Презентация к уроку математики "Решение заданий с параметром с помощью разбиения на подзадачи и применения графических образов"; 11 класс

Решение заданий с параметром с помощью разбиения на подзадачи и применения графических образов МБОУ «СОШ №9» г. Владивосток Агафонова Н.Р.

Задания С5 2011года При каком наименьшем значении параметра а система неравенств  у 2  х 2  2( х  4 у )  15 ,  2 2 2 2 x  y  6 a  4  a  4 ( a  1 )( x  1 )  2 y( a  2 )  имеет решения?

Задание С5 2011 Найдите года все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств а) имеет решения; б) имеет единственное решение; в) не имеет решений.

Задание С5 2011 года Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств а) имеет решения; б) имеет единственное решение; в) не имеет решений.

Задание С5 2011 года Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств  х  2 у  1 11 ,  2 2  х  а    у  2а  2  а . имеет единственное решение.

Основные умения (подзадачи): 1. Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 2. Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) 3. Определение взаимного расположения прямых 4. Нахождение расстояния между параллельными прямыми, точками, прямой и точкой 5. Определение случаев взаимного расположения фигур, запись условия в виде математической модели

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 1. Построить график уравнения 4х+3у= -12 Находить координаты точек пересечения с осями

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 2. Построить график линии  х 11  3а ,   у 4 а  4. y=f(x) а –число, параметр Зависимость y = kx + b

2. Построить график линии  х 11  3а ,   у  4 а  4. Возьмём две точки, взяв два любых конкретных значения параметра y = kx + b а=0 (11; -4)   4 11 k  b , 1.  0 8 k  b ; y1  y2 2. k  x1  x2 4 у  х  b , 3 а=1 (8; 0) 4 32  у  х  . 3 3 0 4 4  k  8  11 3 4 32  у  4 х  32 , 0  8  b , b  , 3 3 3 3

2. Построить график линии  х 11  3а ,   у  4 а  4. Выразим параметр а через х и у 11 1 1 11 1   х  у  1, а   х ,  3 3 4 3 3 3.  44  4 х  3 у  12 , 1 а  у  1. 4 32  4 3 у  4 х  32 ,  у  х  , y = kx + b 3 3 Проверим все ли точки заданного вида удовлетворяют полученому уравнению 3( 4 а  4 )  4( 11  3а )  32 , 12а  12  44  12а 32 , 32  32 ,

2. Построить график уравнения  х 11  3а ,   у  4 а  4. 3 у  4 х  32 , 32 3 8

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 3. Построить график уравнения х  2 у  1 11  х  2 у  1 11 ,  х  2 у  1  11   х  2 у 10 ,  х  2 у  12 

Совет При наличии квадратов переменных в уравнении линии 1. Если нет чётко выраженного известного вида уравнения, раскройте скобки, перегруппируйте слагаемые по переменным х и у. 2. Если есть первая степень и квадрат одной и той же переменной, выделите квадрат двучлена. 3. Если между квадратами (квадратами двучленов) переменных х и у стоит «плюс» , попробуйте сведи к уравнению окружности (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2 4. Если между квадратами (квадратами двучленов) переменных х и у стоит «минус» , попробуйте разложить на множители, используя разность квадратов, свести уравнение к произведению равному нулю.

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 4. Построить график уравнения у 2  х 2  2( х  4 у )  15 у 2  х 2  2 х  8 у  15 0 ( у 2  8 у )  ( х 2  2 х )  15 0 ( у 2  8 у  16 )  16  ( х 2  2 х  1 )  1  15 0 ( у  4 )2  ( х  1 )2 0 ( у  4  х  1 )( у  4  х  1 ) 0 ( у  х  5 )( у  х  3 ) 0

4. Построить график уравнения 2 2 у  х  2( х  4 у )  15 ( у  х  5 )( у  х  3 ) 0  у х  5,  у 3  х . 

