Демонстративно - методическое пособие по Начертательной Геометрии

Демонстративно – методическое пособие по решению типовых задач из курса МКОУ «СОШ№3»г.Лодейное Поле Автор учитель технологии и черчения Василий Владимирович Потников

Оглавление 1.1 ТОЧКА  Проецирование точки на плоскости проекций  Точка на комплексном чертеже 1.2 ПРЯМАЯ  Следы прямой  Определение истинной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций 1.3 ПЛОСКОСТЬ  Следы плоскости  Пересечение двух плоскостей  Плоскости общего положения  Геометрические фигуры  Точка встречи прямой с плоскостью общего положения , определение видимости прямой относительно плоскости 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА  Пересечение прямой с геометрическими телами 3 ЗАДАЧИ

Точка на плоскости

Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) z=0 x ax A2 z az o A3 ay y A1 ay y

Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) z=0 x ax A2 z az o A3 ay y A1 ay y

Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) y=0 A2 x z az A3 o ax A1 ay ay y y

Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) y=0 A2 x z az A3 o ax A1 ay ay y y

Построить проекции точек с координатами: A(x; y; z) x=0 z az A3 A2 x ax o ay y A1 ay y

Построить проекции точек с координатами: A (x; y; z) x=0 z az A3 A2 x ax o ay y A1 ay y назад назад далее

 Точка на комплексном Точка на комплексном чертеже чертеже

Построить проекции точек с координатами: A(x; y; z) z A2 x az A3 o ax ay y A1 ay y

Построить проекции точек с координатами: A(x; y;z) z A2 x az A3 o ax ay y A1 ay y

Построить проекции точек с координатами: B(x; -y;z) z -y B2 B3 bz by B1 x -y o bx -x y by -z y

Построить проекции точек с координатами: B(x; -y;z) z -y B2 B3 bz by B1 x -y o bx -x y by -z y

Построить проекции точек с координатами: C(x; -y;-z) z -y C1 cy x -y o cx cy C2 C3 -x y cz -z y

Построить проекции точек с координатами: C(x; -y;-z) z -y C1 cy x -y o cx cy C2 C3 -x y cz -z y

Построить проекции точек с координатами: D(x; y;-z) x z -y dx o dy -x y -y dy D1 dz D2 D3 -z y

Построить проекции точек с координатами: D(x; y;-z) x z -y dx o dy -x y -y dy D1 dz D2 D3 -z y

Построить проекции точек с координатами: E(-x; y;z) z -y E3 E2 ez x o ey ex -x y -y ey E1 -z y

Построить проекции точек с координатами: E(-x; y;z) z -y E3 E2 ez x o ey ex -x y -y ey E1 -z y

Построить проекции точек с координатами: F(-x;- y; z) F3 fz z -y fy x -y F2 F1 o fx -x y fy -z y

Построить проекции точек с координатами: F(-x;- y;z) F3 fz z -y fy x -y F2 F1 o fx -x y fy -z y

Построить проекции точек с координатами: G(-x;- y;-z) z -y gy x -y G1 o gx -x y gy G3 -z gz y G2

Построить проекции точек с координатами: G(-x;- y;-z) z -y gy x -y G1 o fx -x y gy G3 -z gz y G2

Построить проекции точек с координатами: S(-x;y;-z) z -y x o sy sx -x y -y sy S1 sz -z S3 y S2

Построить проекции точек с координатами: S(-x;y;-z) z -y x o sy sx y -y sy S1 sz -z назад -x назад S3 S2 y далее

 Следы прямой Точка на комплексном чертеже

ЗАДАЧА Построить следы прямой АВ, покапать видимость прямой, дать характеристики положения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций. В2 о х А2 В1 А1

2. Соединить одноименные проекции точек и определить горизонтальный след прямой - точку Н (Н2 H1) В2 Н2 х о А2 В1 А1 Н1

2. Определить фронтальный след прямой АВ - точку F (F2,F1) F2 В2 Н2 х F1 А2 В1 А1 Н1 о

з. Определить характеристики положения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций (точка С - произвольная). Показать видимость прямой F2 В2 Н2 х F1 А2 В1 А1 Н1 о

з. Определить характеристики положения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций (точка С - произвольная). Показать видимость прямой. С2 F2 В2 Н2 х С1 F1 А2 В1 А1 Н1 ≥ назад назад Ι ΙΙ далее о

