Презентация по алгебре "Тригонометрические уравнения и неравенства"; 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства Обобщающий урок Алгебра-10 Шабанова Галина Николаевна, учитель математики МОУ «Егорьевская СОШ» Егорьевский район Алтайский край

Как работать Сегодня весь урок ты будешь работать самостоятельно. Ты сможешь обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений и неравенств. В ходе урока ты сможешь проверить степень своей готовности к предстоящей контрольной работе. К концу урока постарайся зафиксировать свои ошибки (сколько, какие). В дальнейшем вместе с учителем ты сможешь разобрать эти ошибки. 2

План урока • Устная разминка • Решение уравнений базового уровня • Решение неравенств • Решение уравнений повышенного уровня • Дополнительное задание • Подведение итогов 3

Вспомни формулы arcsin(-a) = -arcsina для любого а  [-1,1]  [0,1] arccos(-a) = π-arcosa для любого а arctg(-a) = -arctga для любого а arcсtg(-a) = π-arcсtga для любого а 4

Устная разминка Вычисли и запиши в столбик ответы в тетради: 1.arcsin 2. arccos 3. arctg 4. arctg ( - 3 2 2 2 3 3) 3 1 5.arcsin (– 2 ) 6. arccos (-1) 7 arcсоs(- 3 2 ) Проверь ответы: 1)  3  4  3) 3 2)  6  5)  6 4)  6) π 5 7) 6 5

Вспомни и запиши формулы для решения уравнений 1. сos x=a, |a|≤1 х = ±arccos a+2πk 3. tgx=a х = аrctg a+πk 2. sinx=a, |a|≤1 п х= (-1) ·arcsina+πп 4. сtgx=a х = arcctga+πk 6

Реши уравнения базового уровня Проверь ответы: 1) 2соsx - 3 = 0 2) sin2x =- 3 2 1) х= ±π/6+2πk. п 2) х= (-1) · (-π/6) +πn/2. 3) 2соs(x - π ) = -1 3) х= 4) tg²x - 6tgх+5=0 4) х= π/4+πn, х=arctg5+πk. 4 5) (2sinx – 1)(cosх-1)=0 Если неверно К слайду 9 11π 12 5π +2πk, х= - 12 + 2πk. п 5) х= (-1) · π/6 + πn, х= 2πk. Если верно К слайду 10 7

Решение некоторых уравнений базового уровня 4)tg²x - 6tgх+5=0 Обозначим tgх=а. тогда π 3) 2соs(x - 4 ) = -1, π соs(x - 4 ) = -1/2, ххх= π 4 π 4 π 4 а² -6а+5=0 = ±arccos (-1/2) +2πk, Отсюда а = 5, а = 1 , 1 2 2π +2πk, 3 2π +2πk, 3 =± ± 11π х= 12 +2πk, х= - 5π + 12 tgх=5 2πk х=arсtg5 + πk, и tgх=1 х=arctg1 + πk, х= 5) (2sinx – 1)(cosх-1)=0 Подсказка: произведение равно 0, если… 8 π +πk 4

Решение неравенств Реши неравенства: 3 2 1) cos х > Проверь ответы: 1)-π/6 +2πk 2 2 Если неверно К слайду 11 4) π/4+2πk < х < 3π/4+2πk Если верно К слайду 12 9

Проверь решения неравенств у 1)cos х > 3 2 π/6 º3 2· х º- π/6 -π/6 +2πk · 2 2 у π/4+2πk < х < 3π/4+2πk 3π о 4 х · º 2 2 º π 4 х 10

Реши уравнения повышенного уровня Проверь ответы: 1. sin5х = cos5х π 1. х = 20 + πκ 5 2. sin²х+cos(π/2-х)sin(π/2-х)-2cos²х=0 2. х= π +πk, 4 х= -arctg2+πk 3. tg(2π+х)+2tg(π/2+х)= -1 3. х= π +πk, 4 х= -arctg2+πk Если неверно К слайду13 Если верно К слайду 14 11

Решение уравнений повышенного уровня 1. sin5х=cos5х (однородное 1-й степени) Разделим обе части на cos5х. Получим: 5х=arctg1+πk, 5х= π/4+πk, π 20 + πκ 5 3. tg(2π+х)+2tg(π/2+х)= -1, tgх- 2/tgх = -1. Умножим обе части на tgх, при условии tgx≠0.Получим: tg²x-2=-tgx, tg²x+tgx-2=0, отсюда: tgx =1, tgx=-2. х= π +πk, х=-acrctg2+πk 4 (однородное 2-й степени). Упростим левую часть по формулам приведения: tg5x=1, х= 2. sin²х+cos(π/2-х)sin(π/2-х)-2cos²х=0 sin²х+sinх ·cosх -2cos²х=0. Разделим обе части на соs²x: tg²x+tgx -2=0, отсюда: tgx=1 и tgx=-2 х= π +πk, х= -arctg2+πk 4 12

Дополнительно 1. Реши уравнение: и найди: 2sin( 3π 4 -х)= 3 а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие промежутку [0,π] 2.Реши уравнение: sin²2x-3=2sin2хcos2x 13

Подведение итогов Итак, мы закончили изучение очень важной темы « Тригонометрические уравнения и неравенства». К этой теме мы вернёмся при изучении следующей главы «Преобразование тригонометрических выражений». Сегодня на уроке повторили общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений, а также частные формулы. На уроке также были рассмотрены основные виды и способы решения тригонометрических уравнений: •разложение на множители; •замена переменной; •однородные тригонометрические уравнения 1-й и 2-й степени. Если было что-то непонятно, обратись к учителю. 14

Источники информации А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Задачник. 15