практике очень часто приходится находить общие делители и НОД натуральных чисел. Попробуем обобщить полученные результаты, то есть составим правило (алгоритм) нахождения НОД для двух натуральных чисел. (С помощью коррекции учителя составляем правило нахождения НОД для двух натуральных чисел).

Правило нахождения НОД для натуральных чисел а и в.

Ученики: 1. Находим все делители чисел а и в.

2. Находим общие делители чисел а и в.

3. Среди общих делителей чисел а и в находим НОД.

Нетрудно заметить, что в основе эвристического метода обучения лежит индуктивные метод.

В совей практике я пользуюсь еще одним методом обучения- это вопросно-ответный метод.

Вопросно-отчетный метод, которым я также пользуюсь, больше распространен в школьной практике. Сущность этого метода заключается в том, что новая тема излагается в виде беседы.

Этот метод имеет две разновидности: аналитико- синтетическую и синтетическую.

В первом случае вопросы учителя помогают ученику самому находить путь доказательства, решения. Во втором случае вопросы учителя соответствуют синтетическому ходу рассуждений, то есть дается доказательство в чистом виде и ученику не ясно, как самому найти путь доказательства. Приведу пример.

Изучая в восьмом классе свойство числовых неравенств по учебнику Мордковича, мы имеем следующее свойство 1.

Дано: ав, вс (1)

Доказать: ас (2)

Доказательство этого свойства дается в учебнике синтетическим способом. Излагая доказательство этим способом, учитель фактически не помогает ученику разобраться в доказательстве. Излагаю доказательство теоремы синтетическим способом: «По условию, ав, то есть а-в  положительное число. Аналогично, так как вс, то в-с  положительное число».

Сложив положительные числа а-в и в-с, получим положительное число. Имеем: (а-в) + (в-с)= а-с. Значит, а-с  положительное число, то есть ас. ч.т.д. ученику при таком способе доказательства непонятно, почему надо рассматривать разность а-в и в-с и устанавливать знак разности.

А теперь приведу пример аналитико-синтетического изложения доказательства свойства 1, когда ученики сами находят путь доказательства.

Дано: ав, вс (1)

Доказать: ас (2)

Учитель: Что нужно доказать?

Ученик: ас

Учитель: Для отыскания способа доказательства рекомендуется заменять понятия их определениями, поэтому вспомните, при каком условии ас?

Ученик: По определению, ас, если а-с0 (2)

Учитель: При доказательстве теорем, утверждений пользуются или условием утверждений, или ранее изученными определениями, аксиомами. В данном случае, так как мы только приступили к изучению темы «Неравенства», то воспользуемся условием свойства: 1) ав и вс. как заменить эти понятия их определениями вы, наверное, догадались.

Ученик: по определению ав и вс, если а-в0 и в-с0 (1)

Учитель: То есть а-в и в-с  положительные числа.

а-в0

в-с0 (1)

Нам надо доказать, что а-с0 используя неравенства (1). Как это сделать? (если в ходе эвристической беседы ученики затрудняются, то после одного или двух ответов неверных лучше учителю самому ответить на поставленный вопрос).

Учитель: так как а-в и в-с положительные числа, то при их сложении мы получим положительное число, и, кроме того, переменная в входит в оба неравенства с противоположными знаками, поэтому при сложении уничтожается, то есть

а

+

в – с  0

(а-в) + (в-с) _{ } 0

а - в + в – с _{ } 0

а – с _{ } 0, то есть а_{ }с, ч.т.д.

Каковы достоинства и недостатки вопросно-ответного метода. Во-первых, вопросно-ответный метод при аналитико-синтетическом ходе рассуждений носит характер эвристической беседы, которая призвана активизировать мыслительную деятельность учащихся. С другой стороны, этот метод требует большей затраты времени, во время беседы нарушается целостность изложения материала, внимание рассеивается на второстепенные детали. Не вся масса учащихся осмысливает заданные вопросы, в результате чего сковывается инициатива учащихся.

Изучение нового материала можно провести вопросно-ответным методом, но можно провести и лекционным методом, то есть в виде рассказа учителя. Мы требуем от учащегося всегда логичного, красивого ответа, но и сами должны давать образцы таких ответов в виде связного рассказа. Так как любой лекционный метод обучения представляет собой образец ответа. То и методику лекционного обучения называем ОБРАЗЦОМ ОТВЕТА.

Лекционный метод будет протекать успешно, если учитель будет придерживаться некоторых требований:

1. учителю надо подготовить учащихся к пониманию материала;

2. изложить материал четко, ясно;

3. приступая к объяснению, учитель ставит классу конкретное задание, метод целесообразных задач, направленный на понимание нового материала.

