Статья "Алгоритмы в школьном курсе математики"


Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2


 


 

Курсовая работа по теме


 

 

Алгоритмы в школьном курсе математики


 

 

 


 


 


 


 


 


 

Автор:

учитель математики

высшей категории

Авдонина Н.В.


 


 


 


 


 

Спирово 2019


 

Введение

Бытует мнение, что некоторые дети не способны заниматься математикой, что успеха в этой науке могут добиться только те, кого считают умными, или что детям, у которых не было надлежащих условий, слишком поздно изучать ее. Тогда вполне понятно, почему многие школьники плохо усваивают математику и ненавидят ее. Взрослые (и родители, и учителя) разрешают детям поставить крест на математике, едва те начнут изучать ее. Неудивительно, что многие игнорируют плохие оценки по этому предмету, заявляя: «Математика — это не мое».

Почему же родители, учителя и ученики порой думают, что математика — удел избранных?

Существуют доказательства того, что большинство учеников способны преуспевать в математике и получать удовольствие от нее. Что же предпринять, чтобы ее изучение стало доступным для всех? Как помочь всем поверить в то, что математические способности можно развить? Именно такую цель ставлю я при работе.

Я искала метод изучения математики, который изменил бы отношение учеников с неприязни на удовольствие… это именно то, что было мне необходимо.

Представьте себе, как ваши ученики с удовольствием погружаются в решение поистине сложных математических задач. Представьте, как они просят обсудить их ошибки перед всем классом. Представьте, как они говорят: «У меня есть способности к математике!»

Возникновение алгоритмизации обучения связано с попыт­кой устранить эти и другие недостатки обычного обучения.

Источник изменений. Самой главной проблемой, требующей обновления технологии обучения, особенно математике, является несовпадение предметной и личностной дидактик (т.е. несовпадение стиля ученика и учителя, несовпадение того объема содержания, который учитель может предоставить ученику с тем объемом и содержанием знаний, который ученик способен и может принять).

Второй стороной вопроса является неучтенность большинством учителей степени развития формально – операциональных структур интеллекта учащихся (развитие логического мышления) и отсутствием ориентации на деятельностный алгоритм при изучении материала.

Третей стороной современного образования является формальная личностно – ориентированная парадигма образования при отсутствии компетентностных подходов, как ориентации образования на индивидуальные характеристики личности каждого обучащегося.

В целом все это можно охарактеризовать как недостаточность управленческого механизма в формах и технологиях образования при полной свободе выбора содержания и моделей восприятия.

Важнейшей стороной современной образовательной системы должна стать перенаправление вектора обучения от знаний, умений и навыков к представлениям, отношениям и стратегии деятельности.

Для такой сложной перестройки образования необходима алгоритмизация и моделирования основ, содержания и результатов обучения.

Теория Скиннера и модель оперантного научения. Значительную роль в формировании программированного обуче­ния сыграл известный психолог Б.Ф.Скиннер, который в 1954 г. призвал педагогическую общественность повысить эффективность преподавания за счет управления процессом обучения, построе­ния его в полном соответствии с психологическими знаниями о механизма развития и функционирования интеллекта личности.

В необихевиористской концепции Б.Ф.Скиннера разрабатыва­ется учение оперантного обуславливания, согласно которому ут­верждается значение эффекта подкрепления ожидаемой реакции как регулятора последующих поступков и действий, что приводит к новой системе понимания поведения в бихевиористской психо­логии по схеме отношений: «реакция—стимул» (RS). Основным постулатом теории Б.Ф.Скиннера служит тезис о том, что ре­зультат предшествующего действия (вернее — его психологичес­кий эффект) влияет на последующее поведение. Следовательно, самим поведением можно управлять путем подбора определенных вознаграждений (подкреплений) верных действий, стимулируя, таким образом, дальнейшее поведение в ожидаемом русле.

В качестве центрального понятия для построения программированного обучения выступает категория управления. Как отмечает Н.Ф.Талызина, «истинная проблема заключается в том, чтобы всех ступенях образования обучение было с хорошим управлением, включая и начальную школу и даже дошкольные учреждения».

Б.Ф.Скиннер и его последователи выявили законы, по которым формируется поведение, и на их основе сформулировали законы научения:

1. Закон эффекта (подкрепления): если связь между стимулом и реакцией сопровождается состоянием удовлетворения, то прочность связей нарастает, и наоборот. Отсюда вывод: в процессе обу­чения нужно больше положительных эмоций. Однако, в научных кругах существует и весьма обосновано мнение, что наиболее сильным стимулом к развитию действий являются негативные подтверждения, именно они стимулируют необходимость у ребенка в целях получения удовлетворения изменять алгоритм деятельности (в том числе и интеллектуальной и предметной).

2. Закон упражнений: чем чаше проявляется связь между стимулом и реакцией, тем она прочнее (все данные получены экспериментальным путем). Причем, необходимо отметить, что упражнения не есть зазубривание, является отработкой алгоритма деятельности. Соответственно они должны варироваться от самых простых, несущий репродуктивный результат к самым сложным, креативно сформированных.

3. Закон готовности: на каждой связи между стимулом и реакцией лежит отпечаток нервной системы в её индивидуальном, специфическом состоянии.

В данном случае речь идет о степени готовности структур интеллекта принимать предлагаемые формы и методы сложных прямых и обратных группировок, которые совершенно различно воспринимаются в разном возрасте в зависимости от «децентрации» и сформированности логических структур интеллекта.

В основу технологии программированного обучения Б.Ф.Скиннер положил два требования:

1) уйти от контроля и перейти к самоконтролю;

2) перевести педагогическую систему на самообучение учащихся.

Концепция. В основе концепции алгоритмизации в обучении лежат общие и частные дидактические принципы последовательности, доступности, систематичности, самостоятельности. Эти принципы реализуются в ходе выполнения главного элемента алгортмизации обучения — обучающей программы, представляющей собой упорядоченную последовательность задач. Для программированного обучения существенно наличие «дидактической машины (или программированного учебника). В этом обучении в определенной мере реализуется индивидуальный подход как учет характера освоения обучающимся программы. Однако главным остается то, что процесс усвоения, выработки умения управляется алгоритмом.

Различают две основные формы алгоритмов:

1) линейный;

2) разветвленный.

В основе первой формы лежит бихевиористское понимание научения как установления связи между стимулом и реакцией. Разработка линейных программ принадлежит самому Б.Ф.Скинеру: обучаемый знакомится с каждой порцией материала в заданной последовательности:

1 → 2 → 3 → 4 → ----- → n

Правильный шаг обучающегося и этой форме обучения под­крепляется, что служит сигналом к дальнейшему выполнению программы. Как свидетельствует В. Оконь, линейная программа в понимании Б.Ф. Скнннера характеризуется следующим:

  • дидактический материал делится на незначительные дозы, называемые шагами (steps), которые учащиеся преодолевают относительно легко, шаг за шагом (step by step);

  • вопросы или пробелы, содержащиеся в отдельных рамках (frame) программы, не должны быть очень трудными, чтобы учащиеся не потеряли интереса к работе;

  • учащиеся сами дают ответы на вопросы и заполняют пробелы, привлекая для этого необходимую информацию;

  • в ходе обучения учащихся сразу же информируют, правильны или ошибочны их ответы;

  • все обучающиеся проходят по очереди все рамки программы, но каждый делает это в удобном для него темпе;

  • значительное число указаний в начале программы, облегчаю­щих получение ответа, постепенно ограничивается;

  • во избежание механического запоминания информации одна и та же мысль повторяется в различных вариантах в нескольких рамках программы.

Целью алгортмизации обучения является:

Оптимизация выстраивания и управления образовательным процессом на базе метапредметного подхода и моделирования.

Задачи:

  • создать оптимальную среду для изучения математики в логике алгоритмическогоо процесса.

  • Помочь учащимся ориентироваться в информационном потоке.

  • Выстроить образовательный процесс через имеющиеся алгоритмы на модельном основании с формированием алгоритма (стратегии) грамотного предметного и логического поведения.

  • Повысить уровень общей культуры, сформировать ключевые компетентности учащихся на пути их самореализации.

Основные формы обучения. Линейный алгоритм как бы предполагает, что учащийся не сделает ошибки в ответе. В 1954 г. Б.Ф.Скиннер проверил свою программу на студентах университета и получил отрицательный результат. Линейная программа успеха не принесла. Это связано, прежде всего, с более высоким уровнем интеллекта студентов и потребностью у них в более разветвленных предметных действиях для дальнейшего развития. В школьной практике линейное программирование более эффективно в классах со среднем уровнем качества обученности, т.е. у детей, способных в большинстве случаев к репродуктивному мышлению. (Приложение 1 Урок по линейному программированию).

