Статья "Решение неравенств и уравнений. Задача С3"

 

 

 

 

 

 

Задача 1.1. Решите неравенство

 

Решение:

 

 

 

Задача 1.2. Решите неравенство:

 

Решение:

В этом случае рассматриваем ОДЗ:

 

 

Из этого следует, что рассматриваем три случая решения

нет решения

 

 

 

 

 

Объединяем решения и получим ответ.

Ответ:

 

Задача 1.3 Решите неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.4. Решите неравенство

 

2. Иррациональные уравнения и неравенства

1. 1. Методы решения иррациональных уравнений

1. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

1. , где

Пример 1. Решить уравнение:

 

Решение. Это уравнение равносильно системе

,

Решая уравнение системы, находим два его корня

.

Корень х₁ является корнем исходного уравнения, а х₂ положителен, не удовлетворяет неравенству – х  0, поэтому является посторонним.

Ответ.

2. , где

Пример 2. Решить уравнение:

.

Решение. Возведем обе части в квадрат, понимая, что при этом действии возможно приобретение посторонних решений за счет расширения ОДЗ. Получим уравнение

 

Приводя подобные слагаемые, приводим к квадратному уравнению

 

Оно имеет два корня

 

Далее необходимо сделать проверку. Подставим эти корни в одно (любое) из подкоренных выражений

 

 

Ответ. х = 1

 

2. Метод введения новой переменной (замена переменной)

Пример 3. Решить уравнение:

.

Решение. Некоторые школьники (большинство), столкнувшись с подобной задачей, используют замену

 

В результате такой замены уравнение принимает вид

 

Конечно, это уравнение выглядит проще исходного, но оно все же остается иррациональным. Более существенного продвижения можно достичь, если ввести новую переменную (замену)

 

не забывая учесть, что у  0. Для новой переменной уравнение перепишется в виде

 

Решая его, находим корни

 

Корень у₂ является посторонним решением, т.к. не удовлетворяет условию неотрицательности переменной у. осталось решить уравнение

 

Где корни уравнения соответствует значениям

 

Можно не делать проверку, т.к. его правая часть положительна при любых значениях переменной х.

Ответ.

3. Уравнения вида

 

 

 

 

1. 2. Методы решения иррациональных неравенств.

Принцип решения иррациональных неравенств похож на решения иррациональных уравнений, но с небольшими отклонениями.

Виды неравенств:

1.  

 

Пример 1. Решите неравенство:

 

Решение:

объединяем оба решения и получаем ответ.

 

Ответ:

2. ,

 

Пример 2. Решите неравенство

 

Решение:

объединяем решения и получаем ответ.

 

Ответ:

3.  

4.  

Пример 4. Решите неравенство:

 

Решение. Самостоятельно

Ответ.

5. Обобщенный метод интервала

 

 

 

3. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Но это не означает, что необходимо заучивать весь мощный массив тригонометрических соотношений, да вряд ли это возможно. Наизусть необходимо помнить лишь наиболее употребительные формулы. Это:

- основные тригонометрические функции (cos x, sin x, tg x, ctg x)$

- тригонометрические формулы (функции одного угла (единичный окружность), формулы привидения, функции суммы и разности двух углов, функции двойного и половинного аргумента, произведения и сумма тригонометрических функций, формула вспомогательного аргумента)

- простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

3.1. Методы решения тригонометрических уравнений

Пример 1. Решить уравнение:

 

Решение:

1 способ: Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

 

На единичном круге находим значение косинуса равное получим и вспомним область значение арккосинуса: arccos a .

2 способ. Применив формулу понижения степени, можно записать

 

Решение последнего уравнения не составляет трудностей.

Ответ.

Пример 2. Решить уравнение:

 

Решение. Способ решения состоит в переходе к разности синусов

 

 

 

Ответ.

Пример 3. Решить уравнение:

 

Решение. Для этого вспомним, как мы решали уравнение вида для всевозможных значений коэффициента а. для решения рассмотрели два случая и получили

 

 

Аналогично нужно решать и следующее уравнение

 

Рассмотрим два случая

1. Пусть . Тогда равенство невозможно, т.к.