В восьмом классе при изучении темы: «понятие квадратного корня» из неотрицательного числа предлагаем учащимся внимательно прочитать определение квадратного корня из неотрицательного числа и ответить на вопрос: « Нужно ли в определении указать, что число, стоящее под знаком корня неотрицательно?» При таком подходе учителя к изучаемому материалу класс значительно оживляется, повышается интерес учащихся к новому материалу, и это закономерно, согласно следующему условию активизации мыслительной деятельности учащихся.

Активность мыслительной деятельности по ходу ознакомления с материалом возрастает, если соблюдаются следующие условия: 1) учащийся, знакомясь с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал; 2) это задание направляет усилия учащегося на использование определенного приема мыслительной деятельности; 3) учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения этого задания, и навыками применения данного приема.

Приступая к объяснению теоремы, даю план доказательства в целом. План разбивает доказательство теоремы на элементарные задачи, которые учащиеся могут решить. План охватывает все доказательство в целом. Учащиеся чувствуют. Что с помощью плана им легче доказать и далее они могут самостоятельно составлять планы к доказательствам теорем. Приведу примеры.

К теореме: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом»- предлагаю план: 1) провести диагонали; 2) доказать равенство полученных треугольников; 3) доказать параллельность противоположных сторон четырехугольника; 4) вывод.

К теореме: «Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его стороны»- предлагаю следующий план:

1. из произвольной точки, лежащей на биссектрисе угла, провести перпендикуляры к сторонам угла;

2. доказать равенство полученных треугольников;

3. сделать вывод.

Конечно, по ходу объяснения мною доказательства теоремы, надо пользоваться и другими приемами. Например, где в доказательстве на какую аксиому, теорему, определение мы ссылаемся.

Выполняя подобные задания, учащиеся активно мыслят, повышают интерес к обучению математике.

Образец ответа, показанный учителем ученику трудно запомнить. И чтобы ученик мог выполнить задачу с нужными требованиями, совмещаю свой рассказ с другими методами обучения, такими, как алгоритмический.

В учебнике Мордковича эти алгоритмы уже даны, и поэтому их учителю составлять не надо, а надо внимательно контролировать и корректировать ответ учащихся по образцу.

Важное значение имеет следующая рекомендация учителя: «Читая и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его». Подобная рекомендация вызывает у учащихся установку на прочное запоминание.

Выполняя задание по алгоритму, учитель должен требовать выделять каждый шаг алгоритма, в результате чего у учащихся создается обобщенная ассоциация, которая способствует быстрому, верному изложению решения.

Для успешного обучения математике очень важную роль играет метод элементарных и неэлементарных задач.

Задача называется элементарной, если она состоит из одного- двух умозаключений. Задача называется неэлементарной, если она состоит из более чем двух умозаключений. При решении неэлементарных задач у учеников формируются умения и навыки примене6ния отдельных теорем, определений и аксиом. При методе неэлементарных задач у учащихся формируются умения, навыки решения элементарных задач. А также навыки выполнения простых промежуточных действий.

Ученик, не научившийся решать элементарные задачи, никогда не научится решать неэлементарные задачи. Учитель должен постепенно переходить к неэлементарным. Реализовать такой переход помогут задачи по готовым чертежам. Наряду с их успешным решением, надо и учить оформлять письменно, чтобы у учащегося выработались навыки грамотного оформления. При этом желательно, чтобы учитель чаще проверял тетради для обучения грамотного оформления.

Приведу пример неэлементарной задачи, состоящей из нескольких умозаключений.

Задача № 377 (Атанасян)

В параллелограмме MNPA проведен перпендикуляр NH к прямой MA, причем точка Н лежит на стороне МА. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН= 3см. НА=5 см, MNH=30.Чтобы решить эту задачу, ученик должен решить ряд элементарных задач.

1.Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, если катет лежит против угла в 30 градусов.

2.Найти длину всего отрезка, если точка делит отрезок на два отрезка.

3.Найти острый угол в прямоугольном треугольнике, если один из острых углов известен.

4.Две параллельные прямые пересечены секущей. Найти один из односторонних углов, если другой угол известен.

Поэтому, задавая неэлементарные задачи, учитель должен предусмотреть возможности ученика, и, если есть необходимость, начать неэлементарную задачу с элементарной.

Я изложила ряд методов, которые я использую при обучении математике. Конечно, он неполон и требует постоянного совершенствования, ведь учитель обязан ежедневно, ежечасно искать, исследовать всевозможные методы и приемы для успешного обучения математике, используя многообразие мыслительной деятельности.

Каждый новый учебный год- это новое испытание для учителя быть достойным благородному призванию «УЧИТЕЛЬ».