Конспект занятия элективного курса "Решение иррациональных уравнений с параметром"; 11 класс

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

УУД

1. Организационный момент

Проверяет готовность учащихся к занятию. Создает эмоциональный настрой на работу: «Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах». Г. Цейтен.

Сообщает о необходимости поделиться на 3 группы.

Готовятся к занятию. Высказывают свои мысли на приведенную цитату.

Личностные: самоопределение к действию.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: планирование сотрудничества с учителем и учащимися.

2. Постановка цели и задачи урока

Обратите внимание н данное уравнение . Что вы можете о нем рассказать.

Наводит учащихся на формулирование темы, постановку цели занятия и задач..

- это иррациональное уравнение

-есть параметр а.

Формулирует тему урока, ставят цели и формулируют задачи

Регулятивные: формирование мотивации к учению.

Познавательные: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.

3. Актуализация знаний

Что из себя представляет уравнение с параметром?

Как записать уравнения в общем виде:

?

- Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области.

- .

Личностные: планирование учебной деятельности.

Регулятивные: целеполагание; использование имеющихся знаний и опыта.

Познавательные: структурирование знаний, выделять главное, систематизировать, знания, самопроверка имеющихся знаний

4. Изучение нового материала

Сегодня мы с вами рассмотрим иррациональные уравнения с параметром, наша задача рассмотреть различные способы решения, проанализировать каждый способ, составить алгоритм решения. Каждая группа получает свой метод (были знакомы еще раньше с этими методами).

1. Аналитический метод

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Решить уравнение

Выполнив вычисление, проанализируйте решение и сделайте выводы.

2. Графический метод

Для каждого значения параметра а, определить число решений:

Выполнив вычисление, проанализируйте решение и сделайте выводы.

3. Метод «коридоров»

При каких значениях параметра а уравнение:

имеет два корня? Выполнив вычисление, проанализируйте решение и сделайте выводы.

Внимательно слушают учителя.

1. Выполняют решение методом избавления от радикала (возведение в квадрат).

D=2a-1→a=0,5

При a>0,5 x_1,2=0,5(1± )

При a=0,5 x=0,5

При x<0,5 уравнение не имеет решения

Проверка:

- при подстановке х=0,5 в уравнение (1), получаем неверное равенство, значит х=0,5 не является решением уравнения;

- при подстановки х₁ в уравнение (1) мы получаем, что левая часть принимает отрицательное значение, следовательно не подходит;

- при подстановки х₂ в уравнение (1) имеет истинное равенство при , условие выполнимо при а≥1, следовательно х₂ корень уравнения при а≥1

Данный метод не наглядный, трудоемкий и надо проводить много исследований полученных промежутков.

2. Построим график функции .

Пусть х≥0, тогда у= .

– окружность с центром (1;0) и радиусом 1.

Пусть х <0, тогда у= .

– окружность с центром (-1;0) и радиусом 1.

Применение данного метода позволяет выделить следующие преимущества: наглядность, легкость в вычислениях.

Рассмотрим функцию у=а.

Посмотрим случаи этой прямой:

- при а>1, уравнение не имеет решения;

- при а=1, уравнение имеет 2 решения;

- при а=0, уравнение имеет 3 решения;

- при 0< а<1, уравнение имеет 4 решения.

3. равносильно системе

Получим совокупность двух систем:

.

Подставим вместо х в первом неравенстве параметр а, а во второе параметр – а:

.

.

Отложим на числовой прямой значения, которые может принимать параметр а:

Очевидно, что при а<0 уравнение имеет 1 корень х= -а, при а=0, также 1 корень х=0, а при а>0, уравнение имеет 2 корня х=а, х= -а.

Этот метод позволяет наглядно увидеть сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и какие это корни.

Познавательные: работа по поиску и выделению необходимой информации; умение структурировать знания.

Коммуникационные: умение оформлять свои мысли.

5. Закрепление полученных знаний

Пример. При каких значениях параметра а, уравнение =2+х имеет единственное решение. Выберете рациональный способ решения.

Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, т. е. построим 2 функции:

У₁ =2+х

У₂ =

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (-2; 0).

График 2 функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а=0. При изменении параметра график будет передвигаться влево (при а>0) и вправо (при a<0).

Из графиков видно, что при а<-2 графики не пересекаются, следовательно, нет общих решений. Если а≥-2, графики имеет одну общую точку пересечения, а следовательно 1 решение ( при а=-2).

Регулятивные: целеполагание.

Личностные: самоопределение к действию.

Познавательные: умение выстраивать цепочку логических рассуждений.

6. Домашнее задание

Выполнить исследовательскую работу «Такие разные иррациональные уравнения

с параметром».

Записывают домашнее задание. Задают интересующие вопросы по заданию и его оформлению.

Познавательные: рефлексия способа и условий действия, контроль и оценка процессов результата деятельности, адекватное понимание причин успеха и неуспеха.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой формулировать и выражать свои мысли.

7. Подведение итогов

«Не так уж и трудно задачи решать:

Проблема дает вдохновенье

Искусство же в том, чтоб суметь отыскать

Задачу, когда есть решенье».

П. Хэйн

П. Хэйн

Какие выводы вы можете сформулировать по нашему занятию?

Решая иррациональное уравнение с параметром мы установили, что графики значительно облегчают решение уравнения. Поэтому при решении уравнений с параметром полезно выполнять графические иллюстрации, что делает решение более наглядным, понятным, простым и красивым. Графические построения помогают осмыслить решение уравнения с параметром.

Для решения уравнений с параметром надо уметь читать графики уравнений с параметром.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и

точностью выражать свои мысли.

Познавательные: рефлексия.

Личностные: самоопределение, смыслообразование..