Конспект урока математики "Правильная пирамида"; 11 класс

 

 

 

 

Конспект урока математики по теме:

 

« Правильная пирамида»

(11 класс)

 

 

 

Учитель математики

МОУ Паликская СОШ №1

Ивашкина М.В.

 

 

 

 

 

 

 

Тема урока: «Правильная пирамида».

Тема предыдущего урока: «Пирамида».

Тема следующего урока: «Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды».

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

Образовательная цель: Сформировать представление учащихся о правильной пирамиде. Выявить и доказать основные свойства правильной пирамиды. Формировать умения по применению нового материала к решению задач.

Развивающая цель: Формировать умения применять эмпирические и теоретические методы познания для получения информации с последующим описанием её на языке математики. Развивать логическое и пространственное мышление. Показать взаимосвязь науки с реальной действительностью. Развивать качества мышления.

Воспитательная цель: Формировать мировоззрение учащихся через знакомство с методами математики окружающей действительности средствами математики. Формировать привычку выполнять эстетические требования. Воспитывать внимательность, дисциплинированность, культуру труда, чувства взаимопомощи и взаимоподдержки. Формировать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

Домашнее задание к уроку: п.176, № 44, № 46.

№ 44. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол β. Найти её высоту.

№ 46. Основание пирамиды – параллелограмм, у которого стороны 3 см и

7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Оборудование к уроку: проектор, линейка, модели пирамид

 

 

Структура урока

I. Актуализация знаний.

1.1. Мобилизующее начало. Сообщение плана работы на уроке.

1.2. Фронтальная работа с целью проверки правильности выполнения домашнего задания.

1.3. Фронтальный опрос с целью повторения пройденного материала.

1.4. Диалогический монолог учителя с целью мотивации изучения нового.

1.5. Подведение итога I этапа урока. Постановка проблемы и учебных задач.

II. Формирование новых знаний и способов действия.

2.1. Фронтальная работа с целью подготовки к введению определения правильной пирамиды.

2.2 Диалогический монолог учителя с целью введения определения правильной пирамиды.

2.3. Диалогический монолог учителя с целью веления определения апофемы.

2.4. Решение задачи с целью мотивации изучения первого свойства правильной пирамиды (В правильной пирамиде боковые рёбра равны).

2.5. Фронтальная коллективная исследовательская работа под руководством учителя с использованием моделей с целью раскрытия содержания первого свойства правильной пирамиды.

2.6. Подведение итогов исследовательской работы с целью формулировки первого свойства правильной пирамиды.

2.7. Диалогический монолог учителя с целью обоснования необходимости доказательства первого свойства правильной пирамиды.

2.8. Фронтальная работа с целью доказательства первого свойства правильной пирамиды.

2.9. Решение мотивационной задачи с целью применения первого свойства правильной пирамиды.

2.10. Фронтальная работа с целью формулировки второго свойства правильной пирамиды как следствие первого (Боковые грани правильной пирамиды равны).

2.11. Фронтальная работа с целью формулировки третьего свойства правильной пирамиды как следствие второго (В правильной пирамиде апофемы равны).

2.12. Диалогический монолог учителя с целью мотивации изучения четвёртого свойства правильной пирамиды (В правильной пирамиде все двугранные углы при основании равны).

2.13. Фронтальная работа с целью доказательства четвёртого свойства правильной пирамиды.

2.14. Подведение итога II этапа. Постановка задач на следующий этап.

III. Применение знаний, формирование умений и навыков.

3.1. Коллективное решение задачи у доски с целью применения и первичного усвоения изученного материала.

3.2. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

 

Ход урока

I. Актуализация знаний

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. Кто сегодня отсутствует? (Учитель отмечает отсутствующих). Сегодняшний наш урок мы начнём с проверки домашнего задания, а затем перейдём к изучению нового материала. На дом вам были заданы две задачи № 44 и № 46. У кого какие вопросы по домашней работе? № 44 пойдёт решать к доске Вика (Учитель вызывает учащуюся к доске). А со всеми остальными мы поговорим о задаче №46. Антон нам устно расскажет ход решения этой задачи.

Антон: В задаче нам надо найти боковые рёбра пирамиды. Рёбра, проведённые к противоположным вершинам параллелограмма, равны, так как они являются наклонными к равным проекциям. Одну пару рёбер мы можем сразу найти по теореме Пифагора. Для нахождения другой пары необходимо найти вторую диагональ параллелограмма. Её находим по свойству диагоналей. Затем находим оставшиеся рёбра правильной пирамиды.

