Конспект урока математики "Функция у=k/х и её график"; 8 класс

Конспект урока по теме

« Функция у=k/х и её график»

Алгебра, 8 класс

Выполнил учитель

ГБОУ Школа №1360

г.Москва

Плохих Юлия Николаевна

Урок по теме: «Функция у=k/х и её график».

Цели урока:

• Познакомить учащихся с новой функцией, её графиком; научить строить графики функций, заданных этой формулой.

• Расширить знания учащихся в данной области; прививать графическую культуру, развивать навыки работы декартовой плоскостью.

Оборудование: таблица с графиками функций вида у = k/х, карточки для самостоятельной работы.

Ход урока

I.Урок начинается с повторения. Учащимся предлагается разгадать кроссворд, который заранее подготовлен на большом листе бумаги.

(Презентация 1, слайд №2)

Вопросы кроссворда

( ответы даны в квадратных скобках)

1. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. [Функция]

2. Независимая переменная. [Аргумент]

3. Множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – значения функции. [График]

4. Функция, заданная формулой у=kх+b. [ Линейная]

5. Каким коэффициентом называют число k в формуле у=kx+b? [Угловым]

6. Что служит графиком линейной функции? [Прямая]

7. Если k≠0, то график у=kx+b пересекает эту ось, а если k=0, то параллелен ей. Какой буквой эта ось обозначается? [Икс]

8. Слово в названии функции у=kx. [Пропорциональность]

9. Функция у=х². [Квадратичная]

10. Название графика квадратичной функции. [Парабола]

11. Буква латинского алфавита, которой часто обозначают функцию. [Игрек]

12. Один из способов задания функции. [Формула]

После того, как кроссворд разгадан, классу задаётся вопрос:

«Какие основные способы задания функции нам известны?»

Ответ: Формулой, с помощью графика или таблицы.

Задание одному учащемуся: Заполнить таблицу значений функции у=12/х по данным значениям её аргумента (табл.1 и табл.2).

Таблица 1

Таблица 2

Вопросы к остальным учащимся:

• Как называются следующие функции, заданные формулами:

у=kx, y=kx+b, y=x², y=kx², y=x³, y=kx³?

• Укажите области определения следующих функций:

у= х²+8, у=2х, у=7-5х, у=х³, у=1/(х-7), у=(4х-1)/5, у=2/х, у= -10/х.

(Замечание. В данном списке функций можно видеть и те, которые мы только собираемся изучать, т.е. функции вида у=k/х. но учащиеся уже могут ответить на поставленный вопрос, используя свои знания о дробях и часто встречавшийся ещё в начальных классах запрет: «На ноль делить нельзя».)

После фронтального разбора вопросов внимание класса привлекается к ученику, работающему у доски. Проверятся, верно ли выполнено задание.

Задание другому учащемуся: По данным в таблице координатам (х,у) построить на координатной плоскости соответствующие точки.

Ученик приступает к работе, остальные отвечают на вопросы учителя по следующим рисункам. (см. ниже)

1.На каком рисунке изображён график:

1. линейной функции;

2. прямой пропорциональности;

3. квадратичной функции;

4. функции вида y=kx³ ?

2. Какой знак имеет коэффициент k в формуле вида у=kх+b, которым соответствуют графики на рис.1, 2, 4, 5 ?

3. Найдите на рисунках графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты: а) равны; б) равны по модулю и противоположны по знаку.

(Презентация 2)

II. Учитель: Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем мире. Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами х и у и площадью 12см². Известно, что х ^. у=12. Но что будет, если начать изменять одну из сторон прямоугольника, допустим сторону длиной х ? Длину стороны у можно узнать из формулы у=12/х. Если х увеличить в 2 раза, то будем иметь у= 12/ 2х, т.е. сторона у уменьшится в 2 раза. Если значение х увеличивать в 3, 4, 5… раз, то значение у во столько же раз уменьшается. Наоборот, если х уменьшать в несколько раз, то у будет увеличиваться во столько же раз. Поэтому функцию вида у=12/х называют обратной пропорциональностью.

В общем виде она записывается так:

у=k/х, где k – константа, причём k≠0.

