Справочные таблицы по алгебре и началам анализа 11 класс

Свойства функции у= и её график 11кл.А.01
у=
Свойства:
1.Область определения – множество R всех действительных чисел.
2.Множество значений – отрезок .
3.Периодическая, наименьший положительный период равен 2π.
4.Чётная:
5.Наибольшее значение, равное 1, принимает при х=2πn, где n
наименьшее значение , равное -1, принимает при х=π+2πn, где n значение , равное нулю, принимает при х= + πn, где n положительные значения – на интервалах ( - + 2πn; +2 πn), где n отрицательные значения – на интервалах ( +2 πn; +2 πn), где n
6.Возрастающая на промежутках , где n
убывающая на промежутках , где n
у= cos x
у
1
-2 - -π - -1 х

Найти множество значений функции:
1. у= 2. у=
-1 ≤ -1 ≤
-5 ≤ 4 ≤ | : 2
2 ≤ 3
у у
Свойства функции у= и её график 11кл.А.02
у=
Свойства:
1.Область определения – множество R всех действительных чисел.
2.Множество значений – отрезок .
3.Периодическая, наименьший положительный период равен 2π.
4.Нечётная:
5.Наибольшее значение, равное 1, принимает при х= 2πn, где n
наименьшее значение , равное -1, принимает при х=- +2πn, где n значение , равное нулю, принимает при х=πn, где n положительные значения – на интервалах (2πn; +2 πn), где n отрицательные значения – на интервалах ( +2 πn; 2 πn), где n
6.Возрастающая на промежутках , где n
убывающая на промежутках , где n
у= sin x
у
1
-2 - -π - -1 х
Найти множество значений функции:
1. у=sin x -3 2.у=3 sin x-4
-1≤ sin x -3≤ 1 -1 ≤ 3 sin x -4 ≤ 1
2≤ sin x ≤ 4 3 ≤ 3 sin x ≤ 5 | :3
1 ≤ sin x ≤
у у

Функция у =tg x и её график 11кл.А.03
у =tg x

1.Область определения – множество всех действительных чисел, кроме πn, где n .
2.Множество множество R всех действительных чисел.
3.Периодическая, наименьший положительный период равен π.
4.Нечётная: tg ( -x) = tg x.
5.Значение, равное нулю, принимает, при х= πn, где n положительные значения – на интервалах (πn; πn) , где n отрицательные значения – на интервалах (- πn; πn) , где n
6.Возрастающая на интервалах (- πn; πn) , где n

у

- - - 0 х
-2π -π π 2π

Производная 11кл.А.04

Таблица производных
№ f(x) f ' (x) № f(x) f ' (x)
1. C-постоянная 0 9. ln(kx+b)
2. kx+b k 10.
3. xp p•xp-1 11.
4. (kx+b)p k•p•(kx+b)p-1 12. sin(kx+b) kcos(kx+b)

5. ex ex 13. -sinx
6. e kx+b k• e kx+b 14. cos(kx+b) -k sin(kx+b)
7. ax ax ln a 15. tgx
8. ln x 16. ctgx -

Нахождение наибольшего и наименьшего 11кл.А.05
значения функции

Пример:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = х3+ на отрезке .
1.f(
2.f '(x)= 3x2- , x1=1, x2=-1.
Интервалу ( принадлежит одна стационарная точка x1=1,f(1)=4.
3.Из чисел 4 наибольшее , наименьшее 4.
Схема исследования функции 11кл.А.06
для построения графика
Для построения графика функции сначала исследуют свойства функции с помощью её производной.
При исследовании свойств функции полезно найти:
1.область определения функции;
2.производную;
3.стационарные точки;
4.промежутки возрастания и убывания;
5.точки экстремума и значения функции в этих точках.

Пример:
Построить график функции f(x) =1- 2,5х2-х5.
1.Область определения - множество R всех действительных чисел.
2.f '(x)=-5x -5x4= -5x(1+x3).
3.Решая уравнение -x(1+x3)=0, находим стационарные точки х1=-1 и х2=0.
4.Производная положительна на интервале -1<х<0, следовательно, на этом интервале функция возрастает. На промежутках х< -1 и х> 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.
5.Стационарная точка х1=-1 является точкой минимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»; f(-1)=-0,5.Точка х2=0- точка максимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-»;f(0)=1.
х х<-1 -1 -1<х<0 0 х>0
f '(x) - 0 + 0 -
f(x)
-0,5
1

у
1
-1 1 х

Первообразная 11кл.А.07

Примеры:
1.f(x)=x2, F(x)= =f(x).
2.f(x)=x5, F(x) = =f(x).

Правила вычисления первообразных 11кл.А.08
№ Правила Примеры
1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. f(x) =х2, F(x)= Первообразная
g(x) =2х, G(x)= х2 для функции f(x)+ g(x):
х2

2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной f(x)=х3; F(x)= х3, значит,
F1(х)=3•

3. Если F(x) – первообразная для f(x), k и b – постоянные, где k≠0, то

f(x)=(2x-1)5. Для h(x)=х5- первообразная H(x)= . Для функции h(2x-1) =(2х-1)5 первообразной будет H(2x-1) =

F(x)=

Таблица первообразных
Функция Первообразная
xp, p≠-1
ln x+C
ex
ex +C
Sinx
-cosx +C
Cosx
sinx +C
(kx+b)p, p≠-1, k≠0

ekx+b, k
ekx+b +C

sin(kx+b)
-

cos(kx+b)

Алгебра и начала анализа
11 класс

1.Свойства функции у= и её график
2. Свойства функции у= и её график
3. Функция у =tg x и её график
4.Производная
5.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
6.Схема исследования функции для построения графика
7. Первообразная
8. Правила вычисления первообразных .

Полный текст материала Справочные таблицы по алгебре и началам анализа 11 класс смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.