Электронный учебник по геометрии на тему «окружность»; 5-9 класс

Конкурс интерактивных презентаций "Интерактивная мозаика" Pedsovet.su Лаврикова Ирина Михайловна МБОУ Кадетская школа-интернат «Сибирский Кадетский корпус» учитель информатики (2-11) – математики (5) I квалификационной категории Буторин Станислав Евгеньевич Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения Студент 1 курса факультета Бизнес - Информатики

1. Теоретические основы темы окружность: - Определения; - Теоремы. 2. Контролирующие материалы. 3. Практическое применение в решении задач. 4. Краткая история становления геометрии.

а) окружность, центр окружности, радиус. б) хорда, диаметр. в) окружность, описанная около треугольника. г) касательная, точка касания. д) окружность, вписанная в треугольник. е) центральный угол, дуга окружности, градусная мера дуги. ж) углы, вписанные в окружность.

а) окружность, описанная около треугольника. б) окружность, вписанная в треугольник. в) углы, вписанные в окружность. г) пропорции отрезков хорд и секущих окружности. д) пересечение прямой с окружностью.

1. вопросы 2. тест 3. задачи 4. викторина «квадрат или круг»

1. Задача о вписанной и об описанной в треугольник окружностях. 2. Задача о вписанной в треугольник окружности.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. О . О Радиус А Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. В А Хорда Диаметр О С D

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. ТЕОРЕМА Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Дано: АВС – треугольник; В О – центр описанной окружности; OD_|_AC; AD=DC. О Доказать: О – точка пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон. А D Е С

Доказательство: Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны ОА и ОС равны как радиусы. Медиана ОD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана. В О А Е D Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. С

Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания. Касательная А О

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. ТЕОРЕМА. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

С Дано: АВС – треугольник, О – центр вписанной в него окружности, D, Е и F – точки касания окружности со сторонами. О А Доказать: О - является точкой пересечения биссектрис. F Е D B

Доказательство: Прямоугольные треугольники АОD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты ОD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана. С F Е О А D B

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. С А О В

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, чтоА угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу. ТЕОРЕМА Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. С О В

В Дано: угол АВС вписан в окружность, О – центр окружности. Доказать: угол АВС равен половине угла АОС. О А С

Доказательство: Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности. Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать. В О А С

Следовательно, вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны. В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые. А В

Теорема. Если хорды АВ и СD пересекаются в точке S, то AS * BS = CS * DS. А Дано: Хорды АВ и CD пересекаются в точке S. Доказать: AS * BS = CS * DS. С S D В

Доказательство: Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны. Вписанные углы DCB и DAB равны, так как угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, треугольники ASD и CSB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция DS / BS = AS/ / CS. Отсюда AS * BS = CS * DS, что и требовалось доказать. А С S D В

Теорема. Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A, B, C, D соответственно, Р то AP * DP = CP * DP. А Дано: Из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность точках A, B, C, D. С Доказать: AP * DP = CP * DP. D В

Доказательство: Р Пусть точки А и С – ближайшие к точке Р пересечения секущих с окружностью. Треугольники PAD и PCB подобны. У них угол при вершине общий, а углы при вершинах B и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция PA / PC = PD / PB. Отсюда PA * PB = PC * PD, что и требовалось доказать. А С D В

Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью. Пусть R – радиус окружности и d – расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, - за ось x. Тогда уравнением окружности будет x2 + y2 = R2, а уравнением прямой x = d. Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений x2 + y2 = R2, x = d имела решение. И обратно: всякое решение этой системы дает координаты x, y точки пересечения прямой с окружностью. Решая нашу систему, получим: x = d, y2 = R2 ± d2.