Разработку разветвленной формы осуществлял другой предста­витель американской технологии программированного обучения — Норман А. Кроудер. В его схеме SR — Р связи между стимулом, реакцией и продуктом осуществляются мыслительными операци­ями. Кроме того, он предполагал дифференцированный подход к

 

обучаемым. Разветвленный алгоритм может быть представлена следующим образом (см. схему).

В разветвленной программе ответ используется глав­ным образом для того, что­бы вести обучающегося дальше — по одному из раз­ветвлений. Н. Кроудер. в отличие от Б.Ф.Скиннера, предполагает, что обучающийся может допустить ошибку и тогда надо дать ему возможность уяснить эту ошибку, исправить се, потренироваться для закрепления материала, т.е. в программе Н. Кроудера каждый ответ используется для выявления возмож­ностей выбранного учащимся пути и определения, что делать дальше. Данный тип программирования ближе к проблемным технологиям преподавания и содержит в себе больше деятельностной составляющей, прежде всего интеллектуального характера. Развитие ребенка при таком виде программирования реализуется в зоне актуального, а не ближайшего развития (если пользоваться терминологией Л.С.Выготского) и быстрее развиваются окончательно сформированные логические или формально – операциональные структуры интеллекта (по Ж.Пиаже). Именно такой тип преподавания, основанный на моделировании и творчестве может позволить школьнику достичь высот олимпиадного уровня.

Таким образом, разветвленная программа отличается от линейной множественностью (и многократностью) выбора шага. Она ориентирована не столько на безошибочность действия, сколько на уяснение причины, которая может вызвать ошибку. Соответственно разветвленное программирование требует от обучающегося умственного усилия, по сути, оно является «управлением процессом мышления». Подтверждением правильности ответа в этой форме программирования является обратная связь, а не только положительное подкрепление (по закону эффекта). Разветвленная программа может представлять собой большой текст, содержащий много ответов на вопрос к нему. Предлагаемые в «рамках» развернутые ответы либо здесь же оцениваются как правильные, либо отклоняются, и в том и в другом случае сопровождаясь полной аргументацией. Если ответ неправилен, то обучающемуся предлагается вернуться к исходному тексту, подумать и найти другое ре­шение. Если ответ правильный, то далее предлагаются следующие опросы, уже по тексту ответа и т.д. Как отмечает В. Оконь, вопросы, в понимании Н. Кроудера, имеют целью:

а) проверить, знает ли учащийся материал, содержащийся в данной рамке;

б) в случае отрицательного ответа отослать учащегося к координирующим и соответственно обосновывающим ответ «рамкам»;

в) закрепить основную информацию с помощью рациональных упражнений;

г) увеличить усилия учащегося и одновременно ликвидировать механическое обучение через многократное повторение информации;

д) формировать требуемую мотивацию учащегося.

Разветвленная программа полнее, чем линейная, учитывает особенности научения человека (мотивацию, осмысленность, влияние темпа продвижения). (Приложение 2.)

Программированное обучение в конце 60-х — начале 70-х гг. получило новое развитие в работах Л. Н. Ланды, который предложил алгоритмизировать этот процесс.

Алгоритм есть правило (обратное утверждение неправомерно), предписывающее последовательность элементарных действий (Операций), которые в силу их простоты однозначно понимаются, исполняются всеми; это система указаний (предписаний) об этих действиях, о том, какие из них и как надо производить. Алгоритмический процесс — это система действий (операции) с объектом, он есть не что иное, как последовательное и упоря­доченное выделение в том или ином объекте определенных ею элементов. Одним из преимуществ алгоритмизации обучения является возможность формализации и модельного представления этого процесса.

Преимущества управления, программирования в образователь­ном процессе наиболее полно и теоретически обоснованно про­ставлены в обучении, основанном на психологической теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина.

В теории П.Я.Гальперина процесс формирования умственных действий проходит 5 этапов:

1. Предварительное ознакомление с действием, с условиями его выполнения.

  1. Формирование действия в материальном виде с развертыва­нием всех входящих в него операций.

  2. Формирование действия во внешней речи.

  3. Формирование действия во внутренней речи.

5. Переход действия в глубокие свернутые процессы мышления.

Совместно с Н.Ф.Талызиной П.Я.Гальперин реализовал эту теорию на практике в процессе обучения. Исходными теоретиче­скими постулатами послужили следующие положения, разрабо­танные в отечественной психологии Л.С.Выготским, С.Л, Рубин­штейном, А.Н.Леонтьевым:

  • всякое внутреннее психическое есть превращенное, интериоризированное внешнее; сначала психическая функция выступает как эгоцентристская характеристика личности, а затем, как результат «децентрации» (т.е. ориентации во вне);

  • психика (сознание) и деятельность суть единство, а не тож­дество: психическое формируется в деятельности, деятельность регулируется психическим (образом, мыслью, планом);

психическое развитие имеет социальную природу: развитие человеческих индивидов пошло не путем развертывания внутреннего, наследственно заложенного видовым опытом, а путем усвоения внешнего общественного опыта, закрепленного в средствах производства, в языке;

деятельностная природа психического образа позволяет рассматривать в качестве его единицы действие. Отсюда следует, что и управлять формированием образов можно только через посредство тех действий, с помощью которых они формируются.

П.Я.Гальперин поставил перед обучением принципиально но­вые задачи: описать любое формируемое действие совокупностью его свойств, подлежащих формированию – компетентностный подход к обучению; создать условия для формирования этих свойств; разработать систему ориентиров, необходимых и достаточных для управления правильностью формирования действия и избегания ошибок. П.Я.Гальперин разграничил две части осваиваемого предметного действия: его пони­мание и умение выполнить. Первая часть играет роль ориентировки и названа ориентировочной, вторая — исполнительной. П.Я.Гальперин придавал особое значение ориентировочной части, считая и «управляющей инстанцией»; позднее он назовет ее «штурманской картой».

Теория поэтапного формирования умственных действий явилась фундаментом разработанного Н.Ф.Талызиной нового направления — программирования учебного процесса. Его цель — определе­ние исходного уровня познавательной деятельности обучающих­ся, новых формируемых познавательных действий: содержания; обучения как системы умственных действий, средств, т.е. действий, направленных на усвоение широкого круга знаний по третьему типу ориентировки (в плане развернутой речи); пяти основ ных этапов формирования умственных действий, на каждом из которых к действиям предъявляются свои требования; разработка алгоритма (системы предписаний) действий; обратная связь и обеспечение на ее основе регуляции процесса научения.

Существенными для реализации направления программирования обучения являются общие характеристики действий: по форме (материальное, внешнеречевое, речь «про себя», умственное); по степени обобщенности; по мере развернутости; по мере освоения и тому, дается ли действие в готовом виде или осваивает самостоятельно.

В действии выделяются ориентировочные, исполнительные и контрольные функции. Согласно Н.Ф.Талызиной, «любое действие человека представляет собой своеобразную микросистему управления, включающую «управляющий орган» (ориентировочная час действия), исполнительный, "рабочий орган" (исполнительна часть действия), следящий и сравнивающий механизм (контрольная часть действия)».

Центральным звеном формирования умственных действий является его ориентировочная основа, характеризуемая полнотой обобщенностью и степенью самостоятельного освоения действий. Третий тип ориентировочной основы действий (в развернутой речи), отличаясь оптимумом полноты, обобщенности, самостоятельности, обеспечивает наивысшую эффективность формирования умственных действий. Тем не менее, необходимо дополнить, что недостаточность эффективной речевой деятельности не всегда свидетельствует о недостаточной развитости интеллекта, так как каналы восприятия и реализации действий не всегда одинаковы у разных личностей, и высокий уровень интеллектуальной деятельности и развитой логики может сочетаться с недостаточно развитой речевой деятельности.

Соотнося между собой существующие подходы к обучения Н. Ф. Талызина отмечает, что по сравнению с бихевиористской теорией программирования теория поэтапного формирования умственных действий «строит наиболее рациональную структуру (систему познавательных действий)»; это подлинное управление развитием человека. В то же время эта теория служит примером последовательного воплощения деятельностного подхода к обучению.

В целом программированное обучение характеризуется coвокупностью пяти признаков/принципов:

  1. наличия поддающейся измерению цели учебной работы и алгоритма достижения этой цели:

  2. расчлененности учебной части на шаги, связанные с соответствующими дозами информации, которые обеспечивают выполнение каждого шага:

3) завершения каждого шага самопроверкой, результаты кото­рой дают возможность судить о том, насколько он успешен, и предложения учащемуся достаточно эффективного средства для этой самопроверки, а если требуется, то и соответствующего кор­ректирующего воздействия;

  1. использования автоматического, полуавтоматического, основанного на моделировании оборудования для обучения;

  2. индивидуализации темпа и уровня обучения (вариативность материала).