Учитель: Хорошо. Теперь обменяйтесь тетрадями с соседями по парте. Возьмите в руки карандаши, и проверьте эту задачу у своего соседа. Образец решения данной задачи представлен на доске. (С помощью проектора на доске появляется решение задачи № 46, слайд №1).

Учитель: Поднимите руки, кто правильно решил данную задачу. Молодцы, что разобрались с этой задачей. Проверим теперь задачу №44, которую Вика решала у доски.

Учащаяся: (объясняет своё решение)

 

Учитель: У кого какие вопросы по этой задачи. Хорошо Вика, садись.

Учитель: А теперь мы повторим материал предыдущего урока. Ответьте мне на следующие вопросы.(Учитель задаёт вопросы, учащиеся поднимают руки, отвечают) С каким многогранником мы познакомились на прошлом уроке?

Учащиеся: С пирамидой.

Учитель: Что называется пирамидой?

Учащиеся: Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Учитель: Что является высотой пирамиды?

Учащиеся: Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Учитель: Что является боковыми рёбрами пирамиды?

Учащиеся: Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания.

Учитель: Что представляет собой боковая грань пирамиды?

Учащиеся: Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды.

Учитель: Из чего состоит полная поверхность пирамиды?

Учащиеся: Из основания и боковых граней.

Учитель: Назовите теперь все перечисленные элементы пирамиды по рисунку. (На доске показывается слайд №2)

Учащиеся: отвечают по рисунку.

Учитель: Давайте ещё раз вспомним, где в окружающей действительности встречаются объекты, имеющие форму пирамиды?

Учащиеся: Египетские пирамиды, крыши домов и т.д.

Учитель: Посмотрите на рисунок, какие виды пирамид вы чаще всего встречаете в окружающей действительности. (С помощью проектора на доске появляется изображения различных пирамид, слайд №3)

Учащиеся: Пирамиды 1, 3, 4.

Учитель: А почему именно эти пирамиды чаще всего встречаются в окружающей действительности? Какими свойствами они обладают?

Учащиеся:???

Учитель: Итак, мы с вами повторили, что называется пирамидой, и основные её элементы. Сегодня мы продолжим изучение пирамиды. И наша сегодняшняя задача – выделить особый вид пирамиды, дать определение этой пирамиде и выяснить, какими же свойствами она обладает.

 

II. Формирование новых знаний и способов действия.

Учитель: Давайте ещё раз скажем, из чего состоит полная поверхность пирамиды?

Учащиеся: Из основания и боковых граней.

Учитель: Что является основанием пирамиды?

Учащиеся: Плоский многоугольник.

Учитель: А какие бывают многоугольники?

Учащиеся: Выпуклые, треугольники, правильные и т.д.

Учитель: А как вы думаете, как называются пирамиды, в основаниях которых лежат правильные многоугольники?

Учащиеся: Правильные пирамиды.

Учитель: Действительно, выделяют особый вид пирамиды - правильная пирамида. И тема нашего сегодняшнего урока «Правильная пирамида». Записали тему в тетради. (Учитель записывает тему урока на доске) Но, оказывается, не все пирамиды, в основаниях которых лежат правильные многоугольники, будут являться правильными. Посмотрите на следующие пирамиды. (С помощью проектора на доске появляется изображения различных пирамид, слайд №4)

Как вы думаете, в каком случае у нас изображена правильная пирамида?

Учащиеся: Пирамиды 2 и 3.

Учитель: Верно. Что мы можем сказать про вершину правильной пирамиды (или про высоту пирамиды) по отношению к её основанию?

Учащиеся: Вершина правильной пирамиды проектируется в центр основания (или основание высоты совпадает с центром основания).

Учитель: Хорошо. Попробуем теперь сформулировать полное определение правильной пирамиды.

Учащиеся: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. (Слайд №5)

Учитель: Верно. В случае правильной пирамиды, помимо всех её элементов, т.е. вершины, основания, боковых рёбер, высоты, выделяется ещё один важный элемент – апофема. Что же называется апофемой? Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

(Учитель изображает правильную пирамиду и апофему на доске, учащиеся у себя в тетрадях)

 

Учитель: Действительно, в окружающей действительности довольно часто встречаются правильные пирамиды. Мы с вами дали определение правильной пирамиды. А какими же свойствами она обладает?

Учащиеся: ???

Учитель: Следующая наша задача – выяснить, какими свойствами обладает правильная пирамида. Решим следующую задачу: «Рабочему нужно возвести крышу в виде правильной четырёхугольной пирамиды. У него есть четыре заготовки по 9 м каждая на боковые рёбра. Он измерил одно ребро, оно оказалось равным 8м. Сможет ли он из оставшихся заготовок изготовить три других боковых ребра, не измеряя их?». К чему сводится решение задачи?