Такие функции встречаются очень часто. Все помнят из курса физики закон Ома: I=U/R. Он гласит, что если напряжение U постоянно, то сила тока I обратно пропорциональна сопротивлению R проводника. Сходной формулой описан закон Бойля – Мариотта для идеального газа: если его масса m постоянна, то объём V газа обратно пропорционален его температуре t : V=m/t.

Для функции у=12/х, являющейся частным видом обратной пропорциональности, мы уже записали в табл.1 и 2 ряд значений аргумента и функции и изобразили соответствующие точки на координатной плоскости.

(Презентация 3)

Как же выглядит график данной функции?

По построенным точкам трудно судить обо всём графике, ведь точки можно соединить как угодно. Давайте попробуем вместе сделать выводы о графике функции, вытекающие из рассмотрения таблицы и формулы.

Вопросы и ответы

1. Какова область определения функции у=12/х ?

- Все числа, кроме 0.

2. Положительны или отрицательны значения у, если: х < 0, х > 0 ?

- При х < 0 имеем: у < 0;

- при х > 0 имеем: у > 0.

3. Как меняется переменная у с изменением х ?

- При х > 0:

если х → 0, то у → + ∞, если х → + ∞, то у → 0.

- При х < 0:

если х → 0, то у → - ∞, если х → - ∞, то у → 0.

Выводы

1. Точка (0; 0) не принадлежит графику, т.е. он не пересекает ни оси Ох, ни оси Оу.

2. График находится в I и III координатных четвертях.

3. Плавно приближается к координатным осям как в I координатной четверти, так и в III , причём он подходит к осям как угодно близко.

Располагая этими сведениями, мы уже можем соединить точки на рисунке (Презентация 3) и увидеть график функции у=12/х целиком.

Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает ”прохожу через что-либо”. Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в IV в. до нашей эры. Термин ”гипербола” ввёл Аполлоний из г.Пергам (Малая Азия), живший в III – II вв.до н.э. Он показал, что гипербола получается, если взять произвольный круговой конус, полости которого простираются по обе стороны от вершины, и пересечь обе его полости плоскостью, параллельной прямой АА₁ (см.рис.).

Теперь отчасти понятно, почему кривая получила такое название: мы увидим её в сечении всякий раз, когда плоскость проходит через обе полости конуса.

Гипербола устремляется ввысь настолько быстро и настолько быстро падает вниз, прижимаясь соответственно то к оси ординат, то к оси абсцисс, что становится ясно, почему таким словом ”гипербола” называется стилистический приём, состоящий в образном преувеличении или преуменьшении, например: ”наметали стог выше тучи”, ”стал Иванушка ниже былинки в поле”.

Теперь рядом с графиком функции у=12/х построим график функции

у= -12/х.

(Учащиеся выполняют это задание в тетрадях, один ученик – у доски.)

Сравнивая оба графика, учащиеся замечают, что второй занимает II и IV координатные четверти, а оба графика симметричны относительно начала координат. К тому же если график функции у=12/х отобразить симметрично относительно оси Оу , то получим график функции у= -12/х.

Вопрос: Как зависит расположение графика гиперболы у=k/х от знака и от значения коэффициента k? (Демонстрируется таблица с графиками при различных значениях k )

Учащиеся убеждаются, что если k > 0, то графики располагаются в I и III координатных углах, а если k < 0, то во II и IV. Далее они видят, что чем больше k по абсолютной величине, тем выше над началом координат располагается одна ветвь и тем ниже - другая.

III. З а к р е п л е н и е изученного проходит при выполнении заданий трёх видов:

1. Заполнить таблицу значений данной функции (например, у=8/х ).

2. Выяснить вопрос о принадлежности точки, заданной своими координатами, конкретному графику (у=8/х ).

3. Найти по графику значения у , если даны значения х, и наоборот.

IV. Урок заканчивается самостоятельной работой, которая даётся в трёх вариантах различной трудности:

I вариант облегчённый;

II вариант – средней трудности;

III вариант – повышенной трудности.

Самостоятельная работа

I в а р и а н т

Постройте график обратной пропорциональности у = -6/х с помощью таблицы.

II в а р и а н т

Постройте график обратной пропорциональности у = 16/х, предварительно заполнив таблицу.

III в а р и а н т

Постройте таблицу некоторых значений функции у = 10/х и её график.

♦

Листы с построенными графиками учащиеся сдают на проверку учителю.