Определение истинной величины  отрезка Точка на комплексном чертеже наклона прямой и углов прямой к плоскостям проекций

ЗАДАЧА По двум заданным проекциям отрезка найти его истинную величину и углы наклона его к плоскостям проекций. z А2 х О В2 А1 В1 у y

1. Построить профильную проекцию заданного отрезка А В z А2 А3 х О В2 А1 y В3 В1 у

2. Определить следы отрезка и показать видимость его. z А2 А3 Н2 х В2 В1 О А1 Н3 В3 Н1 Н3 у y

3. Определить графически алгебраическую разность координат концов заданного отрезка: х = хв - хА У = Ув - УА Z = Z A - Zв z А2 Н2 х А3 Δх Δ z О А1 В2 В3 Н1 В1 Н3 Δу Н3 у y

4. Найти истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций А´ z Δу А3 ΙАВ ΙАВ Ι2 Ι3 А2 Н2 х А´ Δх О β Н3 γ А1 В ´ Ξ В2 y В3 Ξ В ´ Н1 В ´ Ξ В1 α ΙАВ Ι1 Δ z Н3 α - к плоскости П1 β - к плоскости П2 ΙАВΙ= ΙАВΙ1+ΙАВΙ2+ΙАВΙ3 3 назад назад А´ у γ - к плоскости П3 далее

 Следы плоскости Точка на комплексном чертеже

ЗАДАЧА Через три заданные точки nоcmроuть плоскость, показать видимость отрезков и следов плоскости. В заданной плоскости провести горизонталь с отметкой z = 5 ед.и фронталь с отметкой У=4 ед. А2 С2 х В2 С1 О В1 А1

1. Соединить любую пару заданных точек (например, А и С), найти следы и показать видимость полученной прямой,F(F2F1)=AC ∩ П2 H(H2H1)=AC ∩ П1 А2 Н1 F2 С2 В2 С1 х Н2 О F1 В1 А1

1. Соединить любую пару заданных точек (например, А и С), найти следы и показать видимость полученной прямой,F(F2F1)=AC ∩ П2 H(H2H1)=AC ∩ П1 А2 Н1 F2 С2 В2 С1 х Н2 О F1 В1 А1

2. Соединить другую пару заданных точек (например, А и В), найти также следы и показamь видимость этой прямой F1(F21,F11)=ААB ∩ П2 H1(H21,H11)=ААВ ∩ П1 Н1 А2 F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F1 В1 А1 Н21 F11 F21 О

2. Соединить другую пару заданных точек (например, А и В), найти также следы и показamь видимость этой прямой F1(F21,F11)=ААB ∩ П2 H1(H21,H11)=ААВ ∩ П1 Н1 А2 F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F1 В1 А1 Н21 F11 F21 О

3. Через следы прямых провести соответствующие следы плоскости FF1=А f o а Н Hi =А hoа Следы плоскостей должны пересекаться на оси 0х ; Х а = hо а ∩ fо а ; Ха Є Ох Н1 А2 fо а F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F11 Ха F1 В1 А1 Н21 F21 hо а О

4 Показать видимость следов плоскости foa - всегда видны выше оси Ох h0аа - всегда видны ниже оси Ох Н1 А2 fо а F2 С2 В2 С1 х Н2 Н11 F11 Ха F1 В1 А1 Н21 F21 hо а О

5. Пpoвecmu горизонталь плоскости 1 2 (1222,1121) с отметкой z=5 1222|| Ох 1121|| h0аa Н1 А2 22 F2 С2 z=5 12 fо а В2 С1 х Н2 Н11 F11 Ха 11 F1 В1 Н21 F21 Ι Ι А1 Ι hо а Ι 21 О

6. Провесmи фронталь плоскости 34(3242;3141) С отметкой у=4 3141 || 0ах 3242 || foа 42 Н1 А2 12 fо а F2 22 К2 С2 В2 С1 у=4 х Н2 11 41 Н11 F11 32 Ха F1 В1 Н21 F21 31 А1 К 1 Проверка: горизонталь и фронталь должны пересечься в одной точке К (К2 К1) К (К2К1) = 12 ∩ 34 назад назад hо а 21 далее О

 Пересечение двух Точка на комплексном чертеже плоскостей (плоскости общего положения)

