Статья "Методические рекомендации по изучению теоремы Виета"

Методические рекомендации по изучению теоремы Виета

Ефимова Галина Павловна

Заместитель директора по УВР, учитель математики

МБОУ "ЦО № 22 - Лицей искусств" город Тула, Тульская область

Афоризм Виета «Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид.»

Большое значение при решении квадратных уравнений имеет теорема Виета, позволяющая решать многие квадратные уравнению устно.

На изучение теоремы отводится 2 часа, хотя она заслуживает большего внимания.

На первом уроке знакомим учащихся с самой теоремой. Для этого на примере конкретного уравнения, например - 7x + 10 = 0 находим корни по известной формуле. Получаем = 2, = 5.

Беседа с учащимися:

1. Найдите сумму корней данного квадратного уравнения

+ = 2 + 5 = 7.

2. Сравните сумму со вторым коэффициентом. Сделайте вывод.

3. Вычислите произведение корней

· = 2 · 5 = 10.

4. Сравните произведение со свободным членом. Сделайте вывод.

Итак, получаем, что

+ = 7 = - p

· = 10 = q

Случаен ли полученный результат?

Докажем, что для любого приведённого квадратного уравнения будет справедливо данное утверждение.

Итак, имеем приведенное квадратно уравнение + px + q = 0, тогда его корни = , = .

+ = + = = = - p

· = · ( ) = = = = q

В ывод: + = 7 = - p,

· = 10 = q.

Далее формулируем обратную теорему.

Применить теорему обратную теореме Виета для нахождения корней следующих уравнений:

1. - 4x + 3 = 0;

2. - 10x + 9 = 0;

3. - 2x - 35 = 0;

4. - 4x - 60 = 0;

5. + 7x + 10 = 0;

6. - x - 56 = 0;

7. - x - 12 = 0.

А как быть, если квадратное равнение не приведенное, а полное?

Тогда a + bx + c = 0 приведём к виду + x + = 0. Для полного квадратного уравнения теорема Виета принимает вид

+ = - ,

· = .

На сколько важна данная теорема в математике говорит стихотворение:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого?

Умножишь ты корни, а дробь уж готова -

В числителе с, в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна:

Хоть с минусом дробь эта, что за беда,

В числителе b в знаменателе а.

Полезно предложить учащимся задания типа:

1. Составить квадратное уравнение по известным их корням

Получившиеся уравнения 5, 6, 7, 8 - следует упростить и привести к виду a + bx + c = 0.

2. Не решая следующих уравнений, определите знаки корней

На втором уроке обязательно нужно ознакомить ребят с двумя следствиями из теоремы Виета, хотя наши современные учебники и программы это не предусматривают.

Рассмотрим эти следствия.

Пусть дано уравнение a + bx + c = 0. Используя теорему Виета, определите при каких условиях один из корней уравнения равен 1? Чему равен второй корень?

Итак, если = 1, то легко найти , т. к. · = , то · 1 = , значит = .

Тогда + = - , подставим и , получим 1 + = - и преобразуем: 1+ + = 0, = 0. Отсюда получаем, что a + b + c = 0.

I следствие формулируется так:

Если в квадратном уравнении a + b + c =0, = 1, а =

Аналогичным образом получаем II следствие:

Если в квадратном уравнении a - b + c =0, = - 1, а = -

На применение теоремы Виета можно предложить учащимся устно найти корни уравнений:

А письменно решить уравнение:

+ 6(5x + 1) - 7 = 0.

Ребята легко видят, что 5x + 1можно заменить переменной y. Тогда уравнение примет вид:

+ 6y - 7 = 0;

поэтому = 1, = -7, так как a + b + c =0 (1 + 6 - 7 = 0). Поэтому

5x + 1 = 1 и = 0 или 5x + 1 = -7 и = - .

Ответ: = 0, = - .

Когда учащиеся уже будут достаточно свободно владеть теоремой Виета и обратной теоремой, следствиями из теоремы Виета, им можно предложить задания более интересного содержания.

1. Уравнение + 3x + m = 0 имеет корни и . При каком значении m

1. разность корней будет равна 6;

2. сумма квадратов корней будет равна 34;

3. разность квадратов корней будет равна 30?

2. Не решая уравнения - 2x - 15 = 0 вычислить:

1. сумму квадратов его корней;

2. разность квадратов его корней;

3. сумму кубов его корней;

4. разност кубов его корней;

5. + .

Образец рассуждения может быть следующим:

для уравнения - 2x - 15 = 0 + = 2, · = -15, тогда + = - 2 = - 2·(-15) = 4 + 30 = 34.

3. Решить уравнение

1. + px + 21 = 0, зная, что сумма квадратов его корней = 58;

2. - 8x + q = 0, зная, что сумма квадратов его корней равна 34;

4. Не вычисляя и для уравнения 3 + 8x - 1 = 0, найти

1. + ;

2. + ;

3. + ;

4. + .

5. В уравнении - 4x + m = 0 сумма квадратов корней равна 16, Найдите m.

6. Для уравнения - 3x + 2 = 0, не решая его, составить новое уравнение, корни которого были бы кубами корней данного уравнения.

Данные упражнения и аналогичные им, конечно, не следует все выдать за два урока. Их модно предлагать и в качестве дополнительных вопросов более подготовленным учащимся, и на последующих уроках при изучении дробных рациональных уравнений. Главное не просто изучить теорему Виета, а отработать навыки её применения. Тогда при дальнейшем изучении алгебры не будут вызывать задания:

1. ( + ) · (1 - );

2. ( - ) · ( - 3x + 2);

3. ( - ) · .

Их уже можно решать полуустно.