Презентация по математике "Координатный метод" для 9 класса

Координатный метод Геометрия Подготовила Глазкрицкая Светлана Геннадьевна

Содержание Координаты точки  Расстояние между точками  Уравнение окружности  Координаты середины отрезка  Уравнение прямой  Заключение 

Координаты точки y 1 O 1 x Прямоугольная система координат:  O – начало;  Ox – ось абсцисс;  Oy – ось ординат;  Ox ┴ Oy  на осях выбран масштаб (единичный отрезок) Говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат, если через некоторую точку О плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (которое на рисунке отмечается стрелкой) и одна и та же единица измерения отрезков. Точка O называется началом координат, а прямые с выбранными на них направлениями – осями координат. Одна из осей координат называется осью абсцисс, а другая – осью ординат. Ось абсцисс обозначается Ox, а ось ординат – Oy.

y Положительные полуоси 1 O 1 x Отрицательные полуоси Для каждой из осей определены два противоположных луча с началом в точке O. Луч, направление которого совпадает с направлением координатной оси, называется положительной полуосью, а другой – отрицательной полуосью.

Y абсцисса M (x; y) y ордината 1 O 1 x X Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то в этой системе координат каждой точке M плоскости соответствует упорядоченная пара чисел x, y. Эта пара чисел называется координатами точки M. Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой.

Пусть M1 и M2 – точки пересечения осей координат Ox и Oy с прямыми, проходящими перпендикулярно им через точку M соответственно. Тогда координаты x, y точки M определяются следующим образом:  x = OM1, если точка M1 принадлежит положительной полуоси;  x = 0, если M1 совпадает с точкой O;  x = – OM1, если точка M1 принадлежит отрицательной полуоси;  y = OM2 , если M2 принадлежит положительной полуоси;  y = 0, если M2 совпадает с точкой О;  y = – OM , если точка M2 принадлежит отрицательной полуоси. y M M2 1 O 1 M1 x

Координаты точки M записываются в скобках после обозначения точки: M (x; y) (на первом месте записывается абсцисса, на втором записывается ордината). Если точка M лежит на оси Ox, то она имеет координаты (x; 0), если M лежит на оси Oy, то ее координаты – (0; y). y y M (0; y) 1 O 1 M (x; 0) 1 x O 1 x

Рассмотрим примеры. y A x D O C B Пусть ABCD – квадрат, длина стороны которого равна двум единицам длины, а прямоугольная система координат выбрана так, как показано на рисунке 1. Тогда в выбранной системе вершины квадрата имеют координаты: A (0; Рис. 1 2); B ( 2 ; 0); C (0; – 2 ); D (– 2; 0). y D (-1; 1) -1 C (-1; -1) 1 O -1 A (1; 1) 1 x B (1; -1) Рис. 2 Если система координат выбрана так, как показано на рисунке 2, то координаты вершин данного квадрата в этой системе имеют координаты: A (1; 1); B (1; –1); C (–1; –1); D (–1; 1).

Расстояние между точками Рассмотрим вопрос о нахождении расстояния между точками, если известны их координаты. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат и известны координаты точек A и B в этой системе координат: A (x1; y1) и B (x2; y2). Тогда расстояние d (A, B) = AB между точками A и B можно найти по формуле d ( A, B)  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 y A (x1; y1) y1 B (x2; y2) y2 O x1 x2 x

2 2 d ( A , B )  ( x  x )  ( y  y ) Докажем формулу для случая, 2 1 2 1 когда x1 �x2 и y1 �y2 , т. е. когда отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Пусть C – точка пересечения прямых l1 и l2, которые проходят через точки A, B соответственно и параллельны осям Oy, Ox. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Длины y  y1 сторон AC и BC равны: AC = x2  x1 , BC = 2 . Тогда по теореме Пифагора AB  AC 2  BC 2 d ( A, B)  или 2 2 x2  x1  y2  y1  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 . y l1 l2 C O A B x

