Презентация к уроку геометрии "Теорема Пифагора"; 8 класс

Теорема невест, нимф, бабочки, 100 быков, «бегство убогих», «мост ослов».

Теорема Пифагора Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением. Иоганн Кеплер

Пифагор – с греческого «тот, кого предсказала Пифия». Пифия сообщила Мнесарху, отцу Пифагора, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, т.к. был известен ещё древним египтянам.

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путем К результату мы придем!

Пребудет вечной истины, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора верна, Как и в его далекий век.

Способы доказательств теоремы Пифагора

• На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

• Все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические. • Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальных уравнений, стереометрии, и даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге. • Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда.

Простейшее доказательство B A C • Нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности. Достаточно просто посмотреть на мозайку равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.

Алгебраический метод a b a с • Находим площадь квадрата двумя способами: с b c2 с a a b • Приравниваем, упрощаем и получаем:

Доказательство Бхаскара (древнеиндийское доказательство) • Бхаскара (1114—1185) — крупнейший индийский математик и астроном XII века. • Возглавлял астрономическую обсерваторию в Удджайне. • Написал трактат «Сиддханташиромани» («Венец учения»), состоящий из четырёх частей: «Лилавати» посвящена арифметике, «Биждаганита» — алгебре, «Голадхайя» — геометрии на сфере, «Гранхаганита» — теории планетных движений.

Доказательство Бхаскара (древнеиндийское доказательство) • Этот индийский математик в пояснении к рисунку написал только одну строчку: "Смотри!". • Используем формулу площади квадрата ,чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. Посчитаем ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: Приравняем обе части, упрощаем и в результате получим формулу теоремы Пифагора:

«Стул невесты» (древнекитайское доказательство) • Если мысленно отрезать от чертежа на первом рисунке два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной c и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты». • Вы убедитесь, что «стул невесты» образует два квадрата: маленький со стороной b и большой со стороной a.

Доказательство Гарфилда • Дже́ймс Абрам Га́рфилд (19.11.1831 — 19.09.1881 ) — 20-й президент США (март — сентябрь 1881), разносторонне одарённый самоучка, военачальник и активист Республиканской партии. • Был тяжело ранен через три месяца после вступления в должность и умер через два с половиной месяца от последствий неудачного лечения.

Доказательство Гарфилда Пользуется тем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, а площадь трапеции равна произведению полусуммы параллельных оснований на высоту. Чтобы доказать теорему, достаточно только выразить площадь трапеции двумя способами, приравнять полученные равенства и упростить:

Доказательство Мёльманна • Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна , с другой, , где р - полупериметр треугольника, r радиус вписанной в него окружности. Откуда следует, что

Доказательство Насир-эд-Дина • Насир ад-Ди́н Абу́ Джафар Муха́ммад ибн Муха́ммад Ту́си (18.02.1201 — 26.06.1274) — п ерсидский математик, механик и аст роном XIII века, чрезвычайно разносторонний учёный, автор сочинений по философии, географии, музыке, о птике,медицине, минералогии. • Был знатоком греческой науки, комментировал труды Евклида, Архимеда, Автолика , Феодосия, Менелая, Аполлония,Ар истарха, Гипсикла, Птолемея.

Доказательство Насир-эд-Дина

Доказательство Гофмана Отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них и получим

Доказательство Энштейна • Основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников. • Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.

Доказательство Аннариция • Абу-л-Аббас ал-Фадл ибн Хатим ан-Найризи (ум. ок. 922) — видный персидский математик и астроном, уроженец города Найриза в Ширазе. • Работал в «Доме мудрости» в Багдаде. • В Западной Европе был известен под латинизированным именем Аннариций.

Доказательство Аннариция • Квадрат на гипотенузе разбит на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах. Любопытно, что это доказательство является простейшим среди огромного числа доказательств методом разбиения: в нём фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений. • Также это доказательство называется «шарнирным», потому что здесь меняют своё положение только две части, равные исходному треугольнику, причём они как бы прикреплены к остальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются

Доказательство Перигаля • Генри Перигаль, младший (01.03.1801 – 06.06.1898 г.) – британский биржевой брокер и математик-любитель, известен своим способом доказательства теоремы Пифагора и неортодоксальными убеждениями, что Луна не вращается.

Доказательство Перигаля Через центр квадрата, построенного на большем катете, проводят прямые: одну - параллельную и одну перпендикулярную гипотенузе. В книгах фрагмент этого рисунка называют «колесо с лопастями». Соответственно равные многоугольники одинаково пронумерованы. Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом.

Доказательство Евклида S 2 S 3 S 1

Доказательство Леонардо да Винчи • Главные элементы доказательства — симметрия и движение. • Как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). • Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. • Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. • С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. • Отсюда и следует доказываемое нами равенство.

Доказательство Хоукинса • Джеральд Стэнли Хокинс (1928— 2003) —британский астроном, широко известен своими исследованиями в области археоастрономии. • Доктора наук по радиоастрономии, профессор астрономии и председатель управления Бостонского университета, автор работ по самым различным темам.

Доказательство Хоукинса C C • Хоукинс задаёт поворот плоскости по часовой стрелке с центром в точке С на 90 градусов. Тогда образом при этом повороте станет • Обозначим: • Проведём • Четырехугольник можно разложить на два равнобедренных и высоты имеют общее основание поэтому :

Доказательство Бетхера Бетхер показывает, как из треугольников, входящих в состав квадратов, построенных на катетах, составить квадрат, построенный на гипотенузе. Нижние треугольники 8 и 4 отодвигаем от фигуры 5-1, перераспределяем 7;6;2;3 так, как показано на втором рисунке.