Презентация "Последовательность. Предел последовательности. Объяснение нового материала."

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. a n = 1, 3, 5, 7, 9, 11… аn – общий член последовательности Сосновская Галина Владимировна. Гимназия № 2. г. Красноярск

Назовем числовой последовательностью  xn  числовую функцию, заданную на множестве натуральных чисел: xn  f  n  , n �N Значение n будем называть номером члена xn , а само число xn – общим членом или n–м членом последовательности.

Примеры последовательностей. Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6… Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Продолжите ряд 77, 49, 36, 18… Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число

Назовем постоянной последовательность, если она равна константе для любого номера n: xn  C , n �N , C �R

Назовем последовательность ограниченной, если найдется такое число M, для которого модуль любого члена последовательности окажется не больше этого числа: xn �M , n �N Квантор , читается «для любого».

Последовательность ограничена, если найдется такое положительное число, для которого все члены последовательности по модулю окажутся не больше этого числа.  xограничена n если , M  0x: n M � n N� Используемый квантор  читается «существует»,

Последовательность называется возрастающей, если: xn �xn 1  n �N Последовательность возрастает, если каждый последующий член не меньше предыдущего. Последовательность монотонная, если она возрастающая или убывающая.

Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… 1. Рукава многих галактик расположены в соответствии с этой последовательностью. 2. Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.

В сосновой шишке, если посмотреть на нее со стороны черенка, можно обнаружить две спирали, одна закручена против, другая по часовой стрелке. Число этих спиралей 8 и 13.

Когда потоки воды двигаются по океану и волны прилива подходят к берегу, они изгибаются в форме спирали, которая может быть математически отражена на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55.

Ветви, листья деревьев, ракушки, морские звезды, ушная раковина человека, тюльпаны и другие цветы, и особенно раковины моллюсков - сформированы по той же самой схеме. С каждым приростом раковина добавляет себе ещё один сегмент в соответствии с масштабом Фибоначчи.

Паук плетет паутину спиралеобразно по тому же принципу. Спиралью закручивается ураган...

Ячейки ананаса расположены в 8 правосторонних, 13 левосторонних, 21 вертикальных спиралей.

Семена подсолнуха располагаются в двух пересекающихся спиралях с количеством соцветий 34 и 55 или 55 и 89 согласно последовательности Фибоначчи.

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы

Схемы, по которыми сформированы лепестки, листья и семена цветов, соответствуют определённым числам. Леонардо Пизанский или Фибоначчи

Леонардо Фибоначчи (родился около 1170 — умер после 1228), итальянский математик.

Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно. n n � 1 � 1 5 � � 1  5 �� � xn  � � � � �� 2 � � 2 �� 5 � � � �

Божественная пропорция. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда  будет  величина, колеблющаяся около  иррационального значения  1.61803398875… . Оказывается что число ФИ -Строительный камень, который господь Бог использовал для создания Мира.

Блез Паскаль (1623 – 1662 ). Французский математика XVII

Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке:

Треугольник Паскаля. 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1

1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 6 1 3 6 10 15 1 1 4 10 20 1 5 15 1 6  a  b   a  2ab  b ; 3 3 2 2 3  a  b   a  3a b  3ab  b ; 4 4 3 2 2 3 4  a  b   a  4a b  6a b  4ab  b 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1  a  b   a 5  5a 4b  10a 3b2  10a 2b3  5ab 4  b5 ; 6  a  b   a 6  6a 5b  15a 4b 2  20a 3b3  15a 2b 4  6ab5  b6 . 5

Треугольник Паскаля. 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1

Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим числами Фибоначчи : для 1 диагонали – 1; для 2 диагонали – 1; для 3 диагонали – 1+1=2; для 4 диагонали – 1+2=3; для 5 диагонали – 1+3+1=5; для 6 диагонали – 1+4+3=8; для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….

n График последовательности состоит из отдельных точек. y n 1 2 2 0 3 -2 4 -4 5 -6 6 -8 7 -10 8 -12 9 -14 Функция у = 4 - 2n

Функция n yn 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 y 2n

n yn 1 1 2 3 1,414214 1,732051 4 2 5 8 2,23607 2,44949 2,645751 2,828427 9 3 6 7 y n Функция y1 1 y2 y3 y4 y5 2 Y 3 4

n yn 1 0,500 2 0,667 3 0,750 4 0,800 5 0,833 6 0,857 7 0,875 8 0,889 9 0,900 10 0,909 n y n 1 Функция y1 0,5 y2 y3 y4 y5 0,8 Y 1

n yn 1 1,000 2 0,500 3 0,333 4 0,250 5 0,200 6 0,167 7 0,143 8 0,125 9 0,111 10 0,100 Функция 1 y n

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся, в обратном случае последовательность расходится.

