Презентация по алгебре "Решение уравнений степень, которых больше двух. Решение уравнений"; 8, 9 класс

Решение уравнений с одной переменной, степень которых больше двух. Уравнения, решаемые методом разложения на множители. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разработка учителя математики Потёмкиной Натальи Борисовны Структурное подразделение ГO ГOУ CОШ CОШ № 409 при ФГУ НИДОИ им. Г.И. Турнера, Турнера,

Алгоритм 1. Разложить левую часть уравнения на множители. умножения; - вынесение за скобки общего множителя; - формулы сокращенного - способ группировки; - деление многочлена на многочлен. 2. Приравнять каждый множитель к нулю. - произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл. 3. Решить каждое уравнение отдельно. 4. Записать ответ.

Уравнения, решаемые методом разложения на множители. Вынести за скобки общий множитель Пример 1 х³ – 9х = 0 Формула сокращенного умножения х (х² - 9) = 0 х (х – 3)(х + 3) = 0 х=0 =0 х–3=0 х=3 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом существуют х+3 х=-3 Ответ: -3; 0; 3.

Пример 2 Применим способ группировки а³ - 2 – а + 2а² = 0Вынесение за скобки общего множителя (а³ - а) + (2а² – 2) = Вынесение за скобки общего 0 множителя а (а² - 1) + 2 (а² - 1) = Произведение равно нулю, 0 когда один из множителей равен нулю (а² - 1) (а + 2) = 0 а² - 1 = 0 а1,2 = ±1 а+2=0 а=-2 Ответ: - 2; -1; 1.

Пример 3 Применить алгоритм деления многочлена на многочлен х³- 2х² - 5х + 6 = 0 (х – 1)(х – 3)(х + 2) = Произведение равно нулю, когда один из 0множителей равен нулю х–1=0 х–3=0 х+2=0 х=1 х=3 х = -2 Ответ: -2; 1; 3.

Вынесение за скобки общего множителя Алгоритм - найти общий множитель; - вынести его за скобки. Пример: ab + ac – ad = a (b + c – d)

Формулы сокращенного умножения 1. Формула разности квадратов а² – в² = (а – в) (а + в) Пример: 4а² – 25в² = (2а – 5в) (2а + 5в) 2. Формула квадрата суммы а²+ 2ав + в² = (а + в) ² = (а + в) (а + Пример: в) а²+ 6ав + 9в² = ( а + 3в)² = (а + 3в) (а + 3в) 3. Формула квадрата разности а² - 2ав + в² = (а - в) ² = (а - в) (а - в) Пример: 4а² – 4ав + в² = (2а – в)² = (2а – в) ( 2а – в)

Способ группировки применяется к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Алгоритм 1. Объединить члены многочлена в группы, имеющие общий множитель. множитель 2. Вынести общий множитель за скобки. Пример: ав – 2с – вс + 2а = (ав – вс) + (2а – 2с) = = в (а – с) + 2 (а – с) = (а – с) (в + 2)

Алгоритм 1. Найти целый корень многочлена Рп(х), если такой есть. - выписать все делители свободного члена; - подставляя поочередно каждый делитель в многочлен Рп(х) вместо переменной х, выяснить, при каком значении х это значение х и будет корнем многочлена Рп(х). Рп(х) = 0, Понизить степень этого многочлена. - разделить многочлен Рп(х) на (х – х1), где х1 - корень многочлена Рп(х) : (х – х1) = Рп-1 (х) 3. Найти целый корень многочлена Рп-1(х), если такой есть. (аналогично п.1) 4. Понизить степень многочлена Рп-1(х) - разделить многочлен Рп-1(х) на (х – х2), где х2 - корень многочлена Рп-1(х) : (х – х2) = Рп-2 (х) . Повторять п.1 и п.2, пока не получим многочлен первой степени. степени 2.

Пример: Р3(х) = х³- 2х² - 5х + 6 - Найти делители числа 6. 6 делится на - Найти целый корень многочлена Р3(х) = 0 -1; 1; -2; 2; -3; 3; -6; 6. если х = -1, то Р3(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 5(-1) + 6 ≠ 0 х = -1 не является корнем уравнения если х = 1, то Р3(1) = 1³ - 2 . 1 – 5 . 1 + 6 = 0 = 1 является - Понизить степень многочленах (разделить Р3(х) корнем на (х – 1))уравнения х³ - 2х² - 5х + 6 х - 1 х³ - х² х² - х - 6 Р2(х) = х² - х - 6 - х² - 5х - х² + х - 6х + 6 Р3 (х) = (х – 1)(х² - х – 6) - 6х + 6 0 - Найти делители числа 6. 6 делится на 6; 3; 2; 1; -1; -2; -3; -6. - Найти целый корень многочлена Р2(х) = 0 если х = 3, то Р2(3) = 3² - 3 – 6 = 0. Тогда х = 3 является корнем - Понизить степень многочлена (разделить Р2(х) на (х – 3)) х² - х - 6 х² - 3х 2х - 6 2х - 6 0 х-3 х+2 уравнения Р3(х) = х³- 2х² - 5х + 6 = (х – 1)(х – 3)(х + 2)

Уравнения, сводящиеся к квадратным сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной биквадратные уравнения ? ? возвратные уравнения ? дробно-рациональные уравнения * ?

