Презентация на тему "Функциональные уравнения и методы их решения"; 11-10 классы(профильное обучение)

Функциональные уравнения и методы их решений Калинина Елена Петровна Учитель математики МОУ Гимназия №5 Г. Саратов

Введение Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Примерами подобных уравнений могут являться уравнения вида f ( x)  xf ( x  1) (1)   2     f ( x)  g (1  x)  f  g     x 1    

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это f ( x)  f ( x) f ( x )  f ( x ) f ( x  T )  f ( x) Они задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность…

уравнения Функциональные уравнения, в которых требуется найти решение в классе функций из некоторого параметрического семейства, называются параметризуемыми.

Пример: Постановка задания Существует ли линейная функция у = f(x), удовлетворяющая при всех х соотношению 2f(x + 2) + f (4 - x)= 2х + 5? Решение По определению, линейная функция — это функция, которая представима в виде f(x) = kx + b. Числовые параметры k и b однозначно характеризуют линейную функцию, так как равенство k1 x  b1 k 2 x  b2 при всех значениях переменной х равносильно равенствам k1 k 2 , b1 b2 . Этот факт является частным случаем следующего важного утверждения, которое мы будем неоднократно использовать:

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной (в частности, совпадают и степени многочленов).

Поэтому нашу задачу можно переформулировать следующим образом: существуют ли числа k и b такие, что при всех х верно равенство (3) 2(k(x + 2)+b) + (k (4 - х)+b)= 2х + 5? Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим kx + 8k + 3b = 2х + 5 при всех х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, мы преобразуем задачу к виду: существуют ли числа k и b такие, что верны равенства (4)  k 2,    b В этом виде задача просто сводится к вопросу о совместности системы (4). Легко видеть, что эта система имеет единственное решение k = 2, b = -11/3. Итак, существует и притом единственная линейная функция f(x) = 2х-11/3 , удовлетворяющая исходному функциональному уравнению.

2. Общие функциональные уравнения Решим предыдущий пример в общем виде. Заменим х на х – 2. Тогда уравнение (1) примет вид (5) 2f(х)+ f(6 - х) = 2х + 1 при всех х. Это равенство можно рассматривать как обычное уравнение относительно двух неизвестных А = f(x) и B= f(6 - х); переменная х в этом случае будет играть роль параметра: 2А + В = 2х+ 1.

Поскольку у нас две неизвестные величины, хотелось бы получить еще одно уравнение относительно А и В. С этой целью заменим в равенстве (5) х на 6 - х (ведь оно верно при всех значениях х; поэтому вместо х можно ставить любое число или выражение): 2f(6 - х) + f(x) = -2х + 13 при всех х. В терминах переменных А = f(x) и В=f(6 - х) это равенство означает, что 2В+А = -2х+ 13. Итак, справедлива система  2A  B 2x  1,   2B  A - 2x  13. Исключая из этих равенств В = f(6 - х), получим А =f(x) = 2х -11/3 .

3. Классические функциональные уравнения В математике есть несколько типов относительно простых функциональных уравнений, решения которых хорошо известны каждому математику. Самым простым из них является следующее уравнение для функций вида у = kx (оно рассматривалось еще Коши): f(x + у) = f(x) + f(y) для всех действительных х. (15)

Пример: Постановка задания Задана функция , причем Решение Функции вида f(x) = kx удовлетворяют f этому уравнению. Докажем, что (16) f(x + у) = f(x) + f(y) для всех рациональных чисел х и никаких других решений уравнение f 10  у. Известно, что .  (16) не имеет. 2   f   Рассмотрим уравнение (16) при у = 0: Найти .  3 f (x) = f(x) + f(0). Отсюда следует, что f (0) = 0. При у = -х уравнение (16) примет вид f (0) = f (x) + f (-x), откуда f(-x) = -f(x). Таким образом, всякое решение уравнения (16) является нечетной функцией. Положим в (16) у = х. Это даст следующее соотношение: f (2 x) 2 f ( x) при всех х  Q. При у = 2х получим: f (Зх) = f(x) + f(2x) = f(x) + 2f(x) = 3f(x) при всех х  Q. Аналогично, при y = Зx из (16) имеем при всех х Q f (4 x)  f ( x)  f (3x)  f ( x)  3 f ( x) 4 f ( x)

Повторив эту процедуру, мы получим, что для любого натурального п верно равенство (при п = 1 оно является тождеством): f (nх) = n f (х) (17) при всех х Q. Строго это можно доказать методом математической индукции. Справедливость равенства (17) при п = 1 (основание индукции) уже установлена. Допустим, что (17) доказано для некоторого натурального k; докажем его справедливость для значения п = k + 1: f ((k + 1) x) = f (k + х) = f (k x) + f (x) = = kf(x) + f(x) = (k + 1) f (x). Из нечетности функции f(x), которую мы установили в самом начале нашего решения, следует, что равенство (17) верно при всех целых п (а не только натуральных). Мы уже можем решить исходную задачу в том виде, как она была поставлена на экзамене. Поскольку 10 = (-35)  2, из (17) при п = -35,     7 х =  2 имеем f (10) = -35 f   2 , так что   7   7 1 1   2 f     f 10  (  )  35 35 35  7 Но мы двинемся дальше и докажем, что на самом деле верно соотношение (18) f (rx) rf ( x) при всех х Q, где г — произвольное рациональное число. 