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 5. Построить график неравенства x 2  y 2  6 a 2  4 a 2  4( a  1 )( x  1 )  2 y( a  2 ) x 2  y 2  6 a 2  4  a 2  4 ах  4 а  4 х  4  2 yа  4 у 0 ( x 2  2( 2  2а ) х )  ( y 2  2( а  2 ) у )  5 a 2  8  4 а 0 . . . ( x  ( 2  2а ))2  ( y  ( а  2 ))2 0 ( x  ( 2  2а ))2  ( y  ( а  2 ))2 0

5. Построить график неравенства x 2  y 2  6 a 2  4 a 2  4( a  1 )( x  1 )  2 y( a  2 ) ( x  ( 2  2а ))2  ( y  ( а  2 ))2 0  x  ( 2  2 а ) 0 ,   y  ( а  2 ) 0.  x 2а  2 ,   y   а  2. х  2 у  6

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 6. Построить график уравнения  11  2 х  3а    у  4 а  4  2 а 1  5 2  а 1    х  3а  11    у  4 а  4    5   2  а 1  2 2   х  ( 11  3а )   у  ( 4 а  4 )    5  2 2 - уравнения окружностей с центром в точке с координатами а 1 ( 11 - 3а; 4а – 4) и радиусом, равным R  5

6. Построить график уравнения  а 1    х  ( 11  3а )   у  ( 4 а  4 )   5   2 2 2 - уравнения окружностей с центром в точке с координатами а 1 ( 11 - 3а; 4а – 4) и радиусом, равным R  5  х 11  3а ,   у  4 а  4. 3 у  4 х  32 , 32 3 8

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 7. Построить график уравнения 2 2 ( х  у  2 lg a )  ( x  y  3 lg a ) ( 1  lg( 1000a )) Сделаем замену переменных b = lga, уравнение примет вид х 2 2 у  2 b    x  y  3b   b  2  2 Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые с х и у. ( a  b  c )2 a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc

7. Построить график уравнения х 2 2 у  2b    x  y  3b   b  2  2 2 2 2 2 х  2 у  2 хb  10 yb  13b  b  2  2 2 х  у  xb  5 yb  6 ,5 b 2  b  2  2 2 2 2  2 b2  b2  2 25b 2  25b 2 13b 2  b  2   х  bx        у  5 yb    4  4  4  4 2 2  2 b  5b   х   у      2  2   2 2   b2  2 Уравнение окружностей с центром b2 b 5 b   R в точке  ;  и радиусом  2 2  2

1 основное умение: Определять вид и строить графики уравнений, определять особенности их расположения 8. Построить график уравнения  х  а 2 2   у  2а  2  а При а < - 2 - уравнение не определено При а = - 2 - вырождается в точку (-2; -4) При а > - 2 - уравнение окружностей с центром (а; 2а) и радиусом R  2  a

2 основное умение: Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) Совет При решение неравенств с двумя переменными 1. Представь неравенство в виде f(x;y)  0 2. Построй график ограничивающей область линии (границу области f(x;y) = 0) пунктирной линией при строгом знаке, сплошной линией при нестрогом знаке неравенства. 3. Определи знак f(x;y) в каждой получившейся области, взяв точку с конкретными координатами из этой области и подставив их в выражение f(x;y) . 4. При наличии параметра возьми конкретное любое значение и определи знак f(x;y) в каждой получившейся области. 5. Заштрихуй области знака, заданного неравенством.

Теоретический материал y  kx + b – вверх от прямой y  kx + b –вниз от прямой

Теоретический материал х 2 2 х0    у  у0  m (х0; у0) – координаты центра

Теоретический материал х 2 2 х 0    у  у0   m (х0; у0) – координаты центра

Теоретический материал х 2 2 х 0    у  у0   m (х0; у0) – координаты центра

Теоретический материал х 2 2 х0    у  у0  m (х0; у0) – координаты центра

2 основное умение: Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) 1. Решить неравенство 4х+3у  -12

2 основное умение: Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) 1. Решить неравенство у 2  х 2  2( х  4 у )  15 ( у  х  5 )( у  х  3 ) 0