Все члены последовательности , начиная с некоторого, окажутся в " коридоре " a    xn  a  

a называется Число пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство | xn - a| < ε. lim xn  a x ��

Геометрически понятие предела числовой последовательности. 2 xN a  x N 1 xN 2 a xn  a   � x N 1 a  x

  xn  a   ; a    xn  a   Неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

Постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементы с номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Последовательность сходится, если она имеет предел. n 1 1 Доказать, что предел lim xn  lim x �� x �� n такой последовательности равен 1:

Воспользуемся определением предела. По виду последовательности можно сказать, что с ростом номера n общий член последовательности хn приближается к единице, а разность |хn – 1| приближается к нулю.

Покажем это строго. Для произвольного числа ε > 0 в выберем 1 N  Если номер n > N, тогда и это означает, что Далее: 1  n 1 n  1 1 xn  1  1   1    n n

Тем самым, для произвольного числа ε > 0 мы указали такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство xn  1   Мы доказали, что единица есть предел рассматриваемой последовательности.

Теорема о единственности предела последовательности: Последовательность не может иметь больше одного предела.

Это следует из того, что последовательность не может одновременно приближаться к двум разным числам одновременно. Формально, выберем ε значительно меньше разницы между числами a и b. Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N, начиная с которого одновременно будут выполнены два условия: xn  aи x bn  

Теорема: Если последовательности {an} и {bn} сходятся, то сходится и их сумма {an + bn} и, кроме того, предел суммы равен сумме пределов: lim  an  bn   lim an  lim bn n �� n �� n ��

Теорема: Постоянную величину можно выносить за знак предела: lim  C � an   C � lim an n �� n ��

Теорема: Если последовательности {an} и {bn} сходятся, то сходится и их произведение {an ⋅ bn} и, кроме того, предел произведения равен произведению пределов: lim  an � bn   lim an � lim bn n �� n �� n ��

Теорема: Если последовательности {an} и {bn} сходятся, причем lim bn �0 n �� Предел отношения равен отношению пределов. an an lim n �� lim  n �� b lim bn n n ��

Признак существования предела. Теорема: Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится. Пример такой последовательности, которая ограничена, возрастает и потому имеет предел � 1 � lim � 1  � 1 n �� � 2n �

Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. 1 an  1  2n

Теорема о двух милиционерах Теорема (признак существования предела): Если одна последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел. Если an �bn �cn и выполняется условие : lim an  lim cn  A n �� n �� Тогда предел последовательности bn тоже А lim bn  A n �� Название теоремы связано с такой ее интерпретацией. Если два милиционера ведут с двух сторон под руки подвыпившего гражданина и направляются в отделение, туда же придет и гражданин.

Дана последовательность 1 1 1 1  yn   1, , , ,... ,... . 2 3 4 n 1 yn  . n Доказать, что lim yn  0 n �� yno -r 0 х r Пусть r  0,001 то в качестве nможно взять 1001 0

1 lim  0; n �� n n Если q  1, то lim q  0 n �� n � 1� lim � 1  � e  2,7182818284590... n �� � n�

Ссылки на материалы из интернета: • • • • • • • • • • • http://bmcapital.blog.ru/?page=5 http://forexaw.com/TERMs/Theory_of_market/l725_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE% D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8_Fibonacci http://sceptic-ratio.narod.ru/rep/kn15.htm http://geana.hiblogger.net/tag/%F2%E2%EE%F0%E5%F6/ http://www.skilpadde.ru/25-chisla-fibonachchi.html http://blog.i.ua/user/1577787/226447/ http://best-mama.info/publ/pochemuchka/biolog/34 http://kinder-online.ru/blog/lady-gaga-ili-njusha/page/2/ http://klen20078.ya.ru/replies.xml?item_no=3858 http://www.vlad-amelin.ru/stihi-o-zhizni/2256-zhizn-yeto-cep-sluchajnyx-chisel.html http://www.liveinternet.ru/users/daemaken/