Задача Построить линию пересечения 2-х плоскостей заданных следами, когда следы плоскостей пересекаются в пределах чертежа, Дать характеристику положения линии пересечения в пространстве относительно плоскостей проекций. Показать видимость следов плоскостей и линии пересечения foa foв х о hoв hoa

1.Пpoвecmu вспомогательную секущую плоскость γ II П1 (произвольно) foα foβ foγ х о hoβ hoα

2. Определить линию пересечения плоскости α со вспомогamельной плоскостью γ (это будет горизонталь плоскости α) α ∩ γ=MN foα foβ foγ M2 N2 х о N1 hoβ hoα M1

3. Определить линию пересечения плоскости β со вспомoгательной плоскостью γ (это будет горизонталь плоскости γ), β ∩ γ =12 foα foβ 22 foγ M2 12 N2 х 11 о N1 hoβ hoα 21 M1

4. Определить точку К(К2, К1) принадлежащую линии пересечения плоскостей α и β NM ∩ 12=K foα foβ 22 K2 foγ M2 12 N2 11 х о N1 hoβ K1 hoα 21 M1

5, Onределить точку L(L2,L1) -точку пересечения горизонтальных следов hoα и hoβ hoα ∩ hoβ = L foα foβ 22 K2 foγ M2 12 L2 11 N2 х о N1 L1 hoβ 21 K1 hoα M1

6. Определить линию КL (К2L2, К1L1)-пересечения плоскостей α и β α ∩ β =KL foα foβ 22 K2 foγ M2 12 N2 х L2 11 о N1 L1 K1 hoβ hoα 21 M1

7, Определить характеристику линии пересечения относительна плоскостей проекций(П1П2). foα foβ 22 K2 foγ M2 12 N2 х L2 11 о N1 L1 hoα 21 назад назад н.п KL- I -Пл.П1 – IV - Пл.П2 - III K1 hoβ п. п. M1 далее

 Пересечение двух Точка на комплексном чертеже плоскостей (Заданных геометрическими фигурами )

Задача: Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных плоскими фигурами:Δ АВС и Δ ДКЕ показать видимость. B2 D2 A2 E2 C2 o x K2 C1 D1 E1 A1 B1 K1

1. Воспользуемся вспомогательной секущей плоскостью βΙΙ П2 проходящей через(·) А Δ АВС эта плоскость пересечет Δ АВС по фронтали А1(А212) Δ АВС ∩β=А1 плоскость β пересекает Δ ДКЕ по фронтали2;3 Δ ДКЕ ∩β= 23 Точка пересечения фронталей А1 и 23 даёт искомую (·) F = А1 ∩ 23 D2 12 B2 F2 A2 E2 22 C2 32 o x K2 C1 D1 E1 21 A1 11 F1 K1 31 B1

2. Для получения второй точки линии пересечения Δ АВС и Δ ДКЕ воспользуемся плоскостью γ П1 и проходящей через сторону КЕ Δ ДКЕ Δ ДКЕ ∩ γ =КЕ Δ АВС ∩ γ=45 КЕ ∩ 45= (·)R(R2R1) f Т B2 41 D2 12 51 F2 A2 R2 E2 22 C2 32 xo x K2 C1 R1 E1 D1 21 A1 11 51 F1 41 h K1 31 B1

3. Соединив одноименные проекции точек F u R, получим проекции линии пересечения плоскостей Δ АВС ∩ Δ ДКЕ =FR f B2 41 D2 12 51 F2 A2 R2 E2 22 C2 32 xαo x K2 C1 R1 E1 D1 21 A1 11 51 F1 41 hα K1 31 B1

4. Пользуясь методом конкурирующих точек, определяем видимость заданных плоскостей относительно друг друга f B2 41 D2 12 51 F2 A2 R2 E2 22 C2 32 xαo x K2 C1 R1 E1 D1 21 A1 11 51 F1 41 hα K1 31 B1

5. Даем характеристику найденной линии пересечения относительно плоскостей проекций. fα B2 41 D2 12 51 F2 A2 R2 E2 22 C2 32 xαo x K2 C1 D1 21 A1 назад назад 11 51 31 B1 41 .(FR) – I – пл.П2 – II – пл.П1 - III F1 hα R1 E1 K1 далее

 Точка встречи прямой с плоскостью общего положения , определение Точка на комплексном чертеже видимости прямой относительно плоскости

Задача: определить точку пересечения прямой EF с плоскостью , заданной плоскостью фигуры - треугольником АВС показать видимость E2 B2 А2 F2 х C2 о F1 B1 A1 E1 C1