Биквадратными уравнениями ах4 называют уравнения вида + вх² + с = 0, где а ≠ 0. Алгоритм 1. Заменить х² = t. 2. Решить квадратное уравнение аt² + bt + c = 0 относительно t. 3. Решить уравнения х² = t. 4. Записать ответ.

Заменим х² на t Пример. 4х 4- 5х² + 1 = 0 Решим квадратное уравнение 2 Пусть х = t, тогда 4t 2- 5t + 1 = 0 а= Д = в2 – 44ас t = 1. -в±√Д в=-5 Д = (- 5) – 4 . 4 . 1 2 ; 2а Если t = 1 с=1 t= - (- t= 4 уравнение х² Решим 5)±√9 ; то х 2 2 .4 = 1 =t 2. Если ; 4 4 х √ 1,2 = ± Х1,2 = ± 1 Д=9>0 два 1 t =1 ; tкорня = 1, то х² = 1 Х1,2 = ± √ 1 Х1,2 = ± 1 1 4 2Ответ: - 1 ; -1; 1 ; 1.

Уравнения, сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной (ax² + bx)² – c (ax² + bx) + d = 0 Алгоритм . Найти в левой части уравнения дважды встречающиеся выражения (один раз в квадрате, другой раз в первой степени). ax² +bx . Ввести новую переменную, подставив ее в уравнение вместо ax² + bx = t повторяющегося выражения. t² - ct + d = 0 . Решить квадратное уравнение относительно новой переменной . Найти t. 4. Решить уравнения ax² +bx = t. 5. Записать ответ.

Пример Найдем дважды встречающееся выражение Введем новую переменную (х² + 2 х + 4)²– 7 ( х² + 2 х + 4) + 12 = 0 Пусть х² + 2х + 4 = t, тогда Решим квадратное уравнение t² - 7 t + 12 = 0 Применим теорему обратную теореме Виета: Решим уравнение t1 + t 2 = 7 t1 = 3; t2 = х²+ 2х + 4 = t t1 . t2 = 12 4 1. Если t = 3, 2. Если t = 4, то х²+ 2х + 4 = 4 то х² + 2х + 4 = 3 х² + 2х = 0 х² + 2х + 1 = 0 х ( х + 2) = 0 х1 + х2 = - 2 х1 = - 1 х 2 = - 1 х=0 х=-2 х1 . х2 = 1 Ответ: - 2; - 1; 0.

Возвратные уравнения уравнения вида ax + bx³+ cx² + dx + m = 0 4 от произвольного уравнения четвертой степени его отличает то, что крайние коэффициенты а и m связаны с коэффициентами следующим соотношением m d 2 ( ) a b b и d

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Алгоритм m d 2 Так как  ( ) , обозначим d  е , тогда d  be, m  ae 2 a b b Уравнение примет вид. 4 аx + bx³+ cx² + bex + ae² = 0 Объединить I и V , II и IV слагаемые. Разделить обе части уравнения на х² (х²≠0, т.к. m≠0 ). Вынести общие 2 e e множители за скобки. 2 a ( x  2 )  b( x  )  c  0 Ввести новую переменную x x e y  x x 2 тогда e e 2 2 x  2  ( x  )  2e  y 2  2e x x Сделать подстановку в уравнение из пункта 3 и решить получившееся квадратное уравнение. Найдем у. e Вернуться к уравнению y  x  x Записать ответ. и решить его.

Объединим I и V, II и IV слагаемые Пример: x 4 + 2x³ - 18x² - 10x + 25 = 0 (x 4 + 25) + (2x³ - 10x) - 18x² = 0 (х² + 25 ) +2 (х – 5 ) – 18 = 0 х² Разделим обе части на х², вынесем общий множитель за скобки Введем новую переменную х тогда , Пусть у = х – 5 , у 2 = х 2 – 10 + 25 2 Вернемся к х переменной следовательнох х 2 + 252 = у 2 – 10 х х Уравнение примет вид 1.Если у = 2, то х– 5 =2 х = 1 + 6х х = 1 - 6 у² + 10 + 2у – 18 = 0 у² + 2у – 8 = 0 у = 2 у=-4 2. Если у = - 4, то х– 5 =-4 х=1 Ответ: - 5; 1 - 6 х = -х5 ; 1; 6

Дробно – рациональные уравнения уравнения вида Р1 (х) Q1 (x) + Р2 (х) + Р 3(х) + Q 2(x) Q3 (x) …+ Рm (х) =0 Q m(x) где Р1 (х); Р2 (х); Р3 (х); …; Рm (х); …; Q1(x); Q2 (x); Q3(x); …; Qm(x); … – многочлены от неизвестного х

Алгоритм 1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить получившееся целое уравнение. 4. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель. 5. Записать ответ.

знаменатель х – 3 + 1 = х + 5__ Найдем общий дробей х–5 х х(х – 5) Общий знаменатель дробей х(х – 5) Пример: х(х – 3) + (х – 5) = х + 5 Упростим уравнение х² - 3х – 10 = 0 х = -2; Найдем корни квадратного уравнения х = 5. Пусть х = -2, Умножим обе части уравнения на общий знаменатель Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения -2(-2 – 5) ≠ 0 общий знаменатель х(х – 5) не обращается - 2 является корнем уравнения в ноль, Пусть х = 5, тогда значит число тогда 5(5 – 5) ≠ 0 общий знаменатель х(х – 5) обращается в ноль, выражения х–3 и х + 5 теряют смысл х–5 х(х – 5) 5 не является корнем уравнения. Ответ: -2.