Особая роль принадлежит созданию соответствующих програм­мированных пособий. Программированные пособия отличаются от традиционных тем, что в последних, программируется лишь учеб­ный материал, а в программированных — не только учебный ма­териал, но и его усвоение, и контроль за ним.

Минимизация и преодоление смысловых барьеров — одна из трудно разрешаемых проблем обучения. Она связана с недостаточным владением учащимися научной терминологией и различными стилями взаимодействий учителя и ученика. В этой связи дидактиче­ское обеспечение программированного обучения обязательно включает обратную связь: внутреннюю (к обучаемому) и внешнюю (к преподавателю).

Материальной основой программированного обучения являет­ся обучающая программа, которая представляет собой специально созданное на основе пяти отмеченных выше принципов пособие. В этом пособии, как уже говорилось, программируется не только учебный материал, но и его усвоение (понимание и запомина­ние), а также контроль. Обучающая программа выполняет ряд функций преподавателя:

  • служит источником информации;

  • организует учебный процесс;

  • контролирует степень усвоения материала;

  • регулирует темп изучения предмета;

  • дает необходимые разъяснения;

  • предупреждает ошибки и т.д.

Действие обучаемого, как правило, немедленно контролиру­ется ответами. (Приложение 3.) Если действие выполнено правильно, то обучаемо­му предлагается перейти к следующему шагу. При неверном действии в обучающей программе обычно разъясняются характерные ошибки, допущенные обучаемыми.

Обучающая программа. Таким образом, обучающая программа — это опосредованная материальная реализация алгоритма взаимодействия учащегося и преподавателя, которая имеет определенную структуру. Она начинается со вступительной части, в которой преподаватель непосредственно обращается к ученику, указывая цель данной программы. Кроме того, во вступительной части должна быть некая «завлекалочка», чтобы заинтересовать ученика, а также краткая инструкция по выполнению программы.

Основная часть обучающей программы состоит из нескольких шагов. Они бывают ознакомительными, ознакомительно-трени­ровочными или тренировочными. Каждый шаг может включать несколько кадров, если это компьютерная программа. На одном дается краткая, поддающаяся измерению информация и затем задание или вопрос, чтобы ученик мог дать свое решение, ответить на поставленный вопрос, т.е. совершить какую-то операцию. Такой кадр называется информационно-операционным. Если ученик ответил правильно, высвечивается информация, подтверждаю­щая правильность его ответа, и дается стимул для дальнейшей работы. Если ученик ответил неточно или неверно, появляется кадр с наводящими вопросами или разъясняющей его ошибку информацией.

Заключительная часть обучающей программы носит обобщаю­щий характер: приведение в систему сообщенного в основной части материала, инструкция по проверке обобщенных данных (само­проверка или проверка преподавателем).

Если обучающая программа безмашинная (сейчас это уже ред­ко практикуется, поскольку есть ПК), то рекомендуется со­ставлять методическую записку для преподавателя. Она включает спецификацию обучающей программы и рекомендации препо­давателю для правильного использования обучающей програм­мы и учета ее результатов. Спецификация — это следующие ука­зания:

  1. Назначение программы: вуз, колледж, школа, семестр, специальность, характеристика исходного уровня продвинутости учеников (что они должны знать и уметь, чтобы выполнить данную программу).

  2. Цель программы: чему и с использованием какого материала научится ученик в результате выполнения заданной программы.

  3. Время, необходимое на выполнение программы.

  4. Характеристика программы по степени массовости (фрон­тальная, индивидуально-групповая), по специфике протекания учебного процесса (ознакомительная, тренировочная, ознакомительно-тренировочная), цели (вид деятельности: устно, письменно), по месту выполнения (аудиторная, домашняя, лабораторная), отношению к обучающим устройствам (машинная, безмашинная).

  5. Отношение к другим обучающим программам и непрограммированным пособиям (т.е. что было до нее и что будет после нее).

Разработка обучающей программы — это всегда огромный труд для преподавателя. Но те преподаватели, которые разрабатывают обучающие программы, значительно повышают свое педагогическое мастерство. Они приобретают важный опыт исследователь­ской и методической работы.

Программированное обучение имеет свои плюсы и минусы. Положительным, безусловно, является индивидуализация обуче­ния, активизация самостоятельной работы учеников, развитие их внимания, наблюдательности; обратная связь обеспечивает проч­ность усвоения материала; работа по жесткому алгоритму способ­ствует логическому мышлению учащихся.

Вместе с тем, частая работа по заданному алгоритму приучает учеников к исполнительской деятельности, внешней ответственности, буквальности действий, отрицательно сказывается на развитии творческого мышления. Эти и другие недостатки преодоле­ваются в условиях одной из наиболее активных форм обучения — технологии проблемного обучения.

Проблемная технология. Проблемное обучение основано на получении учащимися новых знаний посредством решения теоретических и практических Проблем, задач в создающихся для этого проблемных ситуациях. Известный польский ученый В.Оконь в своей книге «Основы Проблемного обучения» пишет, что чем больше ученики стремятся в ходе своей работы попасть на тот путь, по которому идет исследователь, тем лучше достигаемые результаты.

Перед учениками ставится проблема, познавательная задача, и ученики (при непосредственном участии учителя или самостоятельно) исследуют пути и способы ее решения. Они строят гипотезу, намечают и обсуждают способы проверки ее истинности, аргументируют, проводят эксперименты, наблю­дения, анализируют их результаты, рассуждают, доказывают. Сюда относятся, например, задачи на самостоятельное «открытие» правил, законов, формул, теорем (самостоятельное выведение зако­на физики, правила правописания, математической формулы, Открытие способа доказательства геометрической теоремы и т.д.). Проблемное обучение включает несколько этапов:

  1. осознание общей проблемной ситуации;

  2. ее анализ, формулировка конкретной проблемы;

  3. решение проблемы (выдвижение, обоснование гипотез, последовательная проверка их);

  4. проверка правильности решения проблемы.

Этот процесс развертывается по аналогии с тремя фазами мыслительного акта, который возникает в проблемной ситуации и включает осознание проблемы, ее решение и конечное умоза­ключение. «Мышление, — отмечает А. В. Брушлинский, — берет свое начало в проблемной ситуации, которая означает, что в ход своей деятельности человек начинает испытывать какие-то непо­нятные трудности, препятствующие успешному продвижению впе­ред... Так возникшая проблемная ситуация переходит в осознавае­мую человеком задачу».

Поэтому проблемное обучение основывается на аналитико-синтетической деятельности обучающихся, реализуемой в рассужде­нии, размышлении. Это эвристический, исследовательский тип обучения с большим развивающим потенциалом.

Существуют четыре уровня проблемности в обучении:

I. Учитель сам ставит проблему (задачу) и сам решает ее при активном слушании и обсуждении учениками.

2. Учитель ставит проблему, ученики самостоятельно или под его руководством находят решение. Учитель направляет ученика на самостоятельные поиски путей решения (частично-поисковый метод). Здесь наблюдается отрыв от образца, открывается простор для размышлений.

3. Ученик ставит проблему, преподаватель помогает ее решить. У ученика воспитывается способность самостоятельно формулировать проблему.

4. Ученик сам ставит проблему и сам ее решает. Учитель лаже не указывает на проблему: ученик должен увидеть ее самостоятель­но, а увидев, сформулировать и исследовать возможности и спо­собы ее решения.

В итоге воспитывается способность самостоятельно увидеть проб­лему, самостоятельно анализировать проблемную ситуацию, са­мостоятельно находить правильный ответ.

Третий и четвертый уровни — это исследовательский метол.

Если учитель чувствует, что при выполнении того или иного задания учащиеся испытывают затруднения, то он может ввести дополнительную информацию, снизить тем самым степень проблемности и перевести учащихся на более низкий уровень проб­лемно-эвристического обучения.

В проблемном обучении учитель подобен опытному дирижеру, организующему этот исследовательский поиск. В одном случае учи­тель может сам с помощью учащихся вести этот поиск. Поставив проблему, он вскрывает путь ее решения, рассуждает вместе с уче­никами, высказывает предположения, обсуждает их вместе с уче­никами, опровергает возражения, доказывает истинность. Иначе говоря, учитель демонстрирует учащимся путь научного мышле­ния, заставляет учеников следить за диалектическим движением мысли к истине, делает их как бы соучастниками научного поиска.