1. Через EF провести плоскость α П1, hоa совпадает с Е1 F1 fоa Ox. Т Т fα E2 B2 А2 xα х F2 C2 о F1 B1 A1 E1 C1 hα

2. Найти ДК(Д2К2, Д1К1)линию пересечения вспомогательной пл. α, (f оα hoa) с заданной плоскостью Δ АВС(А2В2С2;А1В1С1) KD= Δ АВС ∩ α fα E2 D2 А2 K2 xα х B2 F2 C2 о F1 A1 B1 D1 K 1 E1 C1 hα

3 Найти (•)М(M2M1) -(•) пересечения линии ДК (Д2К2)(Д1К1) и прямой EF(E2F2; E1F1) (•) M=DК∩EF . fα E2 D2 M2 K2 А2 xα х B2 F2 C1 о F1 A1 B1 D1 M1 K1 E1 C2 hα

4. Используя конкурирующие точки 1(1211) 2(2221) Определить видимость.ΔАВС представляет собой плоскость односторонней видимости, поэтому один и тот же участок заданной прямой будет виден сверху(М1Е1)и спереди (M2Е2) . fα E2 D2 M2 K2 А2 xα х B2 F2 C1 о F1 A1 B1 D1 M1 K1 E1 C2 hα

5. Показываем видимость fα E2 D2 M2 K2 А2 xα х B2 F2 C1 о F1 A1 назад назад B1 D1 M1 K1 E1 C2 hα далее

 Пересечение прямой с Точка на комплексном чертеже геометрическими телами

Задача : Построить точку пересечения прямой линии TF с поверхностью многогранника. Показать видимость ребер многогранника секущей прямой линии. S2 T2 X A2 C2 F2 B2 T1 S1 A1 B1 C1 F1 O

1. Определяем видимость ребер многогранника, используя правило видимости и метод конкурирующих точек 1(1211)2(2221). S2 T2 X A2 C2 F2 B2 T1 S1 A1 B1 C1 F1 O

2. Через прямую ТF проводим вспомогательную плоскосmь α , перпендикулярную фронтальной плоскости проекций П2: след f0 α совпадает с Т2 F2 hOα оcu Ox. fOα Т S2 T2 X A2 C2 F2 B2 T1 Xα S1 A1 B1 C1 F1 hOα O

3. Строим линию пересечения вспомогательной плоскости α (fOα hOα) с поверхностью заданного многогранника фронтальная проекция сечения плоскости α с поверхностью пирамиды (122232) совпала с фронтальным следом fOα плоскости α . гopuзонтальная проекция сечения 1121З1 определилась по точкам 1121З1 лежащим на соответствующих ребрах пирамиды ('построение показано стрелками), fOα S2 T2 12 22 32 X A2 C2 F2 B2 T1 Xα S1 31 11 A1 21 B1 C1 F1 hOα O

4. Найдем точки пересечения заданной пряной ТF с контуром сечения 123 - точки К (К2 К1) и R(R2R1) По линиям связи отмечаем точки К2 и R2 на фронтальной проекции прямой Т2F2. Это и будут искомые точки (вxoдa и выxoдa) пересечения прямой с поверхностью многогранника (пирамиды). fOα S2 T2 12 22 K1 X A2 C2 32 R1 B2 T1 F2 Xα S1 11 A1 K1 21 31 R1 B1 C1 F1 hOα O

5. Определяем видимость прямой TF относительно многогранника , используя метод конкурирующих точек 4(4241), 5(5251). Участок прямой KR(К2R2,K1R1) внутри многогранHUKА Всегда невuдuм. Показываем видимость сечения fOα S2 T2 12 22 K1 X A2 C2 32 R1 B2 T1 Xα O S1 11 A1 K1 21 31 R1 B1 назад назад F2 C1 F1 hOα далее

Задача: Определить точки пересечения прямой AВ с поверхностью конуса. Показать видимость прямой. S2 A2 B2 B1 S1 A1

1 Через прямую АВ проводим вспомогательную плоскость. в качестве вспомогательной плоскости принимаем плоскость, проходящую через вepшину конуса S, и две точки 1и 2, произвольно взятые на прямой AВ. Определяем горизонтальные следы Н, (Н21,Н11) и Н2(Н22Н21) пересекающихся прямых S1и S2. Точки 1и2 следует выбрать с таким расчетом, чтобы горизонтальные следы Н1 и H2 получились в пределах чертежа. S2 A2 12 22 H12 S1 11 A1 H12 B2 H22 B1 21 H21