2 основное умение: Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) 1. Решить неравенство x 2  y 2  6 a 2  4 a 2  4( a  1 )( x  1 )  2 y( a  2 )  x 2а  2 ,   y   а  2. х  2 у  6

2 основное умение: Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) 1. Решить неравенство  11  2 х  3а    у  4 а  4  2 а 1  5  а 1    х  ( 11  3а )   у  ( 4 а  4 )   5   2 - уравнения кругов с центром в точке с координатами а 1 ( 11 - 3а; 4а – 4) R 5 и радиусом, равным  х 11  3а ,   у 4 а  4. 3 у  4 х  32 , 2 2 32 3 8

2 основное умение: Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) 1. Решить неравенство ( х  у  2 lg a )2  ( x  y  3 lg a ) ( 1  lg( 1000a ))2 2 2  b  5b  b  2   х   у   2  2  2  2 Уравнение кругов с центром b2 b 5 b в точке  ;  и радиусом R  2 2  2

2 основное умение: Решение неравенств с двумя переменными (метод областей) 1. Решить неравенство х  2 у  1 11  11  х  2 у  1 11  х  2 у  1 11 ,   х  2 у  1  11  х  2 у 10 ,   х  2 у  12

3 основное умение: Определение взаимного расположения прямых 1. Условие параллельности прямых 1. а1 x  b1 y с1 , а1 b1 c1   а 2 b2 c 2 а 2 x  b2 y c 2 2. у k1 x  b1 , k k , b b 1 2 1 2 у k 2 x  b2 2. Условие перпендикулярности прямых у k1 x  b1 , у k 2 x  b2 k1 k 2  1 3. Умение находить координаты точек пересечения двух прямых

4 основное умение: Нахождение расстояния между параллельными прямыми, точками, прямой и точкой 1. Расстояние между параллельными прямыми

4 основное умение: Нахождение расстояния между параллельными прямыми, точками, прямой и точкой 1. Расстояние между параллельными прямыми у1 у1 h1 х1 h1 h2 х2 х1 х2 у h2 2 у2 a b hc  c 1. d h1  h2 2. d h1  h2

1. Расстояние между параллельными прямыми a b hc  c 32 С 3 d h1  h2 2 40  32  CD     8 2  3  3  32 8 32 h1  8  40 5 3 АВ  3 2  4 2 5 h2  3 4 12  5 5 А О h1 8  3 h2  4 1. d h1  h2 В D 3 у  4 х 32 3 у  4 х  12 12 32 44 d h1  h2    5 5 5

2. Расстояние между точками 2 d  ( x1  x 2 )  ( y1  y 2 ) О1 ( 0 ; b ) 2 2  b 5b  О2   ;  2   2 2 5b 5b  50 b 25 b  b  О1О2      b      2  4 2 2  2  2 2

5 основное умение: Определять случаи взаимного расположения фигур, записывать условия в виде математической модели 1. Полуплоскость и круг а) имеют одну общую точку R=d б) не имеют общих точек; R

5 основное умение: Определять случаи взаимного расположения фигур, записывать условия в виде математической модели 2. Два круга а) имеют одну общую точку R1 +R2 = О1О2 б) не имеют общих точек; R1 +R2 < О1О2 в) имеют общие точки R1 + R2  О1О2

5 основное умение: Определять случаи взаимного расположения фигур, записывать условия в виде математической модели 3. Прямая и две угловых области 1  5  х  х 12 3 х+2 у =- 6  5 1 3 12

5 основное умение: Определять случаи взаимного расположения фигур, записывать условия в виде математической модели Единственн 4. Полоса и окружность ая общая точка а) R = 0, координаты центра удовлетворяю т условию полосы б) d = R касание окружности и полосы внешним образом

Решение заданий с параметром Общий план решения 1. Определи вид линии каждой границы областей, особенности её расположения (в случае с параметром определи, как происходит перемещение при изменении параметра) 2. Построй границы областей 3. Заштрихуй области нужного знака 4. Определи случаи взаимного расположения областей, заданных двумя неравенствами 5. Исходя из задания выбери нужное расположение объектов 6. Составь по ситуации математическую модель (уравнение, неравенство или их системы) 7. Реши полученную математическую модель 8. Ответь на поставленный вопрос

Задания С5 2011года При каком наименьшем значении параметра а система неравенств  у 2  х 2  2( х  4 у )  15 ,  2 2 2 2 x  y  6 a  4  a  4 ( a  1 )( x  1 )  2 y( a  2 )  имеет решения?

