Урок алгебры по теме "Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Гимназия № 13»

Урок в 9 классе по теме:

«Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Федорова Елена Михайловна,

учитель математики

высшей категории

МОУ «гимназии № 13»

г. Нижнего Новгорода

г. Нижний Новгород

2008

УРОК АЛГЕБРЫ В 9 КЛАССЕ

ПО ТЕМЕ: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Учитель: Федорова Елена Михайловна

Тип урока: урок изучения нового материала

Образовательные цели:

• Расширить знания учащихся о числовых последовательностях, рассмотрев числовую последовательность особого вида – арифметическую прогрессию.

• Вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

• Вырабатывать навыки, умения применения формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Развивающие цели:

• Развитие памяти, внимания, интуиции, аналогии, логического мышления.

• Развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач

• Развитие познавательного интереса учащихся

Воспитательные цели:

• Способствовать совершенствованию навыков индивидуальной, фронтальной работы

Ход урока

1.Организационный момент.

Тема урока: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Слайд 1.

2.Актуализация знаний учащихся.

Проверка домашнего задания обсуждается с учащимися по заранее заготовленным записям.

Открываем тетради и проверяем решение № 15.37(а, в) из домашнего задания.

№ 15.37(а, в)

а) , , (n=2, 3, 4,…)

,

,

,

,

.

в) , , (n=2, 3, 4,…)

,

,

,

,

.

3. Изучение нового материала.

Сравните члены числовых последовательностей в № 15.37(а, в)

Что вы заметили?

• Под а) возрастающая; а под в) убывающая;

• Под а) каждый член последовательности отличается от предыдущего на одно и то же число 5, а под в) каждый член последовательности отличается от предыдущего на одно и то же число – 4.

Последовательности, обладающие свойством: каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа, называют арифметическими прогрессиями.

- Что же такое арифметическая прогрессия? Каковы способы её задания? Какова формула n-го члена арифметической прогрессии?

- Какая учебная задача встаёт пред нами? (слайд 2)

• Изучить определение арифметической прогрессии.

• Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.

• Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии.

• Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

- Что же такое арифметическая прогрессия?

Сначала пытаются сформулировать определение учащиеся, а затем учитель.

Слайд 3 определение арифметической прогрессии

Определение.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность( ), заданная рекуррентно соотношениями:

, ,

( n = 2, 3, 4, …), где a и d – заданные числа.

Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d >0( № 15.37(а)) и убывающей, если d <0( № 15.37(в)).

Возникает вопрос, а можно ли, глядя на последовательность, определить, является ли она арифметической прогрессией? Можно. Если мы убедимся в том, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом постоянна и , что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности , но и для всей последовательности в целом (т. е. ), то перед вами - арифметическая прогрессия.

Слайд 4 Определите является ли числовая последовательность арифметической прогрессией?

Назовите первый член арифметической прогрессии и разность.

Пример 1.

1, 3, 5, 7, 9, 11, … .

Это арифметическая прогрессия, у которой , d=2.

11-9=9-7=7-5=5-3=3-1=…=2

Пример 2.

20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, - 1, - 4, … .

17-20=14-17=11-14=8-11=5-8=2-5= -1-2= -4 - (-1)=…= -3

Это арифметическая прогрессия, у которой , d= - 3.

Пример 3

8, 8, 8, 8, 8, 8, … .

Это арифметическая прогрессия, у которой , d=0.

- Как найти разность арифметической прогрессии?

- Чтобы найти разность арифметической прогрессии нужно из последующего члена вычесть предыдущий.

-Каковы способы обозначения арифметической прогрессии?

Слайд 5

Обозначения арифметической прогрессии.

Для обозначения арифметической прогрессии словосочетание «арифметическая прогрессия» заменяют значком и пишут:

.

Значок заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия».

Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за , то получится конечная арифметическая прогрессия

Иногда в конечной арифметической прогрессии удобно записывать не только несколько членов в начале, но и несколько членов в конце, например так:

-Какие способы задания числовых последовательностей, а значит, и арифметической прогрессии вы знаете?

Итак, арифметическую прогрессию можно задать следующими способами:

Слайд 6

Вернемся к № 15.37(а, в).

- Каким способом была задана последовательность по условию?

(Рекуррентным.)

- Каким способом вы задали арифметическую прогрессию?

(Аналитическим.)

-Какой способ «лучше», предпочтительней другого? ( Зависит от поставленной задачи. Например, нужно найти ,в первом случае надо найти предыдущие 99 членов последовательности. Эту работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу n-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии. Поэтому второй аналитический способ будет лучше.)

Выведем формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью d.

Имеем:

,

,

,

,

, и т.д.

Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Важное замечание! «Догадками » математики пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Доказательство этого факта приведем на следующем уроке.

Слайд 7 Ключевые задачи на формулу: a_n = a₁ + d (n-1).

Как найти из этой формулы , , d , n?

,

,

, .

4. Закрепление изученного материала.

Сейчас выполним задания из задачника

Решить № 16.3 устно

Письменно 16.4(г)

16.7(б)

16.17(а)

16.18(а)

Решение.

