Презентация "Квадратичная функция. Ее свойства и график""; 9 класс

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е.Жуковский)

Определение квадратичной функции Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида: y= ax +bx + c 2 где: a,b,c – числа Х – независимая переменная а0

А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ 1. Определить, какие из данных функций являются квадратичными: у = 5х2 + 3х у = х2 – 1 у = 6х3 – 5х2 + 7 у = 6х4 + 5х2 + 7 у = 5х + 2 у= -(х+3) у = 7х2 + 2х -1 2+2 у = х2 – 5х + 6

График любой квадратичной Алгоритм построения функции – парабола. параболы у = ах2 + bх + с : 1.Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симмертрии. 2.Определить направление ветвей параболы. 3.Найти координаты еще нескольких точек , принадлежащих искомому графику ( в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют). 4.Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

Построение графика функции у х

Мы уже строили графики функций вида у = ах2 + bх + с , выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде: ах2 + bx + с = а (х2 + =а =а x)+с = + с = b a  2 b b2  b2   x  2  x  2   2  2a +4сa = а 4a   2  b  b2     x  2  2a  4a   2 2 b 4 ac  b   x    2a  4a 

Нам удалось преобразовать квадратный трехчлен к приведенному виду у = а ( х – x0)2 + y0, b 4ac  b 2 , y0  Теперь если x 0  , то получаем , 2a 4a чтобы построить график функции у = ах2 + bx + с, надо выполнить параллельный перенос параболы у = ах2, чтобы вершина оказалась в точке ( x0 ; y0 )

- Таким образом, мы доказали теорему: Графиком квадратичной функции . у = ах2 + bх + с является парабола, которая получается из параболы у = ах2 параллельным переносом. Вершина параболы - ( х0; уо) , b где : хо = 2a 4ac  b 2 у0 = 4a Осью параболы будет прямаяb х=- 2a

Свойства квадратичной функции Функция непрерывна Множество значений при a>0 - 10 8 6 4 2 0 -3 -2 -1 Множество значений при a

Вспоминаем : Дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называется выражение b2 – 4ac Его обозначают буквой D, т.е. D= b2 – 4ac. Возможны три случая:  D0  D0  D0

•  если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, •  если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс, •  если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс, • если старший коэффициент квадратного трёхчлена (а) равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное), •  абсцисса вершины параболы равна

Дискриминант Свойство функции при а>0   Положительные значения D >0 D=0 D

Дискриминант Свойство функции при а0 D=0 D

- ветви параболы направлены вверх, При у b  2a При ветви параболы направлены вниз у f(x0) х х b  2a

Назовите те параболы, ветви которых будут направлены вниз f(x) = ( х + 2 ) f(x) = - 3х2 + 1 2–3 f(x) = 7х2 + 2х -1 f(x) = 0,5 х2 – 6х + 5 f(x) = - 2 ( х – 3 ) 2+4 f(x) = х2 + (а + 1)х + 3 f(x) = ( х + 2 ) f(x) = 6х3 – 5х2 + 7 2 –3

Для закрепления теоретических знаний решим задачу. Задание: Построить график функции : 3 2 х 6 х + у = 8х х

Решение : х 3 - 6 х2 + у = 8х х х 0 у = Х 2 -6 х + 8 у = (х2- 2х3 хх + 9) – 1 = = ( х - 3 )2 -1 График функции можно построить двумя способами:

Построение графика функции по 1 способу: Построим график у = х 2, затем произведем параллельный его перенос на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз. b 4ac  b 2 x 0  3, y 0   1 2a 4a

Построим график , используя свойства квадратичной функции у =х2-6х +8: ( 3; -1)- вершина параболы (т.к. х = -(b/ 2a); y=(4ac – b2) / 4a ) Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х=2 иХ=4 а > 0 (Ветви параболы направлены вверх) Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8) Ось симметрии Построение графика функции по 2 способу:

Область значений функции – Е (f) = [ -1 ; + ) + ) Функция убывает в промежутке ( ; +3] Наименьшее значение функции равно -1 Наибольшего значения функции не существует f(x) > 0 при х < 2, или х > 4 f(x) < 0 при 2 < х

Литература 1. Методическая разработка урока «Функция у = ах2 + bx + с, ее свойства и график».УМК «Алгебра, 8 класс» А.Г. Мордкович.Гл. 2 «Квадратичная функция». 2. Мерзляк А.Г.Полонский В.Б. Якир М.С. Алгебра:Учебник для 9 кл. общеобразовательных учебных заведений.- Х. Гимназия, 2009

Подумай еще

Молоде ц!!!