В другом случае роль учителя может быть минимальной — он предоставляет школьникам возможность совершенно самостоятель­но искать пути решения проблем. Но и тут учитель не занимает пассивную позицию, а при необходимости незаметно направляет мысль учащихся, чтобы избежать бесплодных попыток, ненуж­ной потери времени. Именно поэтому метод обучения, связанный с самостоятельным поиском и открытиями школьниками тех или иных истин, называют проблемно-эвристическим, или исследова­тельским, методом.

Таким образом, в условиях проблемного обучения развитие активности в умственной деятельности учащихся можно характе­ризовать как переход от действий, стимулируемых заданиями учи­теля, к самостоятельной постановке вопросов; от действий, свя­занных с выбором уже известных путей и способов, к самостоя­тельным поискам решения задач и дальше — к выработке умения самостоятельно видеть проблемы и исследовать их.

Культивируемый в проблемном обучении исследовательский метод — это такая организация учебной работы, при которой уча­щиеся знакомятся с научными метолами добывания знаний и, ос­ваивая доступные им элементы научных методов, овладевают уме­нием самостоятельно добывать новые знания, планировать поиск и открывать новую для себя зависимость или закономерность.

Практическая часть. Практика внедрения программированного поведения начинается с проведения уже в пятых классах уроков с дидактическими карточками и моделями, формируемыми как опорный конспект.

Проведение занятий по большинству предметов, особенно практического характера должны быть снабжены инструктивными и дидактическим и карточками, с одно стороны, суживающими, а с другой стороны, конкретизирующими поставленные цели, задачи и выстроенную гипотезу.

Основы моделирования, которые имеются во всех учебных предметах, в математике встраиваются не только в формы работы, но и в содержание программы. Особенно это касается геометрии, к изучению которой большинство детей в 7 классе недостаточно подготовлены, а потому резко снижается мотивация к обучении. Само же развитие интеллекта актуализируется в рамках изучения геометрии, доказательства теорем и решения геометрических задач.

Учитывая, что формально – операциональное мышление релевантно формируется к 7-8 классу, именно в этом возрасте наиболее актуальным становится программированное обучение.

Именно в 8 классе учащиеся начинают, абстрагируясь, принимать понятие программы, как основополагающего алгоритма действий, на чем и выстраивается программированное обучение.

В алгебре, наполненной более простыми моделями в начале обучения, возможно программированное обучение уже с 7 класса.

В содержание программированного обучения в школе входят элементы моделирования процессов, решений, тренажеры, обучающие и контролирующие контрольно – измерительные материалы, алгоритмизированные форматы и комплексы для выполнения исследовательских работ.

Программированное обучение предполагает значимо большую самостоятельную составляющую обучения, как то, дистанционные материалы, материалы Интернет – сети и электронных ресурсов и носителей.

В начале программированного обучения важным и необходимым является обучение детей вопросам презентаций выполненных работ. Поэтому в опережающем режиме (по отношению программы по информатике) они обучаются представлять свои рефераты, решения и, конечно, мультимедийные продукты в виде презентаций.

Разработка презентаций – это не только увлекательная подборка картинок, но и анализ текста, составленного в рамках выполнения задания, выделение проблемы, главных метапредметных элементов, соотнесение различных частей работы, выстраивание моделей, которые в виде схем представляются в электронном виде.

В рамках программированного обучения реализуется обучение составлению тестовых заданий для само- и взаимопроверки с провокационными элементами в них. Помогает программированное обучение и развертыванию на современном уровне игровых технологий, раньше представляемых в бумажном варианте.

Программированное обучение является крайне важным и в работе с одаренными детьми, которых необходимо подготовить к олимпиаде, конкурсу и реализации их творческого потенциала. Именно при таком типе обучения раскрывается красота, логика и интерес математических дисциплин как королевы наук.

Алгоритмы в школьном курсе математики

Одним из методов, которые отвечают таким требованиям я считаю разработку способов алгоритмизации обучения.

Всякий мыслительный процесс состоит из ряда умственных операций. Чаще всего многие из них не осознаются, а иногда о них просто не подозревают. Психологи подчеркивают, что для эффективного обучения эти операции надо выявить и специально им обучать. Это не менее необходимо, чем обучение самим правилам. Без овладения операционной стороной мышления знание правил сплошь и рядом оказывается бесполезным, ибо ученик не в состоянии их применить. В данном случае выполнение умственных действий аналогично выполнению действий трудовых. В самом деле, выполнить ту или иную трудовую задачу, например, сделать деталь, невозможно, не производя тех или иных трудовых операций. Точно так же нельзя решить грамматическую, математическую, физическую, вообще любую интеллектуальную задачу, не совершив ряда интеллектуальных операций.

Понятие алгоритма пронизывает все области современной математики – от элементарной до высшей. Привычка  пользоваться алгоритмическими приёмами в практической работе становится требованием эпохи, мимо которого школа пройти не может. Поэтому применение алгоритмического метода становится актуальной темой сегодняшнего дня.

На начальном этапе обучения математике применение алгоритмов способствует формированию и прочному усвоению навыков владения математическими методами. Также осуществляется подготовка к формированию первоначальных представлений о математическом моделировании. Уже в начальных классах прослеживается применение простейших алгоритмов выполнения арифметических операций, дети овладевают навыками выполнения последовательных действий.

Следующий уровень алгоритмической культуры учащихся – введение понятия алгоритма и формирование его основных свойств Единого «истинного» определения понятия «алгоритм» нет. Наиболее распространёнными являются следующие:

«Алгоритм - это конечный набор правил, который определяет последовательность операций для решения конкретного множества задач и обладает пятью важными чертами: конечность, определённость, ввод, вывод, эффективность» (Д. Э. Кнут).

На основе теории В.П.Беспалько можно выделить основные свойства алгоритма:

  • формальность (простота и однозначность операций),

  • массовость (применимость к целому классу задач),

  • результативность (обязательное подведение к ответу),

  • дискретность (членение на элементарные шаги).

  • конечность

  • детерменированность

 

«Алгоритм - это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату» (А. Марков).

«Алгоритм - точное предписание о выполнении в определённом порядке некоторой системы операций, ведущих к решению всех задач данного типа» (Философский словарь / Под ред. М. М. Розенталя).

В среднем звене школы возникает необходимость сочетания алгоритма и образца ответа, что дает возможность ученику верно ответить на поставленный вопрос, сопроводив его правильной речью. У учителя появляется возможность предлагать задачи с элементами творчества. А материал, предлагаемый в наших школьных учебниках, является хорошей базой для обучения составлению простейших алгоритмов и дальнейшей их записи в разных формах. Можно использовать табличную, графическую (блок-схема), словесную и формульную форму записи алгоритмов. В старших классах работа становится разнообразней и содержательней, появляется возможность включать упражнения разного типа и уровня сложности, предполагающее, что приемы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщенности. Они состоят из большого числа действий, выполнение которых приводит к применению алгоритмов на отдельных этапах работы. Под алгоритмом обычно понимают точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности элементарных операций для решения любой из задач, принадлежащих данному типу. С помощью алгоритма может быть выполнено не одно задание, а целый ряд подобных заданий; используя алгоритм, можно всегда прийти к правильному результату. Решение задач по алгоритму быстро и легко приводит к желаемому результату, тогда как незнание алгоритма может привести к многочисленным ошибкам и большой трате времени. Роль алгоритмических задач состоит в том, чтобы обучить учащихся важным алгоритмам, непосредственному применению определений и теорем, формул, научить их действовать стандартно в соответствующих ситуациях. Ученик, хорошо усвоивший необходимые алгоритмы решения задач, может оперировать свернутыми знаниями при решении других сложных задач. Ему не нужно будет затрачивать больших усилий на поиск решения частичных проблем, которые решаются по алгоритму; мыслительная деятельность будет направлена на решение других проблем. Нужна автоматизация действий учащихся. Это автоматизация достигается самостоятельным решением алгоритмических задач.

Алгоритмизация обучения понимается в современном обучении в двух смыслах:

  • обучение учащихся алгоритмам,

  • построение и использование алгоритмов в обучении.

Обучение алгоритмам можно проводить по - разному. Существует два способа обучения алгоритмам:

а) сообщение готовых алгоритмов;

б) подведение учащихся к самостоятельному открытию необходимых алгоритмов.

Последнее является вариантом эвристического метода обучения и предполагает реализацию трех этапов изучения математического материала:

  • Выявление отдельных шагов алгоритма.

  • Формулировка алгоритма.