16.4(г) Кто желает?

Дано:

Решение.

= -17,5 ,

d= - 0,5 , = - 17,5 + ( - 0,5) = - 18,

Найти: ,…, .

, = - 18 – 0,5 = - 19,5,

, = - 19,5 – 0,5= - 19,

, = - 19 – 0,5 = - 19, 5,

, = - 19,5 – 0,5 = - 20.

Ответ: -17,5; - 18; - 18,5; - 19; - 19,5; - 20.

16.7(б)

Дано:

√5; 6 + √5; 12 + √5; 18 + √5, ….

Найти: , d

Решение.

=√5, = 6 + √5

d= - , d =6 + √5-√5 =6

Ответ: d =6, .

16.17(а)

Дано:

=12,

.

Найти: d

Решение.

40 = 12 + 4d,

4d =40 -12,

4d = 28,

d =7.

Ответ: d =7.

16.18(а)

Дано:

,

d=2

Найти:

Решение.

,

,

9= +6∙2,

=9 – 12,

= -3.

Ответ: = -3.

5. Итог урока

Итак, наш урок подходит к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

• Изучить определение арифметической прогрессии.

• Научиться определять является ли числовая последовательность арифметической прогрессией или нет.

• Изучить формулу n-го члена арифметической прогрессии.

• Научиться применять формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении задач.

Да достигли, но научились находить не все компоненты, входящие в формулу n-го члена арифметической прогрессии. Какую задачу поставим на последующие уроки?

- Научиться находить номер члена арифметической прогрессии, доказывать, что последовательность, заданная формулу n-го члена является арифметической прогрессии, выяснять является ли число членом арифметической прогрессии.

Дайте определение арифметической прогрессии.

Как найти из этой формулы , , d , n?

Изучение математики тесно связано с изучением других предметов, в частности литературы.

В романе «Евгений Онегин» А.С. Пушкина – есть строки ,адресованную герою романа «… не мог он ямба от хорея. как мы ни бились, отличить».Так в чем же это отличие?

Слайд Связь математики и литературы:

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб - стихотворный размер с ударением на чётных слогах.

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слога

Домашнее задание

§ 16 пункт 1, 2, № 16.4(а), 16.5(а), 16. 7(г), 16. 17(в), 16. 18 (в)

Итак, наш урок подошел к концу. Посмотрим, как вы усвоили новый материал?

Решите тест (приложение 1)

За верно решенные 6 заданий теста –«5», за 5 – «4», за 4-3 – «3», менее 3 – «2

Список литературы:

1. А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Учебник, М.: Мнемозина, 2007.

2. А. Г. Мордкович. Алгебра - 9.Задачник, М.: Мнемозина, 2007.

3. Александрова Л. А. Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы для общеобразоват. учреждений. Учеб. Пособие под ред. А. Г. Мордковича.- М.: Мнемозина, 2004.

4. А. Г. Мордкович. Алгебра 7-9.: Методическое пособие для учителя.- М.: Мнемозина, 2004

5. Занина О. В.,Данкова И. Н. поурочные разработки по алгебре к учебному комплекту А. Г. Мордковича: 9 класс. – М.:ВАКО,2007.

Приложение 1

ТЕСТ

Вариант 1

1.Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему

А) сложенному с одним и тем же числом;

Б) умноженному на одно и то же число;

В) разделенному на одно и то же число;

Г) возведенному в квадрат.

2. Чтобы найти разность арифметической прогрессии надо

А) из первого члена вычесть второй;

Б) второй член разделить на первый;

В) первый член умножить на второй;

Г) из последующего члена вычесть предыдущий.

3. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии

А)

Б)

В)

Г)

4. Первый член арифметической прогрессии , , 4, 8,… равен

А) 1; Б) 12; В) - 4; Г) - 1.

5.Найдите разность арифметической прогрессии, если = 4; = 8.

А) – 4; Б) 0,5; В) 6; Г) 4.

6. Найдите четвертый член арифметической прогрессии, если = 10; d = - 0,1.

А) 97; Б) 9,7; В) – 97; Г) – 9,7.

Вариант 2

1.Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему

А) возведенному в квадрат ;

Б) разделенному на одно и то же число;

В) умноженному на одно и то же число;

Г) сложенному с одним и тем же числом;

2. Чтобы найти разность арифметической прогрессии надо

А) из последующего члена вычесть предыдущий

Б) первый член умножить на второй;

В) второй член разделить на первый

Г) из первого члена вычесть второй;

3. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии

А)

Б)

В)

Г)

4. Первый член арифметической прогрессии , , 3, 6,… равен

А) 1; Б) 9; В) - 3; Г) - 1.

5.Найдите разность арифметической прогрессии, если = 3; = 6.

А) 3; Б) 0,5; В) 4,5; Г) -3.

6. Найдите пятый член арифметической прогрессии, если = 10; d = - 0,1.

А) 96; Б) - 9,6; В) – 96; Г) 9,6.