Учащиеся: Выяснить, чему равны остальные боковые рёбра правильной пирамиды.

(Учитель делает на доске чертёж и записывает краткое условие задачи)

 

Учитель: Как вы думаете, чему они равны?

Учащиеся: ???

Учитель: Чтобы ответить на вопрос, чему равны все боковые рёбра правильной пирамиды, если известна длина одного бокового ребра, проведём следующую исследовательскую работу. Цель этой работы – выяснить, каким особым свойством обладают рёбра правильной пирамиды. У каждого из вас на парте есть правильная пирамида. Давайте возьмём линейки и измерим все боковые рёбра ваших пирамид. Результаты запишите в тетради.

Учитель: Что у вас получилось?

Учащиеся: Все они равны.

Учитель: Какое предположение мы можем сделать о боковых рёбрах правильной пирамиды?

Учащиеся: Боковые рёбра правильной пирамиды равны.

Учитель: Но данное предположение мы сделали на основе рассмотрения конечного числа пирамид. А будет ли это свойство справедливо для всех правильных пирамид? Как мы в подобных случаях поступаем?

Учащиеся: Надо доказать данное утверждение.

Учитель: Давайте так и поступим. Изобразим правильную пирамиду (например, четырёхугольную), и запишем, что нам дано, и что надо доказать.

(Учитель делает на доске чертёж и записывает краткое условие утверждения, учащиеся у себя в тетрадях)

 

(Учащиеся пока не записывают доказательство в тетради)

Учитель: Можем ли мы сразу доказать это утверждение?

Учащиеся: Нет.

Учитель: Что следует из того, что нам дана правильная пирамида?

Учащиеся: В основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Учитель: Давайте построим высоту нашей пирамиды SO. Куда попадёт основание высоты?

Учащиеся: В центр квадрата.

Учитель: А что будет являться центром квадрата?

Учащиеся: Точка пересечения диагоналей.

Учитель: Найдём точку пересечения диагоналей и опустим в неё нашу высоту.

 

Откуда мы можем выразить боковые рёбра правильной пирамиды?

Учащиеся: Из ΔSAO, ΔSCO, ΔSBO, ΔSDO.

Учитель: Какие это треугольники, если учесть что SO – высота?

Учащиеся: Прямоугольные.

Учитель: SO у нас высота. Чем тогда будут являться отрезки AO, BO, CO, DO и отрезки SA, SB, SC, SD соответственно.

Учащиеся: Проекциями и наклонными.

Учитель: Что мы можем сказать про проекции данных наклонных?

Учащиеся: Они равны (как половины равных диагоналей, или как радиусы описанной окружности).

Учитель: Следовательно, из того что проекции равны, какой вывод мы можем сделать про соответствующие наклонные?

Учащиеся: Они равны по свойству наклонных.

Учитель: Доказали мы наше предположение?

Учащиеся: Да.

Учитель: Итак, мы доказали первое свойство правильной пирамиды, что боковые рёбра правильной пирамиды равны. Записываем данное свойство в тетради и оформляем его доказательство. (С помощью проектора на доске появляется доказательство первого свойства правильной пирамиды, слайд №6).

Данное свойство можно доказать для любой правильной пирамиды (треугольной, шестиугольной и т.д.).

Учитель: Можем ли мы теперь ответить на вопрос задачи (обращаемся к мотивационной задаче).

Учащиеся: Да, все рёбра равны 8м.

Учитель: Мы рассмотрели боковые рёбра правильной пирамиды. Давайте теперь внимательно посмотрим на боковые грани правильной пирамиды (на моделях и на чертеже). Что мы можем про них сказать?

Учащиеся: Они равны.

Учитель: А почему? Чем являются боковые грани пирамиды?

Учащиеся: Треугольниками.

Учитель: А какие это треугольники?

Учащиеся: Равные по трём сторонам (все боковые грани равны, а в основании правильный многоугольник).

Учитель: А что ещё можно сказать про эти треугольники, если учесть что боковые рёбра пирамиды равны?

Учащиеся: Эти треугольники равнобедренные.

Учитель: Мы получили с вами второе свойство правильной пирамиды, как следствие первого. Сформулируйте его.

Учащиеся: Боковые грани правильной пирамиды равны. Все грани – равные равнобедренные треугольники. (Слайд №7)

Учитель: Хорошо. Записываем его в тетрадь.

Учитель: Мы сегодня выделили ещё один элемент правильной пирамиды – апофему. Давайте внимательно посмотрим на боковые грани правильной пирамиды (на моделях и на рисунке). И вспомним, что называется апофемой.

