Презентация по алгебре "Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла"

Алгебра 11 класс Липлянская Татьяна Геннадьевна, учитель математики МОУ «СОШ №3»

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 1. О вычислении площади криволинейной трапеции 2. О вычислении массы стержня 3. О перемещении точки

Задача 1. О вычислении площади криволинейной трапеции у y= f(x) О а х1 х2 Фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b] функции, осью х, прямыми х=а и х= b (a

у f (xk) О S  f ( xk ) x хk хk x k+1 х

Площадь трапеции приближенно равна площади Sn у S n  f ( x0 ) x0  f ( x1 ) x1  ...  f ( xn  1 ) xn  1 y= f(x) S S n Чем больше n, тем точнее S Площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности Sn О а х1 х2 xn-1 b х S lim S n n 

Задача 2. Дан прямолинейный неоднородный стержень. Найти массу стержня. a m  V b 1. Разобьем отрезок [a;b] на равные части 2. Рассмотрим участок [x k;x k+1], допустим что его плотность постоянна mk   xk  xk m S n m0  m1  ...  mn  1    x0  x0    x1  x1  ...    xn  1  xn  1 m l im S n n 

Задача 3. По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a;b] 1. 2. Разделим промежуток времени [a;b] на n-равных частей Рассмотрим [t k ;t k+1]. Будем считать, что на этом промежутке скорость была постоянной. sk v t k  t k s S n S n s0  s1  ...  sn  1  v t0  t0  v t1  t1  ...  v t n  1  t n  1 s lim S n n 

S lim S n n  m lim S n n  s lim S n n  Три задачи привели к новой математической модели: •Новый термин •Обозначение •Научиться с ней работать

Определенный интеграл lim S n n  Называют определенным интегралом от функции по отрезку [a;b] b lim S n f  x  dx n  a

b S f ( x)dx a b m p ( x)dx Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции Физический смысл определенного интеграла Масса неоднородного стержня a b s v t dt a Перемещение точки

История возникновения знака интеграла S сумма  Интеграл от лат. integer - «целый»

Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона -Лейбница Теорема: Если y  f ( x) непрерывна на  а; b , то b f(x)dx F (b)  F (a), где F(x) первообразная a b b f ( x ) dx  F ( b )  F ( a )  F ( x )  a a

Пример 1 3 4 х dx  1 4 3 х  4 3   1 81 1 80      20 4 4 4 4 4 1 4 4

Правила вычисления определенного интеграла b b b a a a  f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx b b kf ( x)dx k f ( x)dx a a Если a  c  b , то c b b f ( x)dx  f ( x)dx f ( x)dx a c a