1 t 1 f Положим в (17) х= n. Отсюда,  n   n f (t ) так что (18) справедливо для   1 r  . Если в этом равенстве положить t = mх, m  Z, то, используя (17), мы n получим: f  m x   1 f (mx)  1 mf ( x)  m f ( x) , то есть (18) справедливо для n n n  n любого рационального г. В частности, при х = 1 (18) даст f(r) = rf (1). Если обозначить f (1) через k, а вместо переменной r использовать переменную х, то это соотношение можно записать в виде (19) f(x)=kx. Таким образом, если функция f(x) является решением уравнения (16), то она дается формулой (19). Теперь вернемся к исходной задаче. Так как f (10) = k • 10, мы можем  определить коэффициент пропорциональности k : k  . Поэтому 10   х для рациональных х и, в частности, f   2      2    . f(x) =     10 7 10 7     35  Ответ: 35

В более сложных задачах уравнение (15) f(x + у) = f(x) + f(y) может быть «спрятано», и нужны определенные преобразования (обычно вводится новая неизвестная функция), чтобы свести дело к этому классическому уравнению.

4. Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Пример 1. Найти f(x)  x 1   x  2 f 2f  x  x  2  x 1  Решение z2 x 2 x  ( z 0, z 1) 1) Пусть x  1  z , тогда 1 z 2) Подставим в исходное уравнение, получим 1 2 1 1 z 3)Заменим z на z получим f  z   2 f  z   1   1 в правой части уравнения: z 1  2z 1 f    2 f  z  z1 z z2 1 f    2 f  z  . 1 z z или после преобразований

4)Итак, получили два уравнения: z 1 1 f    2 f ( z)  1 z z  1  1  2z f ( z)  2 f    z z 1 5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым  2z  4 1 уравнением, получим:  2 f    4 f ( z)  Тогда f ( x)  4x  5 3  3x 1 z z 1 2z 1 2 f    f ( z)  z 1 z 2 z  4 1  2 z  3 f ( z)  z 1 4z  5  3 f ( z)  z 1 4z  5 f ( z)  3  3z

Пример 2. Найти x, если (2 x  1)( 2  (2 x  1) 2  3 )  3x(2  9 x 2  3 ) 0 Решение Рассмотрим уравнение: f (t ) t (2  t 2  3 ) Получим: f (2 x  1)  f (3x ) 0 f (2 x  1)  f (3 x) Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x) Проверим: f ( t )  t (2  ( t ) 2  3 )  t (2  t 2  3 )-нечетная Значит f(2x+1)=f(-3x) 2x+1=-3x x=-1/5

Пример . Решите неравенство: (2 x  1) 7  4 x 2  4 x  x x 2  6  0 Решение Сначала решим уравнение: (2 x  1) 7  4 x 2  4 x  x x 2  6 0 Преобразуем уравнение: выделим полный квадрат 4 x 2  4 x  7 (4 x 2  4 x  1)  6 (2 x  1) 2  6 (2 x  1) (2 x  1) 2  6  x x 2  6 0, f (t ) t t 2  6  нечет f(2x-1)= -f(x) f(2x-1)= f(-x) 2x-1=-x x=1/3 Вернемся к решению неравенства: построим графики функций и найдем значения х, при которых f(2x-1)>f(-x) Слайд 19 Получим: x>1/3 Ответ: Слайд 20 1 x  ( ; ) 3

Пример 4. Решить неравенство: 4 f ( x)  g ( x) 0 если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе    f (2 x  1)  g ( x  1)  x    2 f ( 2 x  1 )  2 x  2 g ( x  1) 0  Решение Умножим второе уравнение на -1 и сложим с первым  2 x 2  3g ( x  1)  x  1)Выразим из первого  1)  g ( x  g(x-1): 1)  x  f (2 xуравнения Найдем g(x). Введем замену x-1=t => x=t+1 2(t  1) 2 t  1  2t 2  4t  2  2t 2  3t  1   3 3 3  2 x 2  3x  3 g ( x)  3 (t  1)  Получим g (t )    x  2x2 g ( x  1)  3

2)Вернемся к системе: Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:  3 f (2 x  1)  2 x 2 2 x   f (2 x  1)  2 x 2  2 g ( x  1) 0 Получим: 2 2x  2x 3 a 1 2 x  1 a x  2 f (2 x  1)  Введем замену (a  1) 2 a  1 2a  2  a 2  2 a  1 a 2  1 2 f (a)    3 6 6 Получим:   x2  1 f ( x)  6

Решим неравенство: 4( x 2  1) 2 x 2  3 x  1  0 6 3 2 x 2  2  2 x 2  3x  1 0 3  3x  3 0 3  x  1 0 x  1 Ответ: x    1;

Список литературы       Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999 Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 19. – 96 с Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 – 120 Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 с Кострикина Н.П. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов” - М: “Просвещение”, 1991г. Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: “Просвещение”, 197г.