  • Применение алгоритма.

Работа по алгоритмам развивает интерес учащихся к процессу обучения, они стремятся заменить предложенный алгоритм более простым и обосновать целесообразность такой замены, что развивает их творческое и конструктивное мышление. Работая по алгоритму и составляя алгоритмы, дети учатся концентрировать своё внимание. Речь учащихся становится более точной и чёткой. Хорошо усваивается математическая терминология. Постоянное использование в работе алгоритмов и предписаний должно ориентировать учащихся не на простое запоминание определённого плана или последовательности действий, а на понимание и осознание этой последовательности, необходимости каждого её шага. Практика показала, что работа с алгоритмами способствует формированию навыков учебно – познавательной компетентности учащихся.

Алгоритмизация в обучении математике приучит учащихся к логическому мышлению, поможет понять структуру математических заданий. Обучение использованию алгоритмов проходит 3 этапа. 
1. Подготовительный этап - подготовка базы для работы с новым материалом, актуализация навыков, на которых основано применение алгоритма,  формирование нового навыка. Учащиеся должны быть подготовлены к выполнению всех элементарных операций алгоритма. 
     Время, отведенное на эту работу, зависит от уровня подготовленности учащихся.  Без этого  этапа  упражнения  по  алгоритму могут привести к закреплению ошибок. 
     2 .Основной этап: 
     а)начинается с момента объяснения правила.  Класс должен активно участвовать в составлении и записи алгоритма.  Учитель проводит беседу, в результате которой на доске появляется запись алгоритма. Она облегчает понимание и усвоение алгоритма. 
    б)далее по схеме разбираются 2-3 примера. 

в)раздаются карточки с алгоритмами или работа ведется по общей таблице. 
     Содержание перечитывается одним учеником.  Затем выполняются тренировочные упражнения (сначала -коллективно, затем - самостоятельно). Необходима жесткая фиксация умственных действий (например, в форме таблицы). 
 шаг2 
    г)развернутое комментирование (карточки закрываются) 
    д) дети стараются не использовать карточки и комментарии (но при необходимости пользуются). 

    3.Этап сокращения операций. 
     На этом этапе происходит процесс автоматизации навыка: некоторые операции совершаются параллельно,  некоторые -  интуитивным путем,  без напряжения памяти. Процесс свертывания происходит не одновременно и разными путями у разных учащихся. 

Заключение

При изучении литературы по данной теме я обнаружила следующее: основные привычки успешных людей, утверждая, что все они делают следующее.

Чувствуют себя комфортно, когда ошибаются.

Пытаются реализовать на первый взгляд безумные идеи.

Открыты разным типам опыта.

Играют с идеями, не давая оценок.

Готовы выступить против традиционных представлений.

Не сдаются перед лицом трудностей.


 

В изучении математики эти привычки не менее важны, чем в жизни. Но, как это ни удивительно, они не применяются на уроках математики и во время выполнения домашних заданий по этому предмету. Необходимо, чтобы ученики чувствовали себя свободно, смело пробовали разные идеи и не боялись ошибок, придерживались открытого подхода к изучению математики и были готовы играть с задачами, пытаясь реализовать «на первый взгляд безумные идеи» . Нужно, чтобы ученики выступили против традиционных представлений, отбросив идею о том, что одни люди могут заниматься математикой, а другие нет. Безусловно, необходимо, чтобы ученики не сдавались, когда задание по математике оказывается трудным и они не сразу находят решение.

Литература:

  1. Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2019 г.

  2. Математика: 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2019 г.

  3. Алгебра: учеб. для 7кл. общеобразоват. учреждений / Ю.М.Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2016 – 336 с.;

  4. Алгебра: учеб. для 8кл. общеобразоват. учреждений / Ю.М.Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2016 – 336 с.;

  5. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.М.Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2016 – 336 с.;

  6. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. Учебное пособие. М.: Народное образование, 1998

  7. Ершова С.Г., Пунько Д.И. Основы алгоритмизации. Минск, 1997

  8. Роберт И.В. Алгоритмизация в обучении математике. - М.: ИИО РАО, 2004. - 104 с.

  9. Беспалько В. П. Программированное обучение. Дидактические основы. — М.: Высшая школа, 1970. — 300 с.

  10. Гальперин П. Я. Программированное обучение и задачи коренного усовершенствования методов обучения // К теории программированного обучения. — М., 1967.

  11. Крэм Д. Программированное обучение и обучающие машины. — М.: Мир, 1965. — 274 с.

  12. Куписевич Ч. Основы общей дидактики. — М.: Высшая школа, 1986.

  13. Педагогика /Под ред. П. И. Пидкасистого. — М., 1995.

  14. Проект «Концепции структуры и содержания общего среднего об­разования» — М.. 2000.

  15. УайтхедЛ. Н. Избранные работы по философии. — М.. 1990.

  16. Шиянов Е.Н., Котова И.Б.. Идея гуманизации образования в контексте отечественных теории личности. — Ростов на/Д, I995.

  17. Асмолов А. Г. Культурно историческая психология и конструирование миров. — М.; Воронеж, 1996.

  18. Бойко Е. И. Механизмы умственной деятельности. — М., 1976.

  19. Брунер Дж. Психология познания. — М., 1977.

  20. Васильев В. В. Информационное обеспечение управления общеобра­зовательной школой. — Воронеж, 1990.

  21. Жинкин Н. И. Речь как проводник информации. — М.. 1982.

  22. Коджаспирова Г.М., Петров К. В. Технические средства обучения и методика их использования. — М.. 2001.

  23. Матросов В.Л., Грапнев В.Л., Траинев И.В. Интенсивные педагогические информационные технологии: Организация процессов обуче­нии. - М.. 2000.

  24. Найссер У. Познание и реальность. — М.. 1981.

  25. Норманн Д.. Память и научение. — М., 1985.

  26. Ракитов А. И. Философия компьютерной революции. - М., 1991.

  27. Роберт И. В. Современные информационные технологии в образовании: Дидактические проблемы; перспективы использования. - М.

    1. Инновационные процессы в образовании: Сб. статей. — СПб., 1997.

  28. Педагогика и психология /Под ред. А. А. Реан. — СПб., 2000.

  29. Ситаров В.С.. Дидактика. – М., 2004

  30. Жан Пиаже М., Международная педагогическая академия 1994

  31. Психология/ учебник для медицинских ВУЗов. Москва Eksmo Education ЭКСМО 2007г.


 

 

 


 

Приложение

5 класс

Алгоритм выполнения

порядка

действий

 

1. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.

2. Если выражение содержит действия первой (сложение и вычитание) и второй (умножение и деление) ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом – действия первой ступени.

3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

 

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями надо:

1.К числителю первой дроби прибавит числитель второй дроби.

2. Знаменатель оставить тот же.

Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями надо:

  1. Из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого.

  2. Знаменатель оставить тот же.

 

Как выделить целую часть из неправильной дроби и

как представить смешанную дробь в виде неправильной дроби.

 

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

разделить с остатком числитель на знаменатель;

неполное частное будет целой частью;

остаток (если он есть) даёт числитель, а делитель – знаменатель дробной части.

Пример: Выделить целую часть из неправильной дроби

Решение: Делим 47 на 9. Неполное частное равно 5,

а остаток равен 2.

Значит,

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

умножить его целую часть на знаменатель дробной части;

к полученному произведению прибавить числитель дробной части;

записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Пример: Представить в виде неправильной дроби число

Решение:

Сложение смешанных чисел

Чтобы сложить два смешанных числа надо:

1.Сложить отдельно целые части.

2. Сложить отдельно дробные части.

3.Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, выделить целую часть.

4.Добавить ее к уже имеющейся целой части)

Вычитание смешанных чисел

1.Выполнить отдельно вычитание целой и дробной части.

(2.Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занять единицу у целой части уменьшаемого . представить ее в виде неправильной дроби и прибавить к дробной части уменьшаемого)

Алгоритм округления десятичных дробей

а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 5, 6,7, 8, 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

а) Если первая отброшенная или замененная нулём цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Сложение и вычитание десятичных дробей

    1) при необходимости уравнять количество знаков после запятой,  
добавляя нули к соответствующей дроби.    
2) Записать дроби так, чтобы их запятые находились друг под другом.    
3) Сложить (вычесть), не обращая внимания на запятую.    
4) Поставить запятую в сумме (разности) под запятыми,. 

Умножение десятичных дробей

) Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые.
2) Посчитать количество знаков после запятой в обоих множителях.
3) Отделить запятой такое же количество знаков справа налево в ответе.

