Презентация "Уравнение касательной и нормали к графику функции"

20.02.2008 Задача: Составить уравнение прямой, 1 f ( x)  х 3  4 х  1 3 имеющую с графиком функции f(x), у= х0 кх +в одну общую точку М(3; -2) у0 М(3;-2)

10 класс Физико-математический профиль Уравнение касательной  и нормали  к графику функции. Учитель Ласкевич С.В.

  Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли» Цель урока:  1)узнать как составлять уравнение касательной к графику 2)Подготовиться к самостоятельному распознаванию типа ключевых  задач для решения задач, требующих исследовательских умений. 3)научиться решать задачи по теме. Планируемый результат урока: Уметь составлять  уравнение  касательной и нормали к  графику функции. Научиться распознавать опорные  типы задач, для решения более сложных.

я на са тел ь ка y tg  x  k B у  A х0 f(x) С y  y0 k x  x0 х х0  х Касательной    к   графику    функции   f(x) в точке А(х;f(х))     называется   прямая,   представляющая      предельное положение секущей АВ,  (если оно  существует) когда В стремится к   А.

ка са тел ьн ая Угловой коэффициент касательной получается из углового коэффициента секущей в процессе предельного перехода от В k А A  B у  С kкас . lim kсек f(x) но условие В -> А можно заменить условием х  х х0 k кас . х0+ х  y lim k  сек. lim x x  0 x  0 / /  f ( x0 ) k  f ( x0 ) 0

­ Геометрический смысл производной Значение производной функции   y= f(x)   в точке касания  Х0  равно угловому  коэффициенту   касательной     к  графику ф­ии   y=f(x)    в т  Х0.  / k  f ( x0 ) k tg tg  f ( x0 )

( х0 ; у 0 ) Пусть в точке  А                         проведена касательная Уравнение любой  прямой проходящей через данную точку  имеет вид 0 0 у  у k ( x  x ) / k  f ( x0 ) y  y 0  f ( x0 )( x  x0 ) y0  f ( x0 ) Или      y к  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )

Решение исходной задачи.  Решение. у к  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )  Алгоритм составления уравнения касательной:   1. 2.  3.  4. М (3,-2) Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2). 1 3 f ( x)  х  4 х  1 3 f (3)  2 2  f ( x)  x  4 f (3) 5 у к  2  5( х  3); ответ : ук 5 х  17;

Типы задач. 1.Задачи на касательную, заданную точкой. А 2.Задачи на касательную, заданную её угловым коэффициентом.  tg f (x)

   Если функция дифференцируема в т х=а  то в этой точке к графику можно  провести касательную  и  обратно: если в х=а к графику y=f(x)  можно провести невертикальную  касательную, то. функция   дифференцируема в т х=а      ­  Это позволяет по графику  ф­ии   находить точки в ко­торых   ф­ия имеет  или не имеет производную.

9х + 1  у=    -1 3 Написать уравнения всех касательных к графику ф-ии у  х 3  3х 2  3 параллельных прямой у = 9х +1 Решение. 1. х0 = а k 9 2. у(а ) 3a 2  6a 9 4. а= -1 а=3 5.По алгоритму Ответ: у к 9 х  8 у к 9 х  24

Уравнение  нормали.  В А Нормалью к графику функции в  т.А называется прямая,  проходящая через данную точку  перпендикулярно касательной. условие перпендикулярности двух прямых k n  у  у 0 k ( x  x 0 ) 1 k k n  1 f ( x 0 ) 1 у n  у 0  ( x  x0 ) f ( x0 ) 1 у  f ( x0 )  ( x  x0 ) f ( x 0 )

Решить самостоятельно.  1). Составить уравнение нормали к кривой  3 в  точке (2; 8).  у х Ответ. х 2 у 8  12 2). При каком значении параметра «р» касательная к 2 у  рх графику в точке функции (1;1) образует с осью ох угол  3 равный Ответ: 3 р 2

Решение задач.(устно)  Найти значение производной в точке х,  если угловой коэффициент касательной к  графику этой функции в т.х равен 0,18.    Найти тангенс угла наклона к оси  абсцисс касательной в точке (2;2) к  графику функции   f ( х ) 4 х 2  7 х

Итог урока. Что называется касательной к  графику функции?  Что называется нормалью к графику  функции?  Назвать алгоритм составления  уравнения касательной и нормали.  В чём состоит геометрический смысл  производной? 

Задание на дом.  Ананченко К.О  п.70   № 465 Всем спасибо.