Презентация "Теоремы синусов и косинусов"

Геометрия, 9 класс Колесова Ж. В., учитель математики МОУ «СОШ п. Бурасы Новобурасского района Саратовской области»

ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

В 8 А 30 S-? о 6 С S = 12

В С 120 А BD = 6, AC = 10 S - ? D S = 15 3

C B 4 о 60 А 6 S-? S = 12 D 3

В С 135 А AC = 12 S - ? о D S = 36 2

В С 120 о А BD = 10, ВC = 5 3 CD - ? D CD = 5

C B 4 К о 60 А Н ВН - ? ВК - ? D 8 ВН = 2 3 ВК = 4 3

В Н 4 о 60 А ВС = 2 7 С 6 АН - ? АН 6 3 = 7

ТЕОРЕМА СИНУСОВ Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

В Дано:  АВС Доказать: АВ BC AC   sin C sin A sin B А С

Доказательство: В 1 S  ABC = AB BC sin B (1) 2 1 S ABC = AС BC sin С (2) 2 1 S ABC = AB AC sin A (3) 2 А С

Приравняем равенства (1) и (2), получим 1 AB BC sin B 2 1 = AС BC sin С 2 1 Сократим на BC, получим 2 AВ sin B = AС sin С  АВ AC  sin C sin B

Приравняем равенства (2) и (3), получим 1 AB АC sin А 2 1 = AС BC sin С 2 1 АC, получим Сократим на 2 AВ sin А = ВС sin С  АВ ВC  sin C sin А

Объединив равенства АВ AC  sin C sin B И АВ ВC  sin C sin А получим АВ BC AC   sin C sin A sin B ЧТД

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано:  АВС Доказать: a = b + c –2bc*cosA

у А С (bcosA; bsinA) В (с; 0) х

Доказательство: Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А. Тогда В (с; 0), С (bcosA; bsinA). Найдем расстояние ВС: 2 2 2 2 2 2 2 ВС = а = (bcosA – c) + b sin A = b cos A + b 2 2 2 2 2 sin A - 2bc cosA + c = b + c - 2bc cosA ЧТД