0,3 • 10,2 = 3,06

 

(1 + 1 = 2 знака)

 

19 • 0,005 = 0,095

 

(3 знака)

 

 

 

0,25 • 0,48 = 0,1200

=0,12

 

 

(2 + 2 = 4 знака)

 

 

    0,25

    0,48

    2 00

  10 0

0,1200

 

 

Деление десятичных дробей

Алгоритм деления на натуральное число
1) Разделить дробь на число, не обращая внимания на запятую.
2) Поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.
3) Если целая часть меньше делителя, то в частном поставить нуль целых.

Алгоритм деления на десятичную дробь.
1) В делителе и делимом перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.
2) Выполнить деление на натуральное число.
12,096 : 2,24
(2 знака) = 1209,6 : 224 = 5,4
0,0456 : 3,8
(1 знак) = 0,456 : 38 = 0,012
3 : 0,75
(2 знака) = 3,00 : 0,75 = 300 : 75 = 4 

Алгоритм умножения и деления на разрядную единицу.

 

Вид разрядной единицы.

УМНОЖЕНИЕ.

ДЕЛЕНИЕ.

 

ЦЕЛАЯ

(10; 100; 1000 и т.д.)

Запятую перенести вправо на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице, т.о. число увеличится.

Запятую перенести влево на столько знаков, сколько нулей в разрядной единице, т.о. число уменьшится.

 

ДРОБНАЯ

(0,1; 0,01; 0,001 и т.д.)

Запятую перенести влево на столько знаков, сколько знаков после запятой у разрядной единицы, т.о. число уменьшится.

Запятую перенести вправо на столько знаков, сколько знаков после запятой у разрядной единицы, т.о. число увеличится.

 

Алгоритм сравнения десятичных дробей

 

  1. Уравнять количество знаков после запятой .

  2. Сравнить, не обращая внимания на запятую

Например, сравним десятичные дроби:

57,3 и 57,321

1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой

57,300 и 57,321

Сравним натуральные числа: 57300 и 57321

 

Алгоритм перевода процентов в десятичную дробь и наоборот

Алгоритм обращения десятичной дроби в проценты:

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты надо умножить дробь на 100.

Алгоритм перевода процентов в десятичную дробь

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Алгоритм нахождения среднего арифметического

Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел надо:

1.найти сумму этих чисел;

2. разделить полученную сумму на число слагаемых;

3. выписать частное в ответ.

6 класс

Признаки делимости

Признак делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Например:

100; 1000; 100000 и т.п.

 

Признак делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 и 5, то это число делится без остатка на 5.

 

Например:

45; 55; 15; 10; 10000 и т.п.

 

Признак делимости на 2

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится без остатка на 2.

Например:

32; 12; 224; 2098 и т. п.

 

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Например:

 

15; 273; 474; 765; и т.п.

 

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

 

783; 549; 1233; 27954; и т.п.

 

Алгоритм сокращения дробей

Для того чтобы сократить дробь необходимо и числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, отличный от 1.

 

Например:

Сократить дроби: ; .

 

Нахождение Наибольшего Общего Делителя(НОД)

 

1. Оба числа разложить на простые множители.

Пример: НОД(36;24) = ?

36 2 24 2

18 2 12 2

9 3 6 2

3 3 3 3

1 1

2. Найти одинаковые множители. Выделить их в одном из чисел в «кружок»

Пример: НОД(36;24) = ?

36 2 24 2

18 2 12 2

9 3 6 2

3 3 3 3

1 1

3. Найти произведение тех чисел, которые выделили в « кружок»

Пример: НОД(36;24) = 223=12

 

Нахождение Наименьшего Общего Кратного(НОК)

1. Разложить на простые множители.

Пример: НОК(36;24) = ?

36 2 24 2

18 2 12 2

9 3 6 2

3 3 3 3

1 1

2. Найти одинаковые множители. У одного из чисел выделить в «кружок»

Пример: НОК(36;24) = ?

36 2 24 2

18 2 12 2

9 3 6 2

3 3 3 3

1 1

3. Найти произведение тех чисел, которые НЕ взяли в «кружок».

Пример: НОК(36;24) = 22332=72

 

Приведение дробей к общему знаменателю

  1. найти общий знаменатель, который равен НОК знаменателей всех дробей;

  2. найти дополнительный множитель для каждой дроби, для этого нужно общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби;

  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на их дополнительный множитель;

  4. записать новые дроби.

 

\3

Пример:

 

 

\2

 

 

  1. НОК(12;18)=36

  2. Дополнительный множитель

36:12=3

36:18=2

  1. Умножение

 

 

 

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

  1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;

  2. Сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

 

 

Сложение и вычитание смешанных чисел

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

  1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

  2. отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей;

если при сложении дробных частей получилось неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части

Пример:

Найти значение суммы: 16 .

Решение: Приведём дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 12, а затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части:

16 ; 19 ; ( )+ ( ) =(16 + 19) + ( ) = 35 + = 36 .

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

  1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

  2. если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;

отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно – дробных частей

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример:

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

  1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

  2. первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

 

2

Примеры: 1.

 

 

 

1

2.

 

1

1

 

5

2

  1.  

 

 

4

Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

 

 

 

1

Пример:

 

Деление дробей

обратное делителю.

 

 

3

3

Примеры: 1.

 

 

 

4

2.

 

 

3.

 

4.

 

Алгоритм снятия знака модуля

 

Алгоритм сравнения отрицательных чисел

1.Найти модули чисел.

2.Сравнить модули.

3.Больше то число, модуль которого меньше.

 

Алгоритм сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

 

Виды чисел.

Действие.

Знак суммы.

Числа с разными знаками.

Из большего модуля вычесть меньший.

 

Знак числа с большим модулем.

Отрицательные числа.

Сложить модули чисел.

 

Всегда отрицательный.

 

Алгоритм нахождения длины отрезка на координатной прямой

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

 

Вычитание чисел

 

Алгоритм умножения чисел с разными знаками

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо:

1.перемножить модули этих чисел;

2. поставить перед полученным числом знак « - ».

 

Например: (-1,2) * 0,3 = - (1,2 * 0,3) = - 0,36.

 

Алгоритм умножения отрицательных чисел

 

Чтобы перемножить два числа с отрицательными знаками, надо перемножить их модули.

Например: (-3,2) * (-9) = * =3,2 * 9 = 28,8.

 

Алгоритм деления отрицательного числа на отрицательное

 

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Например: - 4,5 : (-1,5) = 4,5 : 1,5 = 3.

 

Алгоритм деления чисел с разными знаками

 

При делении чисел с разными знаками, надо:

  1. разделить модуль делимого на модуль делителя;

  2. поставить перед полученным числом знак « - ».

Например: 3,6 : (-3) = - (3,6 : 3) = - 1,2.

 

Алгоритм сложения ( приведения ) подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые надо:

  1. Сложить их коэффициенты.

  2. Умножить на буквенную часть

 

Алгоритм раскрытия скобок

а) Если перед скобками стоит знак « + », то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком « + ».

Например: - 2,87 + (2,87 – 7,639) = - 2,87 + 2,87 – 7,639 = 0 -7,639 = -7,639.

 

б). Если перед скобками стоит знак « - », то надо заменить этот знак на « + »,

поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Например: 16 – (10 – 18 + 12) = 16 + ( - 10 + 18 – 12) = 12

 

 

Алгебра 7 класс:

 

Алгоритм построения графика функции.

 

1. Описать функцию согласно данной формуле, указав:

  • название функции;

  • название графика и его особенности ( если они есть).

2. Записать область определения функции (О.О.Ф.).

3. Составить таблицу на несколько значений (в зависимости от вида функции).

4. Построить график функции согласно табличным значениям.

 

Алгоритм сложения и вычитания многочленов

Алгоритм сложения многочленов 
1. Раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»
2. Привести подобные слагаемые

Алгоритм вычитания многочленов 

1. Раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-»
 

2. Привести подобные слагаемые

 

Алгоритм умножения одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен надо:

1.Умножить одночлен на каждый член многочлена.

2.Полученные произведения сложить

Алгоритм умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен надо6

1.Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

2.Полученные произведения сложить.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки

1.      Наибольший общий делитель коэффициентов членов многочлена и вынести за скобку.

2.     Вынести одинаковые переменные.

3.      Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.

4.      Затем в скобках записываются оставшиеся члены многочлена.

 

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки

1) Объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе были общие множители. 
2) Найти общий множитель в каждой группе и вынести его. 
3) Найти общий множитель в новом многочлене и вынести его

Алгебра 8 класс

Алгоритм сокращения рациональных дробей

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно:

1.Разложить её числитель и знаменатель на множители.