Построить график уравнения 2 2 у  х  2( х  4 у )  15 ( у  х  5 )( у  х  3 ) 0  у х  5,  у 3  х . 

1. Решить неравенство у 2  х 2  2( х  4 у )  15 ( у  х  5 )( у  х  3 ) 0

Построить график неравенства x 2  y 2  6 a 2  4 a 2  4( a  1 )( x  1 )  2 y( a  2 ) ( x  ( 2  2а ))2  ( y  ( а  2 ))2 0  x  ( 2  2 а ) 0 ,   y  ( а  2 ) 0.  x 2а  2 ,   y   а  2. х  2 у  6

1  5  х 12 3 1  5  2 а  2 12 3  x 2а  2 ,   y   а  2. х+2 у 2  1 а 7 3 2  1 Ответ: 3 =- 6  5 1 3 12

Задание С5 2011 Найдите года все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств а) имеет решения; б) имеет единственное решение; в) не имеет решений.

Решить неравенство  11  2 х  3а    у  4 а  4   х  3а  2 11    у  4 а  4  2 2 а 1  5  а 1     5   2  а 1  2 2   х  ( 11  3а )   у  ( 4 а  4 )    5  2

 а 1    х  ( 11  3а )   у  ( 4 а  4 )   5   2 2 2 - уравнения кругов с центром в точке с координатами а 1 ( 11 - 3а; 4а – 4) и радиусом, равным R  5  х 11  3а ,   у  4 а  4. 3 у  4 х  32 , 32 3 8

Решить неравенство 4х+3у  -12

Взаимное расположение полуплоскости и круга а) имеют одну общую точку R=d б) не имеют общих точек; R

1. Расстояние между параллельными прямыми a b hc  c 32 С 3 d h1  h2 2 40  32  CD     8 2  3  3  32 8 32 h1  8  40 5 3 АВ  3 2  4 2 5 h2  3 4 12  5 5 А О h1 8  3 h2  4 1. d h1  h2 В D 3 у  4 х 32 3 у  4 х  12 12 32 44 d h1  h2    5 5 5

Система неравенств а) имеет единственное решение а  1 44 R=d  5 5 б) не имеет решений R < d а  1  44 5 5 в) имеет решения а  1 44  R d 5 5

 а 1 2 2 Результа  11  х  3а    у  4а  4   ,  5  4 х  3 у  12 ; т  Ответы: 1) Система имеет решения при а  - 43 и а  45 2) Система не имеет решений при а (- 43; 45 ) 3) Система имеет единственное решение при а = - 43 и а = 45

Задание С5 2011 года Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств а) имеет решения; б) имеет единственное решение; в) не имеет решений.

Решить неравенство ( х  у  2 lg a )2  ( x  y  3 lg a ) ( 1  lg( 1000a ))2 Сделаем замену переменных b = lga, уравнение примет вид х 2 2 у  2b    x  y  3b   b  2  2 Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые с х и у.