Заметим, что формула d ( A, B )  ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) верна и для случаев: а) х1 = х2, y1 �y2 (отрезок параллелен оси Oy, рисунок 1); б) х1 �х2, у1 = у2 (отрезок параллелен оси Ox, рисунок 2); в) х1 = х2, у1 = у2 (точки A и B совпадают). 2 В случае а) d (A, B) = AB = В случае б) d (A, B) = AB = ( y2  y1 ) 2  y2  y1 ( x2  x1 ) 2  x2  x1 2 . . Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0. y y1 A (x; y1) A (x1; y) y2 B (x; y2) x1 O x x Рис. 1 y B (x2; y) O x2 x Рис. 2

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить площадь квадрата ABCD, две вершины которого имеют координаты A (8; 8) и B (5; 5). Площадь квадрата равна квадрату длины стороны. Следовательно, SABCD = AB² . Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками d ( A, B)  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 ; AB  (8  5) 2  (8  5) 2  32  32  3 2. Таким образом, площадь квадрата SABCD = AB = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед.

Уравнение окружности y M (x; y) C y0 O x0 x Рассмотрим вопрос об уравнении окружности. Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигуры, если ему удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре. Составим уравнение окружности с центром в точке O (x0; y0) и радиусом R. Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. Тогда в силу определения окружности СM = R. Следовательно, квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 .

Пусть точка M1 (x1; y1) не принадлежит окружности, тогда СM1 ≠ R, а значит, (x – x1)2 + (у – у1)2 ≠ R2, т. е. если точка не принадлежит окружности, то еe координаты не удовлетворяют уравнению (x – x0)2 + (у – у0)2 = R2 . Таким образом, уравнение (x – x0)2 + (у – у0)2 = R2 есть уравнение окружности с центром в точке С (x0; y0) и радиусом R. Заметим, что если центр окружности совпадает с началом системы координат, то уравнение окружности имеет вид y x2 + y2 = R2 . R O x

y M A B O x Задача. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A (–6; 0) и B (6; 0) равна 104. Решение. 1) Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM2 + BM2 = 104. 2) Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем: AM  ( x  6) 2  y 2 ; BM  ( x  6) 2  y 2 . 3) По условию задачи (x + 6)2 + y2 + (x – 6)2 + y2 = 104. После упрощения получаем x2 + y2 = 16. Если точка M (x; y) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM2 + BM2 ≠ 104, а значит, координаты точки M (x; y) не удовлетворяют уравнению x2 + y2 = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид x2 + y2 = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.

Координаты середины отрезка y O Рассмотрим вопрос о вычислении координат середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка. Пусть A (x1; y1) и B (x2; y2) – произвольные точки плоскости, а точка C (x0; y0) – середина A отрезка AB. Найдем координаты х0 и y0. Найдем координату x0. C 1) Пусть отрезок AB не параллелен оси Oy, т. е. x1 ≠ x2. Проведем через точки A, B и C прямые, B параллельные оси Oy, которые пересекают ось Ox в точках A1 (x1; 0), B1 (x2; 0) и C0 (x0; 0) соответственно. Тогда по теореме Фалеса точка C0 (x0; 0) – середина отрезка A1B1, т. е. A1C0 = C0B1 A1 C0 B1 x или |x0 – x1| = |x0 – x2|. Отсюда следует, что либо x0 – x1 = x0 – x2, либо x0 – x1 = –(x0 – x2). Так как x1 ≠ x2, то первое равенство невозможно, а значит, x x верно второе равенство, получаем, x0  1 из2которого . 2 что

y 2) Пусть отрезок AB параллелен оси Oy, т. е. x1 = x2. В этом случае все точки A1, B1, C0 имеют одну и ту же абсциссу, а следовательно, формула A C x0  B x1  x2 . 2 верна и в этом случае (рис. 1). O x Рис. 1 y A Координата y0 точки C0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, параллельные оси Oх (рис. 2), а соответствующая формула имеет вид C B O y1  y2 y0  . 2 x Рис. 2

y A (x1; y1) y1 C (x0; y0) y0 B (x2; y2) y2 O x1 x0 x2 x Середина C отрезка AB, где A (x1; y1), B (x2; y2): C ( x0 ; y0 ) y1  y2 x1  x2 y  x0  ; 0 2 2