Учащиеся: Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

Учитель: Можем ли мы что-нибудь сказать про апофемы правильной пирамиды.

Учащиеся: Они равны, как высоты равных треугольников, опущенные из соответствующих вершин.

Учитель: Т.е. мы получили третье свойство правильной пирамиды, как следствие второго. Сформулируйте его.

Учащиеся: В правильной пирамиде апофемы равны.

Учитель: Хорошо. Записываем его в тетради.

Учитель: Мы с вами получили 3 свойства правильной пирамиды. Но есть ещё одно важное свойство правильной пирамиды, которое касается двугранных углов при основании пирамиды. Как вы думаете, в чём оно заключается?

(Учитель выслушивает версии учащихся)

Учитель: Оказывается, что в правильной пирамиде все двугранные углы при основании равны. И сейчас мы постараемся это доказать. Есть желающие доказать это свойство у доски?

(К доске выходит учащийся)

Изобразим правильную пирамиду (например, четырёхугольную), и запишем, что нам дано, и что надо доказать.

(Учащийся делает на доске чертёж и записывает краткое условие утверждения, все остальные учащиеся у себя в тетрадях)

 

( Оформление доказательства четвёртого свойства проводится по мере ответов на вопросы)

Учитель: Можем ли мы сразу доказать это утверждение?

Учащиеся: Нет.

Учитель: Что следует из того, что нам дана правильная пирамида?

Учащиеся: В основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Учитель: Давайте построим высоту нашей пирамиды SO, как мы делали это при доказательстве первого свойства.

(Строим высоту SO)

 

Учитель: Чтобы доказать, что двугранные углы равны, что надо доказать?

Учащиеся: Что равны их линейные углы.

Учитель: Верно. Какие углы будут являться линейными для соответствующих двугранных углов при основании пирамиды? Как их построить? Рассмотрим два двугранных угла при основании пирамиды. Для остальных углов все рассуждения аналогичны.

Учащиеся: Надо опустить перпендикуляры в боковой грани и в плоскости основания к соответствующей стороне основания в одну точку.

Учитель: Так и поступим. Что будет являться перпендикуляром в боковой грани к стороне основания.

Учащиеся: Апофема.

Учитель: А в плоскости основания?

Учащиеся: Радиус вписанной окружности.

Учитель: Построим линейные углы двух соответствующих двугранных углов. Какие углы получим?

 

Учащиеся: и .

Учитель: Откуда мы можем выразить данные углы?

Учащиеся: Из ΔSOM и ΔSON.

Учитель: Какие это треугольники, если учесть что SO – высота.

Учащиеся: Прямоугольные.

Учитель: Как будем доказывать, что = ?

(Учащиеся высказывают свои версии)

Учитель: Здесь можно различными способами доказать равенство этих углов. Давайте ещё раз посмотрим на ΔSOM и ΔSON. Что можно сказать об этих прямоугольных треугольниках? Что у них общего?

Учащиеся: ΔSOM = ΔSON по катету и гипотенузе.

Учитель: Верно. Что можно сказать об углах и , входящих в ΔSOM и ΔSON соответственно?

Учащиеся: Они равны, как соответствующие элементы в равных треугольниках.

Учитель: Какой вывод про двугранные углы при основании пирамиды можно сделать?

Учащиеся: В правильной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

Учитель: Записываем это свойство в тетради.

Учитель: Итак, мы с вами познакомились с понятием правильной пирамиды.

А также сформулировали и доказали 4 свойства правильной пирамиды. Эти знания применяются при решении многих задач, в строительстве, в архитектуре и др. Давайте в оставшееся время попробуем применить эти знания к решению задач.

III. Применение знаний, формирование умений и навыков.

Учитель: Решим следующую задачу: «Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7см, а сторона основания – 8см. Найдите боковые рёбра пирамиды и площади боковых граней. (Учитель вызывает одного учащегося к доске)

Учитель: Прочитайте внимательно условие задачи. Что нам дано и что надо найти в задаче? Сделаем чертёж и запишем краткое условие задачи .

 

Учитель: Как вы построили высоту?

Учащиеся: Так как пирамида правильная, то основание высоты попадёт в центр основания, который является точкой пересечения диагоналей квадрата. Поэтому провели диагонали квадрата и в точку пересечения опустили высоту.

Учитель: Решим первую часть задачи. Что нам надо найти?

Учащиеся: Боковые рёбра правильной пирамиды.

Учитель: Нужно ли искать все боковые рёбра пирамиды?

Учащиеся: Нет. Так как пирамида правильная, то все боковые рёбра равны, по свойству 1. Достаточно найти одно боковое ребро, например, SA.