х 2 2 у  2b    x  y  3b   b  2  2 2 2 2 2 х  2 у  2 хb  10 yb  13b  b  2  2 2 х  у  xb  5 yb  6 ,5 b 2  b  2  2 2 2 2  2 b2  b2  2 25b 2  25b 2 13b 2  b  2   х  bx        у  5 yb    4  4  4  4 2 2  2 b  5b   х   у      2  2   2 2   b2  2 Уравнение кругов с центром b2 b 5 b   R в точке  ;  и радиусом  2 2  2

( х  у  lg a )2  ( x  y  lg a ) (lg а  1 )2 х 2 2 2      уb  x y b  b 1 2 2 2 2 х  2 у  4 yb  2 b  b  1 2 2 х  у  2 yb  b 2  b  1  2 2 2 2   b 1 2 2 2 х  у  2 yb  b  2 2  b  1 2 2 х   y  b  2 Уравнение кругов с центром в точке (0; b)  радиусом R  b 1 2

Взаимное расположение двух кругов а) имеют одну общую точку R1 + R2 = О1О2 б) не имеют общих точек; R1 +R2 < О1О2 в) имеют общие точки R 1 + R 2  О 1 О2

Расстояние между точками 2 d  ( x 1  x 2 )  ( y1  y 2 ) О1 ( 0 ; b ) 2 2  b 5b  О2   ;  2   2 2 5b 5b  50 b 25 b  b  О1О2      b      2  4 2 2  2  2 2

2  2   b 1 2   x  у  b  ,  2   2 2 2    х  b    у  5 b   b  2  2  2  2 Расстояние между центрами равно d ОО1  5b 2 R1  b 1 2 R2  b2 2 b  1  b  2 5 b Система имеет решения: Система имеет единственное решение: b  1  b  2 5 b Система не имеет решений: b 1  b2 5b

Система имеет решения: b  1  b  2 5 b  3 3 b  ;   5 5 Система имеет единственное решение: b  1  b  2 5 b 3 3 b  ; b  5 5 Система не имеет решений: 3  3   b  1  b  2  5 b b     ; 5    5 ;     

Т. к b = lga, a > 0 Система имеет решения: b  1  b  2 5 b  3 3 b  ;   5 5  1  5 а 5 ; 1000   1000  Система имеет единственное решение: 3 3 b  1  b  2 5 b ; b  ; b  ; а  5 1 ; a 5 1000 5 5 1000 Система не имеет решений: b 1  b2 5b 3  3   b     ;    ;  5 5   1   а   0; 5  1000    5 1000 ; 

Задание С5 2011 года Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств  х  2 у  1 11 ,  2 2  х  а    у  2а  2  а . имеет единственное решение.

Решить неравенство  11  х  2 у  1 11  х  2 у  1 11 ,   х  2 у  1  11  х  2 у 10 ,   х  2 у  12 х  2 у  1 11

Построить график уравнения  х  а 2 2   у  2а  2  а При а < - 2 - уравнение не определено При а = - 2 - вырождается в точку (-2; -4) При а > - 2 - уравнение окружностей с центром (а; 2а) и радиусом R  2  a

Взаимное расположение полосы и окружности Единственн ая общая точка а) R = 0, координаты центра удовлетворяю т условию полосы б) d = R касание окружности и полосы внешним образом

Составление математической модели Единственная общая точкаПри а = - 2 вырождается R = 0, координаты центра удовлетворяют условию полосыв точку (-2; -4) х  2 у  1 11  2  8  1 11 При а = - 2 система имеет единственное решение

Составление математической модели При а < - 2 - уравнение не определено Центр (а; 2а) Единственн ая общая точка R  2a d=R 4 касание окружности и полосы 2 d 2 ( a  2 )2  ( 2a внешним 4 )2  R 2  2  а образом 2 2 -2,4 -4,8 ( a  2 )  ( 2a  4 ) 2  а 5 а 2  21а  18 0 а  3 , а 1 ,2 Ответ: а = 2; а = 3

Решение заданий с параметром Общий план решения 1. Определи вид линии каждой границы областей, особенности её расположения (в случае с параметром определи, как происходит перемещение при изменении параметра) 2. Построй границы областей 3. Заштрихуй области нужного знака 4. Определи случаи взаимного расположения областей, заданных двумя неравенствами 5. Исходя из задания выбери нужное расположение объектов 6. Составь по ситуации математическую модель (уравнение, неравенство или их системы) 7. Реши полученную математическую модель 8. Ответь на поставленный вопрос