Из выражения для y видно, что система имеет два решения, т. е. окружность и прямая имеют две точки пересечения, если R > d. R>d d O x R y Система имеет одно решение, т. е. прямая и окружность касаются, если R = d. R=d d O x R R

А 1. О В ОА… ОВ Радиусы одной окружности…

С 2. О А АК… КВ К В D Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через…

В 3. О. А АВ… АС С Отрезки касательных, проведенных из точки вне окружности…

4. О В А Центральный угол равен… АОВ =…

В 5. АВС =… О. А С Вписанный угол равен…

В 6. А О С АВС =… Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - …

1. Диаметр окружности перпендикулярен двум хордам окружности. Эти хорды… а) параллельны друг другу б) перпендикулярны друг другу в) пересекаются г) нет правильного ответа 2. Стороны угла пересекают окружность. Этот угол… а) вписанный в окружность б) центральный в) может быть не вписанным и не центральным г) нет правильного ответа

3. Вписанный в окружность угол равен 120 градусов. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен… а) 60 градусов б) 120 градусов в) 240 градусов г) нет правильного ответа 4. Из точки, не лежащей на окружности, можно провести к окружности… касательных. а) две б) одну в) ни одной г) нет правильного ответа

5. АВ – диаметр окружности. Точка С лежит на окружности. Угол АСВ равен… а) 180 градусов б) 90 градусов в) 60 градусов г) нет правильного ответа 6. Две хорды окружности перпендикулярны диаметру АВ окружности. Эти хорды… а) параллельны друг другу б) перпендикулярны друг другу в) пересекаются г) нет правильного ответа

7. Две хорды одной окружности образуют… а) вписанный угол б) центральный угол в) могут не образовывать ни вписанный и ни центральный углы. г) нет правильного ответа 8. Центральный угол равен 120 градусов. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен… а) 60 градусов б) 120 градусов в) 240 градусов г) нет правильного ответа

9. Через точку, лежащую на окружности, можно провести к окружности… касательных. а) две б) одну в) ни одной г) нет правильного ответа 10. Угол АВС = 90 градусов и вписан в окружность, тогда… а) АВ – диаметр окружности б) ВС – диаметр окружности в) АС – диаметр окружности г) нет правильного ответа

1. Две окружности касаются внутренне в точке В. АВ – диаметр большей окружности. Через точку А проведены две хорды, которые касаются меньшей окружности. Угол между хордами равен 60 градусов. Найдите длины этих хорд, если радиус большей окружности равен R. 2. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами 100 и 140 градусов.

3. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Длина одной из них равна x. Точки пересечения делят каждую хорду на три части, средняя из которых в два раза больше каждой из двух остальных частей. Найдите радиус окружности. 4. Два угла треугольника равны 60 и 80 градусов. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины данного треугольника делят описанную окружность. 5. Диагонали ромба равны 30см и 40см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. 6. В треугольник, углы которого относятся как 1:3:5, вписана окружность. Найдите углы между радиусами, проведенными в точки касания. 7. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если диагональ равна 12см, а боковая сторона – 9см.

8. В треугольнике с двумя углами x и y вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания. 9. Центр вписанной в остроугольный равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:3. Найдите радиус описанной окружности, если высота, проведенная к основанию, равна 32см. 10. Около окружности радиуса 4см описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 80см в квадрате. Найдите периметр этой трапеции.

В Дано: треугольник АВС – равносторонний. В него вписана окружность, r = 2см, 2см Описана окружность. Найти: R окружности и P треугольника. О ? А С Решение. Так как треугольник равносторонний, то используем формулу: rвпис.= a / 2 3, a = 2 3 * rвпис..a = 2 3 * 2 = 4 3 см. AB = BC = AC = a =4 3 см. PABC = 3 * a, PABC = 3* 4 3 = 12 3 см. Rопис. = a / 3; Rопис. = 4 3 / 3 = 4 см. Ответ: PABC = 12 3 см, Rопис. = 4 см.