2. Пусть . Тогда можно извлечь корень их обеих частей уравнения, не забывая при этом подставить знак «±». Получим

 

Ответ.

Пример 4. Решить уравнение:

 

Решение. Легкомысленно получить ответ в два счета

 

 

Sin х не может принимать значение, по модулю больше единицы, а выражение больше единицы, при всех значениях . Поэтому это уравнение не имеет решение.

Ответ.

1. 1. 1. Решение уравнений разложением на множители

Пример 5. Решить уравнение:

 

Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла и запишем уравнение в виде

 

 

 

 

У первого уравнения нет решения, зато у второго уравнения есть решения.

 

Ответ.

 

 

1. 1. 2. Преобразование суммы или разности в произведение

Пример 6. Решить уравнение

 

Решение. Преобразуем разность синусов в произведение

 

 

 

 

Второе множество решений целиком содержит в себе второе множество, поэтому в ответ записывается только оно.

Ответ.

 

1. 1. 3. Преобразование произведения в сумму

Пример 7. Решить уравнение

 

Решение. Применим к обеим частям уравнения формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Получим

 

 

Преобразуем разность синусов в произведение, приходим к уравнению

 

Ответ.

 

1. 1. 4. Сведения с рациональными уравнениями

Пример 8. Решить уравнение

 

Решение. Применим основное тригонометрическое тождество, получим уравнение

 

 

Сделаем замену t = sin x, -1≤ t ≤1 и приведем к квадратному уравнению

 

 

Второй корень отбросим, потому что он не удовлетворяет условию -1≤ t ≤1, следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

 

Ответ.

 

1. 1. 5. Однородные тригонометрические уравнения

1. Однородными уравнениями первой степени относительно sin x и cos x называются уравнения вида

 

где a и b – некоторые числа.

Пример 9. Решить уравнение

 

Решение. Разделим левую и правую часть уравнения на

 

Ответ.

 

2. Однородными уравнениями второй степени относительно sin x и cos x называются уравнения вида

 

где a, b, c – некоторые числа.

Пример 10. Решить уравнение

 

Решение. Разделить левую и правую часть уравнения на выражения .

tg²x – 3 tg x + 2 = 0

tg x = 1 tg x = 2,

Ответ.

 

1. 1. 6. Линейные тригонометрические уравнения

Линейным тригонометрическим уравнением называют уравнение

 

где a, b, c – некоторые числа.

Пример 11. Решить уравнение

 

Решение.

Способ 1. Универсальная тригонометрическая подстановка

 

 

При таком переходе возможна потеря решений; следует помнить, что исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, а выражение не определено при

 

 

Именно эти значения могут быть потеряны. Поэтому такие значения необходимо проверять отдельно, подставляя их в исходное уравнение.

Итак, введем новую переменную и преобразуем исходное уравнение

 

 

 

Не забудем подставить в исходное уравнение значения

 

Ответ.

Способ 2. Введем вспомогательный аргумент

 

 

 

Ответ.

 

1. 1. 7. Уравнения вида

Уравнения вида

где P(x,y) – некоторый многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

 

При такой замене уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 12. Решить уравнение

 

Решение. Введем новую переменную .

 

 

 

 

Возвращаясь к исходной переменной, получаем два уравнения для нахождения значений переменной х

 

Решениями первого уравнения является множество чисел

 

а второе уравнение решений не имеет, т.к.

Ответ.

 

1. 1. 8. Уравнения, содержащие тригонометрические функции под знаком радикала

Пример 13. Решить уравнение

 

Решение. В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида

 

запишем систему, равносильную уравнению,

 

Преобразуем первое уравнение данной системы

 

Из этих двух серий условию удовлетворяют только решение

 

Ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1^ Из сайта MathUs.ru И.В.Яковлев: Материалы по математике

2^ Из книги ЕГЭ 2011. Математика. Задача С3. Сергеев И.Н., Парфенов В.С. 2011, стр.36-37

3^ О.Ю.Черкасов, А.Г.Якушев. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. – М.: АСТ-ПРЕСС, стр.154

7