2. Через гориз. следы прямых (н1 и нг) проводим горизонтальный след ho α плоскости α Так как конус своим основанием расположен на плоскости, определяем точки 3 и 4 пересечения основания со следом S2 A2 12 22 H12 32 42 S1 11 H12 A1 B2 H22 ho α 31 41 21 B1 H22

S3 и S4 - образующие. S2 A2 12 22 H12 32 41 S1 11 H12 A1 B2 H22 ho α 31 41 B1 21 H22

3. Определяем линию пересечения вспомогательной плоскости α с конусом - это образующие S3 и S4. S2 A2 12 K2 L2 22 H12 32 41 S1 11 H12 A1 B2 H22 K1 ho α 31 L1 41 21 B1 H22

В пересечении образующих S3 И S4 с заданной прямой определяем искомые Точки.AВ ∩ S3 = К AВ ∩ S4 = L . Определяем видимость прямой линии AВ. S2 A2 12 K2 L2 22 H12 32 41 S1 11 назад назад H12 A1 B2 H22 K1 ho α 31 L1 41 21 B1 H22 далее

Задача : 0пределить moчки пересечения прямой AВ с поверхностью сферы, показать видимость прямой. A2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 A1 B1

∩ 1.Через прямую AВ проводим пл. α П1(след hoα сoвnадает с горизонтальной проекцией прямой А1В1). (α ┴ПП1,) ∩ ( A1В1 h0α). A2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 B1 A1 ho α Х1 П1 C4 П4 A4 О1 B4

Любая плоскость пересекающая поверхность сферы, пересекает, по окружности, проекции которой при донном расположении прямой проецируются на пл. П2 в виде эллипса. Чтобы избежать построения эллипса. применим метод перемены пл. проекций, заменив пл. П г пл.П4 // А1 В1 Тогда ось О1,Х1 будет // А1В1 2. Проецируем на пл. П4 заданную прямую AВ и cфepy. Тогда сечение сферы пл. α на пл. П4 изобразится в виде окружности радиуса R. 3. В пересечении полученного сечения с пряной AВ и определятся искомые точки KuL (К4,L4) которые обратным проецированием определяем в заданной систем е, K2 A2 L2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 K4 A1 ho α L4 B1 О1 R Х1 П1 C4 П4 B1 R L4 A4 K4

3. Определяем видимость прямой K2 A2 L2 B2 C2 Х П2 О П1 C1 L1 K1 A1 ho α Х1 П1 назад L4 A4 K4 О1 B1 C4 П4 назад B1 далее

 ЗАДАЧИ Точка на комплексном чертеже

Задача По заданным координатам точек А; В; С; D; E; F;G; К построить их горизонтальные, фронтальные и профильные проекции. Определить, в каких октантах расположены точки; назад назад далее

Задача Построить проекции отрезка прямой А В по заданным координатам его концов. Найти следы прямой. точка назад назад координаты X Y Z A 70 -20 30 B 10 -50 40 далее

Задача . Определить натуральную длину отрезка прямой АВ и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций π1 и π2 z A2 0 x B1 A1 B2 y назад назад далее

Задача Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью а . Через точку А провести прямую АС, параллельную плоскости а. Решить вопрос видимости прямой АВ. А2 fα z B2 x xα 0 B1 hα назад назад A1 y далее

Задача Построить следы плоскости а, заданной тремя точками А,В,С.В плоскости а построить горизонталь, отстоящую на расстоянии двух единиц от горизонтальной плоскости π1 и фронталь отстоящую на расстоянии трех единиц от фронтальной плоскости проекций π2. z C1 A2 B1 C2 A1 x 0 B2 назад назад y далее

Задача По заданным координатам вершин построить проекции треугольников ABC и DEF. Определить линию их пересечения. Решить вопрос видимости объектов. Точки Координаты X Y Z A 160 85 20 B 75 95 95 C 25 5 10 D 145 5 70 E 25 65 80 F 40 90 5 назад назад далее

Задача . Определить точки пересечения прямой, заданной отрезком АВ, с поверхностью. Решить вопрос видимости прямой S2 T2 X A2 C2 B2 B1 A1 назад назад T1 F2 O F1 S1 далее C1