Учитель: Как его найти? Откуда удобнее выразить это ребро?

Учащиеся: Из ΔASO.

Учитель: Что это за треугольник, если учесть, что SO – высота?

Учащиеся: Так как SO ^ (АВС)ÞSO перпендикулярна любой прямой плоскости АВС Þ SO^AО Þ Δ SOA– прямоугольный.

Учитель: Как тогда можно найти ребро SA?

Учащиеся: SA= по теореме Пифагора.

Учитель: Всё ли нам известно для нахождения SA?

Учащиеся: Нам не известно АО.

Учитель: Можем ли мы найти АО? Чем является АО?

Учащиеся: АО – половинка диагонали АС.

Учитель: Знаем ли мы, чему равно АС?

Учащиеся: Нет.

Учитель: Как можно найти АС? Что лежит в основании пирамиды?

Учащиеся: Квадрат.

Учитель: Чему равна диагональ квадрата АС?

Учащиеся: АС =

Учитель: Посмотрите на условие задачи. Можем ли мы вычислить диагональ АС?

Учащиеся: АВ = 8см  АС= 8 см

Учитель: Чему равно АО?

Учащиеся: АО =4 см

Учитель: Можем ли мы теперь вычислить SA?

Учащиеся: Да. SA = cм.

Учитель: Ответили ли мы на первый вопрос нашей задачи?

Учащиеся: Да. SA=SB=SC=SD=9см.

Учитель: Хорошо. Решим вторую часть нашей задачи.(Учитель вызывает другого учащегося).

Учитель: Что нам надо найти?

Учащиеся: площади боковых граней правильной пирамиды.

Учитель: Нужно ли искать все площади боковых граней пирамиды?

Учащиеся: Нет. Так как пирамида правильная, то все боковые грани равны, по свойству 2. Достаточно найти площадь одной боковой грани, например, SAВ.

Учитель: Как будем искать площадь боковой грани SAB? Чем являются боковые грани пирамиды?

Учащиеся: Треугольниками.

Учитель: Что можно сказать про треугольник SAB, если учесть, что боковые рёбра пирамиды равны?

Учащиеся: Треугольник SAB – равнобедренный.

Учитель: Как можно найти площадь треугольника?

Учащиеся: Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.

Учитель: Какую высоту лучше провести в ΔSAB?

Учащиеся: Из вершины S.

Учитель: Чем является эта высота в нашей пирамиде?

Учащиеся: Апофемой.

Учитель: Проведём апофему боковой грани SAB. Обозначим её SM. (Ученики изображают апофему на том же чертеже)

 

Учитель: Чему тогда равна площадь ΔSAB?

Учащиеся:

Учитель: Всё ли известно для нахождения площади?

Учащиеся: Нет. Нам не известно АМ.

Учитель: Откуда можно выразить АМ?

Учащиеся: Из прямоугольного ΔSМB. SM= .

Учитель: Что не известно для нахождения SM?

Учащиеся: МВ.

Учитель: Как найти МВ? ΔSAB – равнобедренный, следовательно, чем будет являться высота SM?

Учащиеся: Биссектрисой и медианой.

Учитель: Если SM – медиана, то как можно найти МВ?

Учащиеся: МВ = АВ=4см

Учитель: Вычислите SM.

Учащиеся: SM = см.

Учитель: Можно ли теперь найти площадь ΔSAB?

Учащиеся: Да, S=4 см²

У читель: Ответили ли мы на второй вопрос задачи?

Учащиеся: Да, см²

Учитель: Хорошо. Есть ли у кого вопросы по этой задаче?

Учащиеся: Нет.

Учитель: Итак, наш с вами урок подходит к концу. Давайте подведём его итог. Что нового мы сегодня узнали? Какие интересные и нужные факты для решения задач установили?

(Повторяются основные моменты изученной темы)

• Что называется правильной пирамидой;

• Что называется апофемой;

• Какими свойствами обладает правильная пирамида, и в чём они заключаются.

(Учащиеся отвечают на поставленные вопросы)

Учитель: Хорошо. Сегодня на уроке мы дали определение правильной пирамиды, сформулировали и доказали её свойства, а также решили задачу на применение этих знаний. Записываем домашнее задание

Д/з: п.179, № 59(3), №60(1),

Задача №1: Дана правильная пятиугольная пирамида SABCDE. Апофема SM треугольника ASB равна 10 см. Сторона основания BC равна 6 см. Найти боковую поверхность пирамиды.

Учитель: Сегодня все хорошо работали. Всем спасибо. До свидания.

(Учитель прощается с классом)