Задача. Концами отрезка служат точки A (–8; –5), B (10; 4). Найдите координаты точек C и D, которые делят отрезок AB на три равные части. Решение. Пусть точки C и D имеют координаты (xC; yC) и (xD; yD). 1) Найдем абсциссы точек C и D. Так как точка C – середина отрезка AD, то выполняется равенство xC  xD  8 , 2 так как точка D – середина отрезка CB, то xD  Решив систему 2xC = xD – 8, 2xD = 10 + xC , находим xC = –2, xD = 4. 10  xC . 2

2) Найдем ординаты точек С и D. Для нахождения ординат точек С и D воспользуемся равенствами y 5 y 4 yC  D ; yD  C . 2 2 Решив систему 2yC = yD – 5, 2yD = yC + 4, находим yC = –2, yD = 1. Ответ: C (–2; –2), D (4; 1).

y l Уравнение прямой Выведем уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты которых известны. A Пусть на плоскости дана прямая l и выбрана прямоугольная система координат. Рассмотрим B две различные точки A (x1; y1) и B (x2; y2) такие, что прямая l является серединным O x перпендикуляром для отрезка AB. 1) Если точка M (x; y) лежит на прямой l, то AM = BM. Следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению (x – x1)2 + (y – y1)2 = (x – x2)2 + (y – y2)2, которое после преобразования принимает вид ax + by + c = 0, где a = 2(x1 – x2), b = 2(y1 – y2), c = x22 + y22 – x12 – y12. Заметим, что хотя бы один из коэффициентов a, b уравнения ax + by + c = 0 не равен нулю, т. к. точки A и B различные, а значит, хотя бы одна из разностей x1 – x2, y1 – y2 не равна нулю. Таким образом, если точка M лежит на прямой l, то ее координаты удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0, где коэффициенты a и b одновременно не равны нулю. M

y l A 2) Если точка M (x; y) не лежит на прямой l, то AM ≠ BM и AM2 ≠ BM2, а следовательно, координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0. M B O x Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени ax + by + c = 0 , где a и b одновременно не равны нулю.  Если a = 0, то y = c1 – прямая || Ox.  Если b = 0, то y = c2 – прямая || Oy.  Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ACB с прямым углом при вершине C. Найдите множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM2 + BM2 = 2CM2. Решение. y B A C x Рассмотрим систему координат, начало которой совпадает с вершиной C, а вершины A и B расположены на осях Ox и Oy, как показано на рисунке. Если катет данного треугольника равен a, тогда (0; 0), (a; 0), (0; a) – координаты точек C, A и B в выбранной системе координат соответственно. Пусть (x; y) – координаты точки M, принадлежащей искомому множеству точек.

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, если известны их координаты: AM  ( x  a ) 2  y 2 , BM  x 2  ( y  a) 2 , CM  x 2  y 2 . По условию задачи AM2 + BM2 = 2CM2, следовательно, (x – a)2 + y2 + x2 + (y – a)2 = 2(x2 + y2). Отсюда получаем уравнение x + y – a = 0. Если точка M (x; y) не принадлежит искомому множеству точек, то AM2 + BM2 ≠ 2CM2, а значит, координаты точки M не удовлетворяют уравнению x + y – a = 0. Таким образом, x + y – a = 0 есть уравнение искомого множества точек и это множество есть прямая, на которой лежит гипотенуза AB данного треугольника.

Заключение Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать еe, используя знания по алгебре.