2.Сократить множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Сократить дробь

Решение:

 

 

Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей

  1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители.

  2. Найти общий знаменатель дробей.

  3. Найти дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей.

  4. Найти сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями .

  5. Упростить числитель полученной дроби.

6.Если возможно, сократить дробь

Пример:

Упростить выражение

Решение:

 

Алгоритм умножения рациональных дробей

1.Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби.

2.Перемножить знаменатели.

3.Первое произведение записать в числителе, второе в знаменателе.

4.Если возможно, сократить.

 

=

Алгоритм деления рациональных дробей

1.Умножить числитель первой дроби на знаменатель второй дроби.

2.Умножить знаменатель первой дроби на числитель второй.

3.Первое произведение записать в числителе , а второе в знаменателе.

4.Если возможно сократить.

 

=

 

Алгоритм возведения рациональной дроби в степень

Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень n, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби:

 

Алгоритм внесения множителя под знак корня.

 

 

1. Представить множитель в виде выражения, содержащего арифметический квадратный корень.

2. Применить формулу «Квадратный корень из произведения».

3. Записать результат.

 

Алгоритм вынесения множителя под знак корня.

 

 

1. Представить подкоренное выражение в виде такого произведения, чтобы из одного из

множителей можно было бы извлечь квадратный корень.

2. Применить формулу «Квадратный корень из произведения».

3. Записать результат.

 

Алгебра 9 класс:

Алгоритм нахождения области определения функции

1. Спроектируем график на ось Ох;

2.Сделаем вывод: х ___.

 

Алгоритм нахождения области значений функции

1.Спроектируем заданный график на ось ординат;

2.Сделаем вывод: у ___.

 

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

 

1.Разобьем заданный график на участки «подъема» и участки «спуска»;

2.Делаем вывод: на промежутках ___________________- возрастает; _______________________ - функция убывает

Алгоритм для определения нулей функции:

1.Анализируем расположение графика относительно оси Ох;

2.Делаем вывод: график пересекает ось Ох в точках х1=____, х2=____.

 

Алгоритм для определения наибольшего и наименьшего значений функции:

 

1.Анализируя график, находим множество значений функции

2.Делаем вывод: унаиб= ___, унаим=___.

 

Алгоритм для нахождения промежутков знакопостоянства:

 

1.Спроектируем на ось Ох те участки графика, которые расположены над осью абсцисс:

х ____________________;(у> 0)

2. Спроектируем на ось Ох те участки графика, которые расположены под осью абсцисс:

х ____________________;(у< 0)

3. Запишем ответ:

y>0, если х ___________________

y<0, если х ___________________.

Алгоритм построения графика квадратичной функции вида y= ах²+bх+с.

 

1. Описать функцию. b

2. Найти координаты вершины параболы по формулам: m=― , n –найти по формуле .

3. Определить ось симметрии по формуле: x=m.

4. Записать область определения функции (О.О.Ф.).

5. Заполнить таблицу на несколько значений.

6. Построить параболу, согласно последовательности алгоритма.

 

 

Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители

1.Приравнять квадратный трёхчлен к нулю.ax2+bx+c=0

2.Найти дискриминант.

3.Найти корни квадратного трёхчлена.

4.Подставить найденные корни в формулу: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

 

Алгоритм решения систем уравнений второй степени

1. Выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2.Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате приходят  к уравнению с одной переменной, степень которого не выше двух;
3.Решают получившееся уравнение с одной переменной;
4.Находят соответствующие значения второй переменной.

Алгоритм решения задач с помощью прогрессий

1. Анализируем условие задачи и понимаем, что

задачу можно решить при помощи формул арифметической или

геометрической прогрессии

2. Записываем данные в условных обозначениях

3. Выбираем подходящую формулу (формулу разности,

знаменателя, n-члена, суммы).

4. При необходимости составляем уравнение,

систему уравнений, неравенство

5. Решаем задачу, выполняя соответствующие

преобразования

6. Записываем ответ

 

 

Алгоритмы решения уравнений

Алгоритм решения линейных уравнений (первой степени).

 

1. Раскрыть скобки ( если они есть в уравнении).

2. Применить «Правило переноса слагаемых».

3. Упростить каждую часть полученного уравнения.

4. Найти неизвестный множитель в полученном линейном уравнении вида ах=в.

5. Записать ответ.

 

Алгоритм решения уравнения вида х²=а.

 

1.Если а=0, то уравнение имеет два корня: х1= -√а,

х 2= √а.

2. Если а=0, то уравнение имеет один корень: х=0.

3. Если а<0, то уравнение не имеет корней.

 

Алгоритм решения уравнения вида ах²+вх=0 (с=0).

 

1. Вынести за скобки общий множитель: х(ах+в)=0.

2. Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, значит:

х=0 или ах+в=0.

3. Решить каждое из полученных уравнений.

4. Записать в ответе оба полученных корня.

 

Алгоритм решения уравнений вида ах²+с=0 (в=0).

 

1. Выразите из уравнения х² по образцу: ах²+с=0;

ах²=-с;

 

х²=- с/а.

2. Для решения полученного уравнения воспользоваться одним из случаев решения уравне-

ния вида х²=а (смотри соответствующий алгоритм).

3. Записать ответ.

Алгоритм решения квадратного уравнения вида ах²+bх+с=0.

 

1. Найдите дискриминант по формуле: D=b²- 4ac.

2. Воспользуйтесь одним из возможных случаев решения:

-

  • D>0,=> уравнение имеет два корня: х1= _ b+√D

 

 

х2= -b-√D

 

 

 

-b

  • D=0,=> уравнение имеет один корень: х= ―;

 

  • D<0,=> уравнение не имеет корней.

 

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

 

1. Избавиться от знаменателей дробей, а для этого:

разложить знаменатели дробей на множители ( если это возможно);

умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель данных дробей;

сократить числитель и знаменатель каждой дроби на их общие множители.

2. Решить полученное целое уравнение, применив соответствующий алгоритм.

3. Исключить «посторонние» корни.

4. Записать ответ.

 

 

Алгоритм решения биквадратных уравнений (ax4+bx2+c=0)

1) Ввести замену переменной: пусть х2 = t.

2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: at2 + bt + c=0.

3) Решить новое квадратное уравнение.

4) Вернуться к замене переменной.

5) Решить получившиеся квадратные уравнения.

6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

7) Записать ответ

Решение уравнений способом подстановки

1.Выделяем выражение

2.Обозначаем это выражение одной буквой .

3.Выполняем подстановку и получаем новое уравнение.

4.Приводим его к квадратному и решаем.

5.По значениям переменной находим значения переменной х.

6.Делаем проверку полученных результатов и записываем ответ.

 

Решение уравнений способом разложения на множители

1.Привести уравнение к виду Р (х)=0.

2.Разложить левую часть уравнения на множители.

3. Решать по правилу: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

4.Решить получившееся уравнения.

5.Записать ответ.

 

Алгоритмы решения систем уравнений:

Алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки.

 

1. Из любого уравнения выразить какую удобно переменную.

2. Подставить значение выраженной переменной в другое уравнение.

3. Выписать полученное уравнение и решить его, найдя значение одной из переменных.

4. Подставить значение найденной переменной в другое уравнение, тем самым найти значение оставшейся неизвестной переменной.

5. Записать ответ.

 

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

 

Графический способ решения систем уравнений

1.Построить график каждого уравнения в одной системе координат

2.Найти координаты точек пересечения графиков.(Сколько точек пересечения –столько решений имеет система)

3.Выписать ответ.

Решим эту систему графически.

 

Для этого в каждом уравнении выразим у через х

 

у = 2х (1)

у = - 3х + 6 (2)

 

зададим х и у для каждого из уравнений

 

 

х

0

1

у

0

2

(1)

 

 

(2)

 

х

0

1

у

6

3

 

 

построим графики функций и найдем координату точки пересечения.

 

 

Ответ: х = 1,2; у = 2,3

 

Алгоритмы решения неравенств

 

Виды неравенств.

Точка.

Скобки.

Строгое.

Пустая.

Круглые. ( ; ).

Нестрогое.

Заштрихованная.

Квадратные. [ ; ].

 

Свойства неравенств.

1. В верном неравенстве можно переносить слагаемые из одной части в другую, при этом

меняя знак у этого слагаемого на противоположный.

2. Обе части верного неравенства можно делить или умножать на одно и то же положительное число.

3. Обе части верного неравенства можно делить или умножать на одно и то же отрицательное число, но при этом поменять знак у неравенства.