В Дано: Треугольник АВС – равнобедренный, АВ = ВС. АС = 12см О Р = 32см. ? В него вписана окружность. А 12см Найти: r окружности. Решение АВ = ВС = 32 – 12 / 2 = 10см, т. к. АВС равнобедренный. S2ABC = p (p – a) (p – b) (p – c), где p = a + b + c / 2. P = 10 + 10 + 12 / 2 = 16. S2ABC = 16 (16 – 10) (16 – 10) (16 – 12) = 16 * 6 * 6 *4. SABC = 48см2. r = 2 * SABC / a + b + c. r = 2 * 48 / 32 = 3см. Ответ: r = 3см. С

Отвечая на предложенные вопросы, вам нужно сделать выбор между квадратом и кругом ( или производными от них). 1. 2. 5. 4. 3. 7. 8. 12. Назовите Что Литературно-музыкальный 6. 11. 10. Одна Как Кто 9.Как Назовите Как Назовите появляется называют называется такие называют изназываются иначе форм самую нематоды? способ синоним называют публичного ответственность под беспрерывное известную процесс, ящерицы глазами посева фразы секцию заканчивающийся обсуждения журнал, картину ряда усталого «В семейства движение ввсех среднем культур. школе? объем Казимира за человека? –каждого агам? это… чего-либо? исчислении». интересов, возвратом Малевича и каждого знаний к. за – это… всех? исходному положению, завершившийся цикл?

14. 25. 15. 30. Какое 16. 17. Назовите Какую 21. Какую 19. Назовите 18. 27. 13. Как название Каре Как Вычисление 20. форму Мера называют форму предмет, Один называют –иначе синоним это площади дали имеют из имеют боевой который видов вторую площади «страшному» располневшее фразы предписывающие окна запрещающие в порядок четыре диаграммы степень вбросают каютах или «Весь гектара пехоты поверхности расположению числа? год». лицо, теплоходов человеку, - дорожные …сумму дорожные – вдату? фигуру? это… виде… фигуры оказавшемуся грибов салонах знаки? – на за 29. 23. 24. Как 22. Назовите 26. 28. Как Как ласково Черно-белый Как называют называется один называют называют из широкую популярных участок участок значительную юбилейную и шахматной для приземистую видов взлета уравнений. доски вертолета? фигуру? денег? –изнаки? это… поляне? бортом. самолетов? это…

31. Как 33. 37. 36. 35. называется 34. Как 32. Какую Как Как Как называют называется называется форму движутся геометрическая уменьшение вид традиционно советская люди математической общая в хороводе? сходка фигура, количества детская имеет казаков? каравай? головоломки которую песня, значащих впредставляет которой вцифр в собойвиде записи семья? поется таблицы числа о рисунке по с числами? определенным мальчишки соправилам? знаменитой подписью?

«Геометрия – правительница всех мысленных изысканий». М. В. Ломоносов Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах, а также в других источниках. Название науки «геометрия» - древнегреческое происхождение. Оно составлено из двух древнегреческих слов ge - «Земля» и metreo – «измеряю». Еще в древности геометрия превратилась дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теориями, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.

В третьем веке до н. э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала». Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. В девятнадцатом веке благодаря в первую очередь трудам выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Вслед за тем математики создали и исследовали многие различные «геометрии». В современной геометрии есть и много других направлений. Одни сближают ее с теорией чисел, другие – с квантовой физикой, третьи – с математическим анализом. А некоторые разделы современной математики таковы, что трудно сказать, чего в них больше: геометрии, алгебры или анализа.

Много нового появилось со времен Евклида и в самой евклидовой геометрии. Еще в семнадцатом веке благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат, ознаменовавший собой революционную перестройку всей математики, и в частности геометрии. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так в рамках евклидовой геометрии появилась ее новая ветвь – аналитической геометрии, явившаяся мощным средством исследования геометрических образов. Например, метод координат позволяет быстро и с помощью несложных вычислений вывести основные свойства линии второго порядка (Эллипса, гиперболы, параболы). Геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу геометрии.

Список литературы 1. Атанасян Л. С. Геометрия 7 – 9 кл. Москва, издательство «Просвещение» 1990 г. 2. Берзина Л. Ю. и др. Геометрия 7 - 9 кл. Методическое пособие для учителя. Москва, издательство «Просвещение» 1990 г. 3. Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С. «Алгебра, геометрия 8 кл.». Самостоятельные и контрольные работы. Издательство «Илекса». Москва 2006 г. 4. Кукарцева Т. И. «Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах». Издательство «Аквариум» ГИППВ 1998 г. 5. Погорелов А. В. Геометрия 7 – 9кл. Москва, издательство «Просвещение» 2007 г.