Квадратичн ая функция. Её свойства и график. РАБОТУ ВЫПОЛНИ Л: УЧЕНИК 9-В КЛАССА УВК 22 «Многопрофильный лицей» г.Горловки Донецкой обл. КРАПИВЦОВ ДЕНИС

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е.Жуковский)

Определение квадратичной функции Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида: y= ax +bx + c 2 где: a,b,c – числа Х – независимая переменная а 0

А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ 1. Определить, какие из данных функций являются квадратичными: у = 5х2 + 3х у = х2 – 1 у = 6х3 – 5х2 + 7 у = 6х4 + 5х2 + 7 у = 5х + 2 у= -(х+3) у = 7х2 + 2х -1 2 +2 у = х2 – 5х + 6

График любой квадратичной Алгоритм построения функции – парабола. параболы у = ах2 + bх + с : 1.Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симмертрии. 2.Определить направление ветвей параболы. 3.Найти координаты еще нескольких точек , принадлежащих искомому графику ( в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют). 4.Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

Построение графика функции у х

Мы уже строили графики функций вида у = ах2 + bх + с , выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде: ах 2 + bx + с  2 b b2 = а  x  2  x  2  2 a 4 a  2  b  b2 = а  x    2 2 a 4 a   = b2 а (х + a  b2    2   4a     x)+с = + с = 2 +с = 2 b 4 ac  b   а x    2a  4a 

Нам удалось преобразовать квадратный трехчлен к приведенному виду у = а ( х – x0)2 + y0, b 4ac  b2 , y0  Теперь если x0  , то получаем , 2a 4a чтобы построить график функции у = ах2 + bx + с, надо выполнить параллельный перенос параболы у = ах2, чтобы вершина оказалась в точке ( x0 ; y0 )

- Таким образом, мы доказали теорему: Графиком квадратичной функции . у = ах2 + bх + с является парабола, которая получается из параболы у = ах2 параллельным переносом. Вершина параболы - ( х0; уо) , b где : хо = 2a 4ac b2 у0 = 4a Осью параболы будет прямаяb х=- 2a

Свойства квадратичной функции Функция непрерывна Множество значений при a>0 - 10 Множество значений при a

Вспоминаем : Дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называется выражение b2 – 4ac Его обозначают буквой D, т.е. D= b2 – 4ac. Возможны три случая: D  0 D  0 D  0

•   если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, •   если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс, •   если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс, • если старший коэффициент квадратного трёхчлена (а) равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное), •   абсцисса вершины параболы равна

Дискриминант Свойство функции при а>0 Положительные значения Отрицательные значения Промежуток возрастания Промежуток убывания   Минимальное значение D >0 D=0 D

Дискриминант Свойство функции при а0 D=0 D

- ветви параболы направлены вверх, При у b  2a При ветви параболы направлены вниз у f(x0) х х b  2a

Назовите те параболы, ветви которых будут направлены вниз f(x) = ( х + 2 ) 2 –3 f(x) = - 3х2 + 1 f(x) = 7х2 + 2х -1 f(x) = 0,5 х2 – 6х + 5 f(x) = - 2 ( х – 3 ) 2 +4 f(x) = х2 + (а + 1)х + 3 f(x) = ( х + 2 ) f(x) = 6х3 – 5х2 + 7 2 –3

Для закрепления теоретических знаний решим задачу. Задание: Построить график функции : 3 2 х 6 х + у = 8х х

Решение : х 3 - 6 х2 + у = 8х х х 0 у = Х 2 -6 х + 8 у = (х2- 2х3 хх + 9) – 1 = = ( х - 3 )2 -1 График функции можно построить двумя способами:

Построение графика функции по 1 способу: Построим график у = х 2, затем произведем параллельный его перенос на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз. b 4ac b2 x0  3, y0   1 2a 4a

Построим график , используя свойства квадратичной функции у =х2-6х +8: ( 3; -1)- вершина параболы (т.к. х = -(b/ 2a); y=(4ac – b2) / 4a ) Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х=2 иХ=4 а > 0 (Ветви параболы направлены вверх) Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8) Ось симметрии Построение графика функции по 2 способу:

Область значений функции – Е (f) = [ -1 ; + ) + ) Функция убывает в промежутке ( ; +3] Наименьшее значение функции равно -1 Наибольшего значения функции не существует f(x) > 0 при х < 2, или х > 4 f(x) < 0 при 2 < х

Литература 1. Методическая разработка урока «Функция у = ах2 + bx + с, ее свойства и график».УМК «Алгебра, 8 класс» А.Г. Мордкович.Гл. 2 «Квадратичная функция». 2. Мерзляк А.Г.Полонский В.Б. Якир М.С. Алгебра:Учебник для 9 кл. общеобразовательных учебных заведений.- Х. Гимназия, 2009

Спасибо за внимание!

Подумай еще

Молоде ц!!!