Алгоритм решения линейного неравенства

  1. Раскрыть скобки (если нужно).

  2. Неизвестные перенести в левую часть неравенства, известные в правую часть. ( При переносе знаки перед слагаемыми изменить на противоположные “-“ на “+“; “+“ на “-“; знак неравенства сохраняется).

  3. В каждой части привести подобные слагаемые, получаем неравенство вида: ax < b или ax > b или ax b или ax b.

4.Чтобы найти x, число (b) стоящие в правой части разделить на коэффициент при x (a), причём, если a>o, то знак неравенства сохраняется, если a<0, то знак меняется на противоположный ( “<” на “>”; “>” на “<”; “” на “”; “” на “”).

5 Решение изобразить на числовой прямой и ответ записать промежутком.

 

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

1.Решить первое неравенство, найти его решение.

2.Решить второе неравенство, найти решение второго неравенства.

3.Найти пересечение двух множеств значений  .

 

Пример

Решить систему неравенств

.

Решение:

Рассмотрим первое уравнение.

,  .

Теперь решим второе уравнение.

,  .

Теперь смотрим, пересекаются ли эти 2 промежутка (если нет — то и решений системы нет).

 

 

Таким образом, конечное множество решений (лежащее на п ересечении множеств решений каждого из уравнений) — x из промежутка [-6; -3).

 

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной

1. Рассмотреть функцию, заданную формулой y= ах²+bх+с и определить куда направлены ветви параболы(а>0- вверх, а<0- вниз)

2. Найти координаты точек пересечения параболы с осью Х, решив уравнение ах²+bх+с=0,

т.е. определить нули функции.

3. Отметить нули функции на координатной плоскости, используя обозначения точек при

решении неравенств.

4. Схематично построить параболу согласно описания (см. п.1 данного алгоритма).

5. Записать ответ в виде промежутка(ов), применяя обозначения скобок.

 

Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

 

1 тип.

1. Записать неравенство в виде: (x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)>0.

2. Рассмотреть функцию, заданную формулой: f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn).

3. Выписать нули функции: x1, x2, x3, …, xn.

4. Отметить нули функции на числовой прямой, используя соответствующие обозначения

точек.

5. Отметить интервалы на числовой прямой.

6. Проверить знаки функции на каждом полученном интервале.

7. Записать ответ в виде числового промежутка(ов), используя соответствующие обозначения

скобок.

2 тип

 

1.Найти область определения функции f(x) ;

2.Найти нули функции f(x) ;

3.На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее 4.область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;

5.Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;

6.Записать ответ.

Примеры.1. Решить неравенство

 

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию

 

и найдем множество значений х, при которых 

1) Найдем

2) Найдем нули функции:

 

 

3)

 

Если x > 1, например x = 2, то

 

Если   например  ,то

 

Если , например , то

 

Если x < 0, например x = -1, то

 

Итак,   при  .

Ответ:  

 

Алгоритм решения неравенства с двумя переменными

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

 

Алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными

  • 1.Построить F(x;y)=0 и G(x;y)=0

  • 2.Взяв из каждой области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением системы

3.Объединение полученных областей- решение системы неравенств

Алгоритмы решения задач

Алгоритм решения задач с помощью уравнения

 

1. Прочитать внимательно условие задачи;

2. Записать кратко условие задачи, записав все величины (единицы их измерения) , названные в задаче, установив связи и зависимости между ними;

3.Выбрать неизвестное задачи;

4. Выразить остальные величины задачи, установить связи их с неизвестным задачи;

5. Составить уравнение задачи, обосновав его условием задачи;

6. Решить уравнение;

7. Сделать проверку;

8. Выписать ответ

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

1.Неизвестные величины обозначить x и y.

2.Составить два уравнения согласно условию задачи.

3.Решить систему уравнений.

4.Истолковать полученные данные в связи с условием задачи

Алгоритм решения задач на пропорцию

  1. В процессе устного обсуждения выделяем 2 величины,

  2. Составляем краткую запись условия задачи в виде таблицы. Неизвестную величину обозначаем Х

  3. Устанавливаем вид зависимости( прямо или обратно пропорциональная). Уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение - стрелкой вверх.

  4. Затем составляем пропорцию и решаем её.

Алгоритм решения задач
 на совместную работу

1.Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.

2.Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е.  , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

3.Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.

4.Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

 

Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа

1.Вводится обозначение:
х – цифра десятков
у – цифра единиц

2.Искомое двузначное число 10х + у

3.Составить систему уравнений

 

Алгоритм решения задач на проценты

 

  1. Процент – это 1% - это сотая часть числа. или

1% = 0,01

  1. Нахождение процентов от числа.

Чтобы найти проценты от числа, нужно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.

Пример. Найти 20% от 48.

Решение: 20%=0,2

48 * 0,2 = 9,6 Ответ: 9,6.

Задача 1. Первоначально футболка стоила 30 рублей. На распродаже ее цена снизилась на 15%. Сколько рублей стала стоить футболка после скидки?

Решение: 15% = 0,15

30 * 0,15 = 4,5

30 – 4,5 = 25,5 (руб) Ответ: 25,5 руб.

Задача 2. На первую смену в летний лагерь было выделено 196 путевок. На вторую смену – на 25% больше. Сколько путевок было выделено на вторую смену?

Решение: 25% = 0,25 =

 

196 + 49 = 245 (путевок) Ответ: 245.

  1. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его процентам, нужно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.

Пример: Цену энциклопедии увеличили на 20%, и она стала стоить 420 рублей. Сколько рублей стоила энциклопедия до подорожания?

Решение: 100% + 20% = 120%

120% = 1,2

420 : 1,2 = 350 Ответ: 350.

  1. Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого нужно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100.

Пример: Вишня стоит 120 рублей за килограмм, а черешня – 150 рублей за килограмм. На сколько процентов вишня дешевле черешни?

Решение: Ответ: 20%.

  1. Формула сложных процентов.

Если на вклад положена сумма a денежных единиц, и банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит денежных единиц.

Пример: Вкладчик положил в банк 76000 рублей под 12% годовых. Какой станет сумма вклада через 2 года?

Решение:

Ответ: 9533,44 рубля.

 

Алгоритм решения задач на движение по реке

При решении задач на движение по реке в задаче обычно известно значение либо скорости катера (лодки, теплохода), либо скорости течения реки.

Пусть vk– скорость катера, vp – скорость течения реки, s – расстояние.

Чтобы найти скорость по течению, надо к собственной скорости катера прибавить скорость течения, т.е скорость по течению равна vk + vp.

Чтобы найти скорость против течения, надо от собственной скорости катера отнять скорость течения, т.е. скорость против течения равна vk + vp.

Время движения по течению .

Время движения против течения .

Скорость плота равна скорости течения реки

 

 

Примеры решения задач.

Задача 1: Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на вест путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение: Обозначим через км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде.

Выразим скорость движения моторной лодки по течению реки.

Выразим скорость движения моторной лодки против течения реки.

Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь по течению реки.

Выразим время, которое затратила моторная лодка на путь против течения реки.

Составим уравнение, учитывая, что на весь путь моторная лодка затратила 5 ч.

Решим уравнение. Исключим те из корней уравнения, которые не соответствуют условию задачи.

 

Условие задачи удобно представить в виде таблицы:

Скорость (км/ч)

Расстояние (км)

Время (ч)

Катера

x

 

 

Течения реки

3

 

 

По течению

х+3

 

 

36

 

Против течения

х-3

 

 

36

 

 

Так как общее время движения равно 5 ч, то составим уравнение, получим

 

 

Алгоритм решения задач на движение

Пусть объекты движутся в одном направлении и при этом известны:

  1. Расстояние S

  2. Соотношение между скоростями V1 и V2.

  3. В ремя отставания или задержки в пути t

Тогда решение таких задач находится с помощью уравнения:

 

При составлении уравнения удобно пользоваться следующей таблицей:

 

 

 

 

Расстояние S

Скорость V1

Скорость V2

Время

 

 

 

 

 

Задача 1: Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, а поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

  1. Проверяем, удовлетворяет ли условие задачи данному типу задач?

  2. Составляем таблицу и заполняем её.

 

Расстояние, км

Скорость, км/ч

Скорость, км/ч

Время, ч

120

х

х + 20

1

 

  1. Составляем уравнение и решаем его.

 

 


 


 


Полный текст материала Статья "Алгоритмы в школьном курсе математики" смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.
Автор: Авдонина Надежда Валерьевна  Публикатор
17.11.2019 0 249 9

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.



Хотите лучше владеть компьютером?
Читайте новые статьи
Оставьте отзыв к материалу:
Всего: 0